1928. gadā absolvēja Liepājas Valsts tehnikumu. No 1928. gada bijis dienestā Latvijas armijā. 1928.–1929. gadā atradās obligātajā karadienestā; kareivis (1928), dižkareivis (1929), kaprālis (1929); dienēja 3. Jelgavas kājnieku pulkā. 1929.–1931. gadā Kara skolas kadets. Pēc tās beigšanas (1931) dienēja 6. Rīgas kājnieku pulkā; leitnants (1931), virsleitnants (1934). No 1938. gada līdztekus dienestam armijā studēja inženierzinātnes Latvijas Universitātes Mehānikas fakultātē. Sākoties padomju okupācijai, 1940. gadā pārskaitīts Sarkanās armijas 24. teritoriālajā strēlnieku korpusā.

Latvijas armijas šaušanas sacensībās K. Kļava piedalījās no 20. gs. 20. gadu beigām. Šaušanas sportam nopietnāk pievērsies Kara skolā, kur par viņa instruktoru kļuva Rūdolfs Klinsons. K. Kļava līdz 30. gadu vidum startēja dažādās šaušanas disciplīnās armijas sacensībās, t. sk. 6. Rīgas kājnieku pulka virsnieku šaušanas sacīkstēs, bet no 30. gadu vidus pievērsās disciplīnām šaušanā ar automātisko pistoli.

1935. gadā K. Kļava uzvarēja Latvijas olimpiskajā turnīrā un kļuva par Latvijas meistaru jeb čempionu šaušanā ar automātisko pistoli. 1936. gadā viņš atkārtoti kļuva par Latvijas čempionu šaušanā ar automātisko pistoli, bet 1938. gadā – par Latvijas čempionu šaušanā ar mazkalibra pistoli punktu mērķī. K. Kļava ar panākumiem 20. gs. 30. gados startēja arī dažādās Latvijas armijas šaušanas sacīkstēs.

1936. gada vasaras olimpiskajās spēlēs Berlīnē (Vācijā) šaušanā ar mazkalibra automātisko pistoli K. Kļava pistoles kļūmes dēļ ierindojās tikai 23. vietā.

1937. gada pasaules čempionātā šaušanā Helsinkos (Somjā) K. Kļava izcīnīja čempiona titulu šaušanā ar automātisko pistoli, kā arī veiksmīgi startēja dažādās meistarsacīkšu programmā iekļautās sacensībās, izcīnot uzvaru arī ārpus oficiālās programmas aizvadītajā šaušanā ar somu militāro Parabellum pistoli (saukta arī – dueļu šaušana). 1937. gada pasaules čempionāta valstu izlašu konkurencē K. Kļava Latvijas valstsvienības sastāvā izcīnīja 7. vietu šaušanā ar pistoli. 1939. gada pasaules čempionātā Lucernā (Šveicē) K. Kļava kopā ar Latvijas izlasi izcīnīja 4. vietu šaušanā ar automātisko pistoli olimpiskajos mērķos.

30. gados K. Kļava ar panākumiem startēja arī dažādās Baltijas valstu līmeņa šaušanas sacensībās, t. sk. Baltijas meistarsacīkstēs.

Par veiksmīgo startu pasaules čempionātā Helsinkos 1937. gadā apbalvots ar divām zelta medaļām un sešiem sudraba kausiem. Laikraksta “Sporta Pasaule” vērtējumā atzīts par 1937. gada labāko Latvijas sportistu. Par sasniegumiem sportā 1938. gadā apbalvots ar Viestura ordeni (V šķira).

14.06.1941. Ostroviešu nometnē K. Kļavu kopā ar citiem latviešu virsniekiem apcietināja Padomju Sociālistisko Republiku Savienības (PSRS) varas iestādes. K. Kļava tika deportēts austrumu virzienā. K. Kļavas uz papirosu kastītes rakstītā un 17.06.1941. Krustpils stacijā izmestā zīmīte ir viena no retajām tā brīža rakstītajām liecībām par apcietināto latviešu virsnieku likteni.

Atradās apcietinājumā Juhnovā, Krasnojarskā, Noriļskā. Saskaņā ar PSRS varas iestāžu sniegtajām oficiālajām ziņām, K. Kļava miris ieslodzījumā 24.08.1943. Taču saskaņā ar citu ieslodzīto laikabiedru sniegtām, bet dokumentāli neapstiprinātām ziņām K. Kļava miris jau 1942. gadā.