A. Gipslis absolvēja Latvijas Valsts universitāti 1959. gadā, iegūstot inženiera ekonomista izglītību.

Bērnību A. Gipslis pavadījis Grīziņkalnā. 12 gadu vecumā Rīgas Pionieru pilī sāka mācīties šahu pie trenera Jāņa Krūzkopa vienlaicīgi ar Mihailu Tālu. Kļūstot par profesionālu šahistu, ilgus gadus bija otrs spēcīgākais latviešu lielmeistars pēc M. Tāla.

A. Gipslis ir astoņkārtējs Latvijas čempions: 1955.–1957., 1960.–1961., 1963.–1964. un 1966. gadā. Vairāk reižu (deviņas) ir uzvarējis tikai Jānis Klovāns. A. Gipšļa šaha spēles stils bija pozicionāls, viņš lieliski zināja atklātņu teoriju un bija spēcīgs galotņu spēlētājs. Par starptautisko šaha lielmeistaru A. Gipslis kļuva 1967. gadā.

No 1963. gada A. Gipslis darbojās žurnāla “Šahs” redakcijā kā viens no redaktoriem, 1970. gadā viņš kļuva par galveno redaktoru un šo pienākumu veica līdz žurnāla pastāvēšanas beigām 1990. gadā. Žurnāls “Šahs” bija viens no populārākajiem šaha žurnāliem pasaulē, to abonēja šahisti 50 valstīs (1987. gadā). Pasaules čempions Bobijs Fišers (Bobby Fischer, pilnā vārdā Roberts Džeimss Fišers, Robert James Fischer) ir izteicies atzinīgi par žurnāla satura kvalitāti, ierindojot to starp labākajiem šaha žurnāliem pasaulē.

1966. gadā Rīgā notika mačs par pasaules šaha čempiona titulu sievietēm, un A. Gipslis tika uzaicināts par čempiones Nonas Gaprindašvili (ნონა გაფრინდაშვილი) treneri. Viņš bija gruzīnu šahistes treneris no 1966. līdz 1979. gadam. 1978. gadā N. Gaprindašvili kļuva par pirmo sievieti starptautisko lielmeistari un bija pasaules čempione no 1962. līdz 1978. gadam.

No 1972. līdz 1984. gadam A. Gipslis bija Padomju Sociālistisko Republiku Savienības (PSRS) sieviešu izlases treneris. A. Gipšļa trenētā PSRS sieviešu izlase uzvarēja sešās Pasaules šaha olimpiādēs.

20. gs. 80. gados A. Gipslis vairāk sāka pievērsties korespondencšaham un 1995. gadā ieguva Starptautiskās Korespondencšaha federācijas (International Correspondence Chess Federation, ICCF) lielmeistara titulu. Lielmeistara tituls gan klasiskajā, gan korespondencšahā ir ievērojams sasniegums.

Dzīves pēdējos gados A. Gipslis strādāja par treneri Rīgas Šaha skolā, viens no izcilākajiem viņa audzēkņiem bija Arkādijs Naidičs – 2013. gadā 18. spēcīgākais pasaules šahists Starptautiskās Šaha federācijas (Fédération Internationale des Échecs, FIDE) reitingā.

30.01.2000., spēlējot Vācijas komandu šaha čempionātā Berlīnē, partijas laikā A. Gipslis piedzīvoja infarktu. Pēc diviem mēnešiem komā A. Gipslis nomira.

A. Gipslim augstākais sasniegums PSRS čempionātos bija 3. vieta 1966. gadā Tbilisi., 5.–7. vieta Rīgā notikušajā 1970. gada čempionātā un 8.–9. vieta 1961. gada čempionātā Baku. 1963. gadā Bādlībenšteinas starptautiskajā turnīrā A. Gipslim izdevās izcīnīt 1. vietu. Viens no nozīmīgākajiem latviešu lielmeistara sasniegumiem ir dalīta 2. vieta 1967. gadā Maskavā notikušajā Aļehina memoriālā (Мемориал Алехина), kurā piedalījās daudzi vadošie PSRS un Austrumeiropas šahisti. A. Gipslim izdevās uzvarēt 1976. un 1981. gada Paula Keresa (Paul Keres) piemiņas turnīros Tallinā. Augstākā vieta FIDE reitinga sarakstā A. Gipslim bija 1971. gadā ar reitingu 2580, kas viņu ierindoja 18. vietā starp visiem pasaules šahistiem.

A. Gipslis ir viens no Latvijas atklātņu kartotēkas izveidotājiem. Šo kartotēku vēlākajos gados izmantoja Latvijas un PSRS šahisti. A. Gipšļa vārdā nosaukts variants sicīliešu aizsardzības Paulsena variantā.

1972. gadā A. Gipslim piešķirts Gruzijas Padomju Sociālistiskās Republikas Nopelniem bagātā trenera nosaukums. 1976. gadā – PSRS Nopelniem bagātā trenera nosaukums.