Dzimis vācu (Donavas švābu) izcelsmes ģimenē Budapeštā, vecākais no diviem bērniem. Kad Ferencam bija 10 gadu, viņa tēvs Ferencs Purcelds (Ferenc Purczeld) nomainīja uzvārdu uz Puškāšs (Puskás). 1950. gadā F. Puškāšs jaunākais apprecējās ar Eržēbeti Hunjadvāri (Erzsébet Hunyadvári), kopā nodzīvojot līdz pat dzīves beigām un izaudzinot meitu Aniko (Anikó Puskás).

Bērnībā F. Puškāšs sāka nodarboties ar futbolu Budapeštas komandā Kispest, kur treneris bija viņa tēvs, kurš agrāk arī bija spēlējis šajā klubā. Jau 16 gadu vecumā F. Puškāšs debitēja pieaugušo līmenī Ungārijas čempionātā. Pēc Ungārijas kļūšanas par komunistisku valsti 1949. gadā Kispest savā pārziņā pārņēma Ungārijas Aizsardzības ministrija, mainot kluba nosaukumu uz Budapest Honved. Šajā komandā F. Puškāšs spēlēja 13 gadus, piecas reizes izcīnot Ungārijas čempionu titulu un četras reizes kļūstot par čempionāta rezultatīvāko spēlētāju.

Jau 18 gadu vecumā 20.08.1945. F. Puškāšs debitēja Ungārijas valstsvienībā, gūstot vārtus mačā pret Austriju (5:2). 1952. gadā ungāri kļuva par olimpiskajiem čempioniem, finālmačā Helsinkos ar 2:0 apspēlējot Dienvidslāvijas izlasi, bet F. Puškāšs guva uzvaras vārtus. Šajā laikā Ungārijas izlase galvenā trenera Gustava Šebeša (Gusztáv Sebes) vadībā vairākus gadus demonstrēja ļoti spilgtu sniegumu. 25.11.1953. ungāri svinēja vēsturisku panākumu Londonā, slavenajā Vemblija stadionā 105 tūkstošu skatītāju klātbūtnē draudzības spēlē ar 6:3 sagraujot Anglijas izlasi (F. Puškāšs guva divus vārtus). Britu publika bija šokā par šādu iznākumu, bet prese to nosauca par “Gadsimta spēli” (Match of the Century). Nākamajā pavasarī 23.05.1954. atbildes mačā Budapeštā ungāri guva vēl iespaidīgāku uzvaru – 7:1, kas ir lielākā Anglijas izlases sagrāve vēsturē. Kopā ar F. Puškāšu Ungārijas “Zelta komandas” spilgtākie spēlētāji bija Jožefs Božiks (József Bozsik), Zoltāns Cibors (Zoltán Czibor), Šāndors Kočišs (Sándor Kocsis), Nāndors Hidegkuti (Nándor Hidegkuti). Uz 1954. gada Pasaules kausa finālturnīru Šveicē ungāri devās galveno favorītu statusā, čempionāta sākumā apliecinot to ar graujošām uzvarām pār Dienvidkoreju (9:3) un Vācijas Federatīvo Republiku (VFR, 8:3). Finālmačā Bernē ungāriem pretī atkal stājās VFR izlase, un F. Puškāšs jau spēles sākumā guva vārtus, pēc brīža rezultāts kļuva 2:0, tomēr beigās ungāri piedzīvoja negaidītu zaudējumu 2:3.

“Vareno maģāru” (The Mighty Magyars) komandas noriets sākās pēc Ungārijas revolūcijas 1956. gada rudenī, ko brutāli apspieda padomju okupācijas karaspēks, bet vairāki komandas līderi – F. Puškāšs, Z. Cibors, Š. Kočišs – emigrēja no valsts. Kopumā F. Puškāšs Ungārijas valstsvienības sastāvā aizvadīja 85 spēles, gūstot 84 vārtus.

F. Puškāšs ar ģimeni pārcēlās uz Spāniju, bet Eiropas Futbola asociāciju savienība (Union of European Football Associations, UEFA) viņam piešķīra divu gadu diskvalifikāciju par atteikšanos atgriezties Ungārijā. 1958. gada septembrī F. Puškāšs 31 gada vecumā pievienojās Madrides klubam Real, aizvadot astoņas panākumiem bagātas sezonas. Šajā laikā Real izcīnīja trīs Eiropas kausus (European Cup, 1959, 1960, 1966), kā arī piecus valsts čempionu titulus (1961–1965), bet F. Puškāšs četras reizes kļuva par Spānijas līgas sezonas rezultatīvāko spēlētāju. Par viņa zvaigžņu brīdi Madrides klubā kļuva 1960. gada Eiropas kausa finālmačs, kurā Real Glāzgovā 127 tūkstošu skatītāju klātbūtnē ar 7:3 apspēlēja Frankfurtes Eintracht no VFR, bet ungāru uzbrucējs izcēlās ar četriem vārtu guvumiem.

Ieguvis Spānijas pilsonību, F. Puškāšs 1962. gada vasarā Spānijas izlases sastāvā spēlēja Pasaules kausa finālturnīrā Čīlē, kur spāņi nospēlēja neveiksmīgi, pēc zaudējumiem Čehoslovākijai un Brazīlijai izstājoties no turnīra jau pēc pirmā posma. Pēc tam F. Puškāšs vairs nespēlēja valstsvienībā.

F. Puškāšs izcēlās ar lielisku bumbas kontroli un veiklām māņkustībām, viņam piemita ļoti spēcīgs sitiens ar kreiso kāju. Teicami izpildīja tiešos brīvsitienus, nereti gūstot vārtus ar iespaidīgiem tālsitieniem.

Pēc futbolista karjeras beigām 39 gadu vecumā F. Puškāšs kļuva par futbola treneri, vadot komandas dažādās pasaules malās (Spānijā, Kanādā, Grieķijā, Čīlē, Ēģiptē, Paragvajā, Austrālijā). Labāko panākumu trenera arodā F. Puškāšs guva ar Atēnu klubu Panathinaikos, kas 1971. gadā iekļuva Eiropas kausa finālā, kur ar 0:2 zaudēja Amsterdamas Ajax. Tā ir vienīgā reize, kad kāda Grieķijas komanda spēlējusi Eiropas galvenā kontinentālā turnīra finālā. 1993. gada aprīlī F. Puškāšs uz trim mēnešiem kļuva par Ungārijas izlases galveno treneri, kas bija viņa pēdējais darba posms.

2000. gadā F. Puškāšam diagnosticēja Alcheimera slimību, bet 17.11.2006. viņš mira 79 gadu vecumā smaga plaušu karsoņa dēļ. Par godu ievērojamajam futbolistam tika sarīkotas valsts bēres ar militāro zalvi Budapeštas centrālajā Varoņu laukumā, bet F. Puškāšu apglabāja Ungārijas galvaspilsētas lielākajā baznīcā – Svētā Ištvana bazilikā.

1994. gadā F. Puškāšs saņēma Starptautiskās Futbola asociāciju federācijas (Fédération Internationale de Football Association, FIFA) augstāko apbalvojumu par nopelniem (FIFA Order of Merit). 2009. gadā FIFA slavenā ungāru futbolista vārdā nosauca ikgadējo balvu FIFA Puskás Award, ko pasniedz pasaules futbola gada skaistākā vārtu guvuma autoram. Starptautiskās futbola vēsturnieku un statistiķu federācijas (International Federation of Football History & Statistics, IFFHS) vērtējumā F. Puškāšs iekļauts 20. gs. simboliskajā komandā (20th Century Men`s Dream Team). 2003. gadā par godu UEFA 50 gadu jubilejai veiktajā aptaujā F. Puškāšs nosaukts par 50 gadu (1954–2003) Ungārijas “Zelta spēlētāju” (Golden Player).

2009. gadā slavenākā ungāru futbolista vārdā nosaukts 2019. gadā atklātais Ungārijas nacionālais stadions Puskás Arena. Tāpat F. Puškāšam par godu nosaukts Ungārijas augstākās līgas futbola klubs Puskás Akadémia, bet viņa vārdā Budapeštā ir nosaukta gan iela, gan arī metro stacija. Budapeštā ir uzstādīta F. Puškāša bronzas statuja (atklāja 2013. gada 28. martā), bet vēl viens ungāru leģendai veltīts piemineklis atrodas Melburnā, Austrālijā (atklāja 2017. gada 4. februārī), kur viņš strādāja par treneri.

Jau 1955. gadā iznāca F. Puškāša autobiogrāfija angļu valodā “Ungārijas kapteinis” (Captain of Hungary). 1997. gadā izdota vēl viena futbolista grāmata “Puškāšs par Puškāšu: Futbola leģendas dzīve un laiki” (Puskas on Puskas: The Life and Times of a Footballing Legend), kurā apkopotas F. Puškāša un viņa laikabiedru atmiņas.