Beidzis Rīgas pilsētas 27. pamatskolu. Iesaukts Latvijas armijā, dienēja Rīgā un Daugavpilī (1939.–1940. gadā). Sākoties padomju okupācijai, dienestu bija jāturpina Sarkanajā armijā (1940.–1941. gadā); norīkots karaskolā Rīgā, dienēja Rīgā un Salaspilī. 1941. gada vasarā, Sarkanajai armijai atkāpjoties no Latvijas, dezertēja no armijas un palika Latvijā. 1944. gadā slēpās no mobilizācijas nacistiskās Vācijas bruņotajos spēkos.

Hokejista gaitas sāka “Latvijas Sporta biedrībā” (LSB), no kā vēlākos gados guva iesauku Sportene. 1935./1936. gada sezonā E. Bauris debitēja LSB otrās komandas (“LSB-2”) sastāvā Latvijas meistarsacīkšu otrajā līmenī – 2. klases turnīrā. LSB pirmajā komandā, kas startēja valsts augstākā līmeņa čempionātā, aizvadīja vismaz trīs sezonas (1937./1938.–1939./1940. gada sezonas). Pakāpeniski E. Bauris kļuva par vienu no LSB komandas uzbrukuma līderiem.

1939. gada sākumā līdz ar citiem Latvijas hokejistiem apguva teorētiskās un praktiskās iemaņas kanādiešu trenera Lerija Mārša (Larry Marsh; pilnā vārdā – Lorenss Edvards Māršs, Lawrence Edward Marsh) vadībā Rīgā. Vēlākos gados tieši īslaicīgo apmācību pie L. Mārša atzina par izšķirošu savā hokejista karjerā.

30. gadu beigās nonāca Latvijas hokeja izlases sastāva komplektētāju redzeslokā. 1938. gadā E. Bauris kā rezervists tika iekļauts Latvijas otrās izlases sastāvā plānotajam, bet nenotikušajam izbraukumam uz Lietuvu. 1939./1940. gada sezonā bija Latvijas hokeja izlases kandidāts, tika nosaukts kā rezerves uzbrucējs pirms izlases spēlēm pret Tallinas “Sport” vienību un Igaunijas izlasi. Tomēr Latvijas izlasē nespēlēja, un izlases organizatori saņēma sporta žurnālistu pārmetumus par E. Baura neiekļaušanu Latvijas hokeja izlasē.

1940./1941. gada sezonā Latvijas Padomju Sociālistiskās Republikas (LPSR) čempionātā, draudzības sacīkstēs Rīgā un izbraukuma spēlēs Kauņā startēja RDKA (krievu РДКА, “Рижский дом Красной армии”; Sarkanās armijas Rīgas nams) hokeja komandas sastāvā. Šajā sezonā spēlēja arī LPSR bendija čempionātā RDKA vienības rindās.

Otrā pasaules kara laikā startēja galvenokārt “Universitātes sporta” (US) pirmajā komandā (nosaukumi: US, “US-1”, “US-1a”, “US-a”; 1941./1942.–1943./1944. gada sezonās). 1942. gadā US sastāvā kļuva par okupācijas laika Latvijas meistarsacīkšu uzvarētāju. Kā viens no labākajiem Latvijas hokejistiem 02.1943. iekļauts Rīgas izlases sastāvā paredzētajai, bet nenotikušajai spēlei pret Kēnigsbergas (tag. Kaļiņingrada) hokejistiem. 1943./1944. gadā spēlēja arī US otrajā komandā (“US-2”). 1943./1944. gada sezonas Rīgas hokeja čempionāta vienīgajā spēlē 05.03.1944. US sastāvā uzvarēja Rīgas “Armijas sporta kluba” (ASK) komandu un kļuva par Rīgas čempionu.

40. gadu pirmajā pusē E. Bauris ierīkoja slidotavu ar hokeja laukumu Bauru ģimenes dārzniecībā (Cēsu ielā 3, Rīgā). Kara laikā E. Baura slidotava kļuva par vienu no nedaudzām vietām Rīgā, kur hokejisti varēja trenēties, spēlēt un uzturēt savu sportisko formu. Jau 40. gadu pirmajā pusē E. Bauris sāka trenēt jaunos hokejistus. Drīz pēc padomju okupācijas atjaunošanas Rīgā, 1944. gada rudenī, E. Bauris iecelts par LPSR Fiziskās kultūras un sporta komitejas (FKSK) Hokeja, bendija un ledusjahtu sekcijas priekšsēdētāju.

1945. gadā PSRS varas iestāžu apcietināts, ieslodzīts nometnē netālu no Ļeņingradas (tag. Sanktpēterburga). 1945. gada beigās, būdams norīkojumā ārpus nometnes teritorijas, aizbēga un atgriezās Rīgā, kur hokejisti palīdzēja nokārtot dokumentus, tādā veidā noslēpjot bēgšanu.

1945./1946. gada sezonā bija US komandas spēlētājs LPSR hokeja čempionātā un US Hokeja sekcijas treneris. Tosezon spēlēja arī LPSR izlasē un Rīgas izlasē. 1946. gadā pārgāja uz Padomju Sociālistisko Republiku Savienības (PSRS) hokeja čempionātā startējošo Rīgas “Dinamo” komandu, kur aizvadīja trīs sezonas (1946./1947.–1948./1949. gada). Bija viens no vienības rezultatīvākajiem spēlētājiem.

1949./1950. gada sezonā pārcēlās uz PSRS hokeja čempionātā startējušo komandu – Maskavas “Spartak”. Taču šīs vienības sastāvā aizvadīja tikai vienu spēli – treniņa laikā ielūza ledū, saaukstējās, saslima ar pleirītu un ilgstoši ārstējās, bet pēc tam atgriezās Rīgā.

Turpmāk sešas sezonas, no 1950./1951. līdz 1955./1956. gada sezonai, aizvadīja PSRS hokeja čempionāta komandā “Daugava” (līdz 1949. gadam nosaukums – “Dinamo”). E. Bauris kļuva par vienu no rezultatīvākiem komandā. Profesionāla hokejista gaitas pārtrauca 1956. gadā.

Būdams maza auguma kustīgs spēlētājs, izcēlās ar individuālo meistarību un labu slidošanas tehniku, par ko guva iesauku Balerīna. Laikabiedri slavēja E. Bauri par virtuozu slidojumu, izcilu nūjas tehniku un nenogurdināmu, sportisku azartu. Kopš 2021. gada Latvijas hokeja čempionāta rezultatīvākajam spēlētājam tiek pasniegta E. Baura vārdā nosaukta balva.

50.–70. gados E. Bauris bija iesaistīts hokeja trenera un sporta organizatora darbā. Strādāja “Dinamo” stadionā, bija VEF stadiona direktors, izveidoja divas slidotavas VEF hokejistu vajadzībām un organizēja VEF darbinieku hokeja komandas. Ierīkoja arī slidotavu jauniešiem Berģos. Starp E. Baura audzēkņiem – Andris Bušs, Jevgeņijs Linkēvičs, Harijs Mellups, Haralds Norītis, Juris Reps, Kārlis Ronis, Edgars Rozenbergs.

Pēc trenera darba pamešanas 80. gados dzīvoja Krimas pussalā, Ukrainā, nodarbojās ar puķkopību. 90. gadu sākumā atgriezās Latvijā, apmetās Rīgā un turpināja nodarboties ar puķu audzēšanu un pārdošanu.