Dzimis Otrā pasaules kara laikā Londonas priekšpilsētā Bārkingā, vienīgais bērns ģimenē. 1962. gadā apprecējās ar Tīnu Dīnu (Tina Dean), ar kuru izšķīrās 1986. gadā, kopā izaudzinot meitu Robertu (Roberta) un dēlu Dīnu (Dean). 1991. gadā apprecējās otro reizi ar Stefāniju Parleinu (Stephanie Parlane).

B. Mūrs ar futbolu sāka nodarboties 15 gadu vecumā Londonas kluba West Ham United akadēmijā, kur pēc diviem gadiem arī pirmo reizi spēlēja profesionālajā komandā. Debitējis komandā 1958. gada septembrī, B. Mūrs West Ham United rindās aizvadīja 16 sezonas. 1962. gada Pasaules kausa priekšvakarā B. Mūrs saņēma uzaicinājumu uz Anglijas nacionālo izlasi, uzreiz kļūstot par komandas pamatsastāva spēlētāju. Finālturnīrā Čīlē viņš aizvadīja visas četras spēles, bet angļi ceturtdaļfinālā ar 1:3 zaudēja turnīra uzvarētājiem Brazīlijai. 1963. gada maijā 22 gadu vecumā B. Mūrs jau pirmo reizi pildīja Anglijas izlases kapteiņa pienākumus, kļūstot par jaunāko komandas kapteini vēsturē.

1964. gadā B. Mūram atklāja sēklinieku audzēju, ko veiksmīgi izoperēja, un šajā gadā viņš kopā ar West Ham United izcīnīja Anglijas kausu, kas bija pirmais šāds panākums kluba vēsturē. 1965. gadā West Ham United ar kapteini B. Mūru priekšgalā svinēja arī kluba lielāko starptautisku panākumu, izcīnot Eiropas Kausu Ieguvēju kausu (European Cup Winner`s Cup), kad Londonas klubs finālmačā Anglijas nacionālajā Vemblija stadionā (Wembley Stadium) gandrīz 98 tūkstošu skatītāju klātbūtnē ar 2:0 apspēlēja Vācijas Federatīvās Republikas (VFR) vienību TSV 1860 München.

1966. gada jūlijā B. Mūrs palīdzēja Anglijas izlasei izcīnīt savu lielāko panākumu vēsturē, kļūstot par pasaules čempioniem. Pasaules kausa finālturnīrā, kas notika Anglijā, B. Mūrs aizvadīja visas sešas spēles, bet 30.07.1966. Vemblija stadionā leģendārajā fināla uzvarā 4:2 pār VFR valstsvienību angļu aizsardzības līderis izcēlās ar divām rezultatīvām piespēlēm. Kā uzvarētāju kapteinis B. Mūrs saņēma pasaules čempionu trofeju no karalienes Elizabetes II (Elizabeth II) rokām, bet gada izskaņā viņu atzina par BBC Gada sporta personību (BBC Sports Personality of the Year).

1968. gadā B. Mūrs Anglijas izlases rindās izcīnīja Eiropas čempionāta bronzas godalgas, finālturnīrā Itālijā pusfinālā ar 0:1 zaudējot Dienvidslāvijai, bet spēlē par trešo vietu ar 2:0 pārspējot Padomju Sociālistisko Republiku Savienības (PSRS) komandu. B. Mūrs tika iekļauts čempionāta simboliskajā komandā. Gatavojoties 1970. gada Pasaules kausa finālturnīram Meksikā, B. Mūrs nonāca skandāla epicentrā Kolumbijā, kur Bogotas viesnīcā juvelieru veikala darbinieki apsūdzēja futbolistu rokassprādzes zādzībā. Kolumbijas policija pat viņu arestēja, bet pēc dažām dienām apsūdzību atcēla, un Anglijas izlases kapteinis varēja piedalīties Pasaules kausā. B. Mūrs atkal spēlēja visos Anglijas izlases mačos, bet ceturtdaļfinālā angļi papildlaikā ar 2:3 zaudēja VFR izlasei.

Nacionālajā izlasē B. Mūrs turpināja spēlēt līdz pat 1973. gada novembrim, kopumā aizvadot 108 valstsacīkstes, kas tobrīd bija Anglijas izlases rekords. Turklāt 90 no šiem mačiem B. Mūrs bija kapteiņa godā, kas arvien ir Anglijas izlases dalīts rekords kopā ar Billiju Raitu (Billy Wright), kurš izlasē spēlēja pirms tam (1946–1959).

1974. gada janvārī B. Mūrs pārgāja uz citu Londonas klubu Fulham, kas spēlēja pēc skaita otrajā Anglijas līgā, nospēlējot trīsarpus sezonas (1974–1977). Profesionālās karjeras noslēgumā B. Mūrs vēl īslaicīgi uzspēlēja Amerikas Savienotajās Valstīs (ASV) un Dānijā, pēdējos mačus aizvadot 1983. gadā ASV vienībā Carolina Lightnin’, kas spēlēja Amerikas Futbola līgā (American Soccer League).

Centra aizsargs B. Mūrs bija visvairāk pazīstams ar teicamu spēles izpratni, spējot jau iepriekš paredzēt pretinieku uzbrucēju darbību. Izcēlās ar līdera dotībām, jau agrā vecumā kļūstot par kapteini gan klubā, gan nacionālajā izlasē. “Mans kapteinis, mans līderis, mans labās rokas vīrs. Viņš bija komandas gars un sirdspuksti. Vēss, apdomīgs futbolists, kuram es varētu uzticēt savu dzīvību,” tā angļu kapteini raksturoja 1966. gada pasaules čempionvienības galvenais treneris Alfs Remzijs (Alf Ramsey).

B. Mūrs bez īpašiem panākumiem izmēģināja spēkus arī trenera arodā – augstākā līmeņa komanda, ko viņš vadīja, bija Anglijas pēc skaita ceturtās līgas klubs Southend United (1984–1986).

1993. gada februārī kļuva zināms, ka B. Mūram diagnosticēts zarnu un aknu vēzis, un 24.02.1993. agrā rītā viņš nomira. Pēc tam jūnijā Anglijas karaliskajā baznīcā Vestminsteras abatijā (Westminster Abbey) par godu B. Mūram tika sarīkots piemiņas dievkalpojums.

Jau drīz pēc triumfālā 1966. gada Pasaules kausa B. Mūrs kļuva par Britu Impērijas ordeņa virsnieku (Officer of the Most Excellent Order of the British Empire; OBE). 1998. gadā B. Mūrs iekļauts 20. gs. simboliskajā komandā (World Team of the 20th Century), par ko balsoja 250 sporta žurnālisti no visas pasaules, bet 2013. gadā viņš tika arī populārā specializētā britu futbola žurnāla World Soccer visu laiku simboliskajā vienpadsmitniekā (Greatest XI of All Time). 1996. gadā B. Mūrs saņēma Starptautiskās Futbola asociāciju federācijas (Fédération Internationale de Football Association, FIFA) augstāko apbalvojumu par nopelniem (FIFA Order of Merit). 2003. gadā par godu Eiropas Futbola asociāciju savienības (Union of European Football Associations, UEFA) 50 gadu jubilejai veiktajā aptaujā B. Mūrs tika nosaukts par 50 gadu (1954–2003) Anglijas “Zelta spēlētāju” (Golden Player). Kopš 2008. gada neviens West Ham United futbolists vairs nespēlē ar kreklu nr. 6., godinot ilggadējo komandas kapteini.

2003. gadā Londonā netālu no West Ham kluba bijušā stadiona Boleyn Ground uzstādīja “Pasaules kausa skulptūru” (World Cup Sculpture), kur B. Mūrs attēlots kopā ar trim 1966. gada čempionvienības komandas biedriem Džefu Hērstu (Geoff Hurst), Mārtinu Pītersu (Martin Peters) un Reju Vilsonu (Ray Wilson). Savukārt kopš 2007. gada pie Anglijas nacionālā Vemblija stadiona ieejas atrodas iespaidīga sešus metrus augsta B. Mūra bronzas statuja. Abus pieminekļus veidojis skotu skulptors Filips Džeksons (Philip Henry Christopher Jackson).

Par B. Mūru sarakstītas vairākas grāmatas, tostarp 2005. gadā iznāca viņa ilggadējās dzīvesbiedres T. Mūras atmiņu darbs “Bobijs Mūrs: No cilvēka, kas viņu vislabāk pazina” (Bobby Moore: By the Person Who Knew Him Best). Balstoties uz šo grāmatu, 2017. gadā iznāca telekanāla ITV radītais televīzijas miniseriāls “Tīna un Bobijs” (Tina and Bobby). Pats B. Mūrs filmējies 1981. gadā iznākušajā slavenā režisora Džona Hjūstona (John Huston) veidotajā Holivudas spēlfilmā “Uzvara” (Victory).