Dzimis Edvīna Ozoliņa un Veltas Ozoliņas ģimenē. Mācījās Rīgas 2. vidusskolā (tagad Rīgas Valsts 2. ģimnāzija), vēlāk Rīgas 55. vidusskolas (tagad Rīgas Sergeja Žoltoka pamatskola) hokejistu speciālajā klasē, bet vidējo izglītību pabeidza Rīgas 93. vidusskolas hokejistu speciālajā klasē. Īslaicīgi studējis vairākās augstskolās.

Hokeja treniņus S. Ozoliņš sāka sešu gadu vecumā hokeja skolā “Latvijas bērzs”. Pirms tam īslaicīgi trenējās daiļslidošanā. Latvijas Padomju Sociālistiskās Republikas (LPSR) hokeja čempionātā startēja komandās “Ķekava” (1987/1988, 1988/1989) un “RASMS” (Republikas augstākā sporta meistarības skola; 1989/1990). “RASMS” sastāvā kļuva par LPSR čempionu (1990).

1990./1991. gada sezonā startēja Rīgas “Dinamo” komandā Padomju Sociālistisko Republiku Savienības (PSRS) čempionāta Augstākajā līgā un “RASMS Energo” komandas sastāvā PSRS A klases otrās līgas jeb trešā līmeņa čempionātā. 1991./1992. gada sezonu S. Ozoliņš sāka “HK Rīga” komandā (sezonas laikā 12.1991. pārdēvēta par “Rīga-Stars”) PSRS atklātā čempionāta Augstākajā līgā, kas pēc PSRS pastāvēšanas izbeigšanas (26.12.1991.) kļuva par Krievijas atklāto čempionātu.

Piedalījās divos pasaules junioru (U-20) čempionātos A grupā. 12.1990.–01.1991. pasaules junioru čempionātā kļuva par pasaules vicečempionu PSRS junioru izlases sastāvā. 12.1991.‒01.1992. pasaules junioru čempionātā A grupā kļuva par pasaules čempionu komandā, kura bija uz turnīru devusies kā PSRS junioru izlase, bet turnīra laikā, beidzot juridiski pastāvēt PSRS valstij, pārdēvēta par Neatkarīgo Valstu Sadraudzības (NVS) junioru izlasi.

06.1991. Nacionālās hokeja līgas (National Hockey League, NHL) ikgadējā jauno spēlētāju pieteikumā jeb draftā (Entry draft) S. Ozoliņu ar kopējo 30. numuru izvēlējās hokeja klubs “San Jose Sharks” (Sanhosē, Amerikas Savienotās Valstis, ASV), rezervējot tiesības slēgt līgumu ar hokejistu. S. Ozoliņš 12.1991. parakstīja līgumu ar “San Jose Sharks” un no 01.1992. S. Ozoliņš hokeja karjeru turpināja Ziemeļamerikā. 1991./1992. gada sezonas turpinājumu S. Ozoliņš aizvadīja Sanhosē vienības fārmklubā jeb rezervistu komandā “Kansas City Blades” (Kanzassitija, ASV), kas startēja Starptautiskās Hokeja līgas (International Hockey League, IHL) čempionātā. “Kansas City Blades” sastāvā izcīnīja Tērnera kausu (Turner Cup) un kļuva par IHL čempionu.

NHL čempionātā debitēja 08.10.1992. “San Jose Sharks” sastāvā, gūstot punktu ar rezultatīvu piespēli. Turpmāk pakāpeniski kļuva par ievērojamu savu pārstāvēto komandu un visas līgas hokejistu. Vairākkārt iebalsots un septiņus gadus piedalījies ikgadējā NHL Visu zvaigžņu spēlē (All-Star Game; 1994, 1997, 1998, 2000–2003). Ir bijis iekļauts simboliskajā NHL zvaigžņu izlasē. 1996. gadā “Colorado Avalanche” (Denevera, ASV) sastāvā S. Ozoliņš izcīnīja Stenlija kausu (Stanley Cup) un kļuva par NHL čempionu, kļūstot par pirmo un līdz šim vienīgo Latvijas hokejistu, kurš ieguvis šo titulu.

Kopumā NHL čempionātā spēlēja 15 sezonas (1992/1993–2003/2004, 2005/2006–2007/2008), kuru laikā aizvadīja 1012 spēles – no tām 875 spēles regulārajā čempionātā un 137 spēles Stenlija kausa izcīņā jeb play off (izslēgšanas spēlēs). Regulārajā čempionātā S. Ozoliņš guva 564 rezultativitātes punktus (167 vārti + 397 rezultatīvas piespēles), izslēgšanas spēlēs 90 punktus (23 + 67).

S. Ozoliņa pārstāvētie NHL klubi: “San Jose Sharks” (1992/1993–1994/1995; 1995/1996 līdz 10.1995.; 2007/2008), “Colorado Avalanche” (1995/1996 no 10.1995.; 1996/1997–1999/2000), “Carolina Hurricanes” (Reilija, ASV; 2000/2001; 2001/2002 līdz 01.2002.), “Florida Panthers” (Sanraiza, ASV; 2001/2002 no 01.2002.; 2002/2003 līdz 01.2003.), “Mighty Ducs of Anaheim” (kopš 2006. gada nosaukums “Anaheim Ducks”; Anaheima, ASV; 2002/2003 no 01.2003.; 2003/2004; 2005/2006 līdz 03.2006.), “New York Rangers” (2005/2006 no 03.2006.; 2006/2007 līdz 12.2006.). Lokauta sezonā (2004/2005), kad nenotika NHL čempionāts, S. Ozoliņš profesionālajā hokejā nestartēja, bet piedalījās Latvijas izlases spēlēs. Pēdējo spēli NHL čempionātā S. Ozoliņš aizvadīja 06.04.2008., NHL karjeru noslēdzot tajā pašā klubā, kurā bija to sācis (“San Jose Sharks”).

Jau pēc debijas NHL čempionātā S. Ozoliņš aizvadīja arī dažas spēles NHL klubu rezervistu komandās – divas spēles 1995./1996. gada sezonā “San Francisco Spiders” (Sanfrancsiko, ASV) sastāvā IHL čempionātā un divas spēles 2007./2008. gada sezonā “Worcester Sharks” (Vustera, ASV) Amerikas Hokeja līgas (American Hockey League, AHL) čempionātā.

S. Ozoliņš saņēmis atzinību par uzstādītajiem savu pārstāvēto NHL klubu rekordiem vēl spēlētāja karjeras laikā, kā arī godināts pēc karjeras beigām. 2015. gadā S. Ozoliņš iekļauts “Colorado Avalanche” visu laiku simboliskajā komandā, kas nosaukta par godu kluba 20 gadu jubilejai un īpaši godināta svinīgā ceremonijā 07.12.2015. Denverā.

Līdz ar NHL spēlētāja karjeras beigām pārtrauca dalību profesionālajā sportā. Taču pēc sezonas atgriezās hokejā un aizvadīja piecas sezonas Kontinentālajā hokeja līgā (Kontinental Hockey League, KHL), kas vienlaikus ir Krievijas čempionāts. Četras sezonas S. Ozoliņš startēja Rīgas “Dinamo” komandā un bija tās kapteinis (2009/2010–2011/2012, 2013/2014). Vienu sezonu aizvadīja Maskavas apgabala “Atlant” sastāvā (2012/2013), bija tās kapteinis. Rīgas “Dinamo” sastāvā aizvadīja savu pēdējo spēli KHL čempionāta Gagarina kausa (Кубок Гагарина) izcīņā 17.03.2014. Pēc tam profesionāla hokejista karjeru pārtrauca.

Kopumā KHL čempionātā piecu sezonu laikā aizvadīja 260 spēles – no tām 224 spēles regulārajā čempionātā un 36 spēles Gagarina kausa izcīņā jeb play off. Regulārajā čempionātā S. Ozoliņš guva 117 rezultativitātes punktus (28 + 89), izslēgšanas spēlēs 15 punktus (1 + 14).

S. Ozoliņš bija ievērojams KHL čempionāta spēlētājs, četras reizes piedalījās ikgadējā KHL Zvaigžņu spēlē (Матч звёзд; 2010–2012, 2014). KHL Zvaigžņu spēlē 21.01.2012. S. Ozoliņš bija viens no divu komandu kapteiņiem. Viņa vadītā KHL zvaigžņu vienība tika nosaukta par Ozoliņa komandu.

Latvijas valstsvienībā S. Ozoliņš debitēja 02.08.1996. Praloņā (Francijā) spēlē pret Francijas izlasi, gūstot vārtus divas reizes. Latvijas hokeja izlases sastāvā piedalījies trijās ziemas olimpiskajās spēlēs (2002, 2006, 2014) un trijos pasaules čempionātos A grupā jeb elitē (1998, 2001, 2002). Augstākais sasniegums kopā ar Latvijas izlasi ir ziemas olimpiskajās spēlēs Sočos (2014) izcīnīta 8. vieta, kas joprojām ir Latvijas hokeja izlases augstākais sasniegums olimpiskajā turnīrā.

Kopā trijās ziemas olimpiskajās spēlēs S. Ozoliņš ir aizvadījis 11 spēles un guvis astoņus rezultativitātes punktus (1 + 7). Trijos pasaules čempionātos kopā Latvijas izlases sastāvā aizvadītas 16 spēles un gūti 11 punkti (3 + 8). S. Ozoliņš valstsvienībā startēja arī trijos olimpiskās kvalifikācijas turnīros (08.1996., 02.2005., 02.2013.; visi notika Rīgā), divos no tiem (2005, 2013) palīdzot Latvijas hokeja izlasei izcīnīt tiesības dalībai ziemas olimpiskajās spēlēs.

Par aiziešanu no Latvijas hokeja izlases S. Ozoliņš paziņoja uzreiz pēc Turīnas olimpiskajām spēlēm 02.2006. Latvijas hokeja sabiedrībā augstu novērtēta S. Ozoliņa atgriešanās izlasē pēc septiņiem gadiem. S. Ozoliņš kā Latvijas hokeja izlases kapteinis sniedza būtisku ieguldījumu valstsvienības sniegumā olimpiskajā kvalifikācijas turnīrā (02.2013.) un olimpiskajās spēlēs (02.2014.). Pēc olimpiskā turnīra apbalvots ar Triju Zvaigžņu ordeni (III šķira; 2014).

2011. gada pasaules čempionātā un sagatavošanās posmā pirms tā S. Ozoliņš valstsvienībā nespēlēja, bet bija Latvijas hokeja izlases ģenerālmenedžeris.

Hokeja aizsargs S. Ozoliņš guvis atzinību kā pretiniekiem neprognozējams spēlētājs ar izcilām iemaņām uzbrukuma veidošanā, prasmi piespēlēt un gūt vārtus. Hokeja eksperti ir slavējuši spēlētāja starta ātrumu, slidošanas tehniku, laukuma pārredzēšanu un spēles izpratni. Īpaši novērtēta S. Ozoliņam piemītošā uzvarētāja psiholoģija, kas palīdzējusi viņa pārstāvētajām komandām.

31.10.2016. pievienojās KHL vienības Rīgas “Dinamo” treneru kolektīvam, kļuva par galvenā trenera palīgu. 29.05.2017. apstiprināts par Rīgas “Dinamo” galveno treneri, taču jau 28.09.2017. pēc abpusējas vienošanās ar kluba vadību S. Ozoliņš pārtrauca trenera darbu komandā. No 01.2019. līdz 02.2022. strādāja KHL komandas Nižņijnovgorodas “Torpedo” treneru kolektīvā.