Izglītību guva Rūjienas Valsts vidusskolā. 20. gs. 20.–30. gadu mijā bija obligātajā karadienestā Latvijas armijā, dienēja Daugavgrīvas artilērijas pulkā. 30. gados pēc dienesta strādāja intendantūras noliktavās, vēlāk – Rīgas pilsētas uzņēmumu valdē par elektrības inkasentu.

Skolas gados aizrāvās ar vairākiem sporta veidiem – futbolu, boksu, dažādām vieglatlētikas disciplīnām: diska mešanu, lodes grūšanu, skriešanu un citām. 20. gs. 20. gadu pirmajā pusē pievērsās grieķu-romiešu cīņai; trenējās sporta biedrības “Krauze” Rūjienas nodaļā. Cīņas sporta sacīkstēs sāka startēt 20. gadu vidū. Sākumā trenējās pie Rūdolfa Roņa, vēlākajos gados E. Bietaga treneri bija arī Jānis Polis un igauņu speciālists Eduards Pitseps (Eduard Pütsep).

No 30. gadu sākuma sportoja Rīgā, sākumā pārstāvēja 1. Rīgas atlētu klubu, Latvijas Boksa klubu (LBK), sporta biedrību “Krauze”, bet 1934.–1940. gadā sporta biedrību “Latvijas Arodorganizāciju sports” (LAS).

Pirmoreiz par Latvijas meistaru jeb čempionu kļuva 1930. gadā smagā svara kategorijā (virs 87 kg). Kopumā par valsts čempionu kļuva piecas reizes smagā svara kategorijā (1930., 1931., 1934., 1935., 1938. gadā). Ar panākumiem startēja arī citos grieķu-romiešu cīņas turnīros Latvijā, t. sk. Rīgas meistarsacīkstēs jeb čempionātos.

30. gadu otrajā pusē bija LAS grieķu-romiešu cīņas instruktors, LAS grieķu-romiešu cīņas sekcijas vadītājs, jauno cīkstoņu treneris.

Eiropas čempionātā debitēja Romā 1934. gadā, kad arī izcīnīja Eiropas čempiona titulu pussmagā svara kategorijā. Vēlāk piedalījies vēl trijos Eiropas čempionātos – 1935., 1938. un 1939. gadā. Eiropas čempionātā Oslo 1939. gadā E. Bietags izcīnīja 5. vietu pussmagā svara kategorijā.

1936. gada vasaras olimpiskajās spēlēs Berlīnē E. Bietags izcīnīja sudraba medaļu pussmagā svara kategorijā. E. Bietaga olimpiskā vicečempiona tituls bija augstākais Latvijas sportistu sasniegums 1936. gada olimpiskajās spēlēs. E. Bietags un bronzas medaļu soļošanā izcīnījušais Adalberts Bubenko, pārrodoties Rīgā no spēlēm Berlīnē, tika īpaši sagaidīti un sumināti.

30. gados E. Bietags piedalījās arī dažādās citās starptautiskās sacīkstēs, t. sk. Igaunijā, Somijā, Zviedrijā. Viņš arī startēja Latvijas grieķu-romiešu cīkstoņu izlasē, pārstāvēja Latviju valstu izlašu sacīkstēs.

Turpināja sportot arī padomju okupācijas laikā, 09.1940. kļuva par Latvijas Padomju Sociālistiskās Republikas (LPSR) čempionu smagā svara kategorijā. 1940.–1941. gadā E. Bietags bija Arodbiedrību centrālās padomes (ACP) fizkultūriešu kolektīva cīņas sporta treneris.

Nacistiskās okupācijas sākumā, 1941.–1942. gadā, E. Bietags bija Arodbiedrību centrālās savienības (ACS) “Atpūta un dzīvotprieks” sporta nodaļas vadītājs. Pēc tam īslaicīgi, 1942. gadā, bija ACS “Atpūta un dzīvotprieks” paspārnē izveidotās sporta biedrības “Auseklis” priekšnieks.

Atjaunojoties padomju okupācijai, līdz 50. gadu pirmajai pusei turpināja dalību sacensībās. Ar panākumiem startēja Rīgas čempionātos, godalgotas vietas ieguva arī Latvijas PSR čempionātos un “Dinamo” sacīkstēs. Pēc Otrā pasaules kara turpināja arī trenera darbu.

Līdzās sacensībās izcīnītajām godalgām – medaļām un kausiem – saņēmis sporta organizāciju, valsts un pašvaldību iestāžu apbalvojumus, t. sk. gravētu pulksteni no sporta biedrības “Krauze” par Eiropas čempiona titula izcīnīšanu (pasniegta 1934. gadā), Latvijas Olimpiskās komitejas Piemiņas balvu par sudraba godalgas izcīnīšanu olimpiskajās spēlēs (pasniegta 1937. gadā). Pēc E. Bietaga nāves Latvijā norisinājās Edvīna Bietaga piemiņas turnīrs (saukts arī – Edvīna Bietaga memoriāls) cīņas sportā; viņam par godu tika nosaukts cīņas sporta klubs “Bietags”. 12.2015. Rūjienas novada pašvaldība nolēma Rūjienas vidusskolas jaunizveidotajam stadionam piešķirt nosaukumu ‒ Edvīna Bietaga vārdā nosauktais Rūjienas vidusskolas stadions.

Saskaņā ar 30. gadu Latvijas sporta preses atzinumu viņš bija pirmais latviešu sportists, kurš izcīnījis Eiropas čempiona titulu. Šis apgalvojums sniegts, neņemot vērā Latvijas sportistu panākumus iepriekš – Eiropas ledusjahtu burāšanas čempionātos 03.1929. un 03.1934., kad uzvaras izcīnīja Latvijas sportisti vācbaltieši.