Absolvēja Rīgas 4. vidusskolu. 1964. gadā pabeidza studijas Latvijas Valsts fiziskās kultūras institūtā (LVFKI; tagad Latvijas Sporta pedagoģijas akadēmija), iegūstot specialitāti – fiziskās kultūras un sporta pasniedzēja.
Ar slidošanu nodarbojās jau no bērnības. Mācoties skolā, sāka vieglatlētikas treniņus; skolas gados piedalījās skolēnu sacensībās vieglatlētikā, slēpošanā un citos sporta veidos. Ātrslidošanai pievērsās 20. gs. 50. gadu vidū, kad pieteicās ātrslidošanas grupā “Daugavas” stadionā; grupu trenēja un par L. Kaunistes pirmo treneri ātrslidošanā kļuva ievērojamais latviešu ātrslidotājs Alfons Bērziņš. Drīzumā A. Bērziņam tika liegts trenēt jaunatni, un L. Kauniste sāka trenēties pie Aivara Leinerta. No ātrslidošanas gaitu sākuma viņas treniņu partnere un konkurente sacensībās bija latviešu ātrslidotāja Ārija Gulīte (vēlāk Marksa, Marksa-Ebela; 20. gs. 60. gadu vidū aktīvās sporta gaitas pārtrauca).
Par pirmo ievērojamo L. Kaunistes sasniegumu kļuva 15 gadu vecumā 02.1958. iegūtā 1. klase ātrslidošanā; tas ļāva startēt augstāka līmeņa sacensībās. 01.1959. L. Kauniste laboja vairākus Padomju Sociālistisko Republiku Savienības (PSRS) jaunatnes rekordus. 01.‒02.1959. piedalījās starptautiskās PSRS un Vācijas Demokrātiskās Republikas (VDR) ātrslidotāju sacensībās Alma-Atā (tag. Almati Kazahstānā). 1959. gada vasarā pirmoreiz izsaukta uz PSRS izlases treniņnometni, bet 1960. gadā pēc PSRS jaunatnes ātrslidošanas čempionāta ieguva vietu PSRS izlasē. No 20. gs. 60. gadu sākuma L. Kaunistes treneris PSRS izlasē bija Jevgeņijs Krasiļņikovs (Евгений Николаевич Красильников).
Precējusies ar igauņu ātrslidotāju Toivo Kaunisti (Toivo Kauniste).