Absolvēja Rīgas 4. vidusskolu. 1964. gadā pabeidza studijas Latvijas Valsts fiziskās kultūras institūtā (LVFKI; tagad Latvijas Sporta pedagoģijas akadēmija), iegūstot specialitāti – fiziskās kultūras un sporta pasniedzēja.

Ar slidošanu nodarbojās jau no bērnības. Mācoties skolā, sāka vieglatlētikas treniņus; skolas gados piedalījās skolēnu sacensībās vieglatlētikā, slēpošanā un citos sporta veidos. Ātrslidošanai pievērsās 20. gs. 50. gadu vidū, kad pieteicās ātrslidošanas grupā “Daugavas” stadionā; grupu trenēja un par L. Kaunistes pirmo treneri ātrslidošanā kļuva ievērojamais latviešu ātrslidotājs Alfons Bērziņš. Drīzumā A. Bērziņam tika liegts trenēt jaunatni, un L. Kauniste sāka trenēties pie Aivara Leinerta. No ātrslidošanas gaitu sākuma viņas treniņu partnere un konkurente sacensībās bija latviešu ātrslidotāja Ārija Gulīte (vēlāk Marksa, Marksa-Ebela; 20. gs. 60. gadu vidū aktīvās sporta gaitas pārtrauca).

Par pirmo ievērojamo L. Kaunistes sasniegumu kļuva 15 gadu vecumā 02.1958. iegūtā 1. klase ātrslidošanā; tas ļāva startēt augstāka līmeņa sacensībās. 01.1959. L. Kauniste laboja vairākus Padomju Sociālistisko Republiku Savienības (PSRS) jaunatnes rekordus. 01.‒02.1959. piedalījās starptautiskās PSRS un Vācijas Demokrātiskās Republikas (VDR) ātrslidotāju sacensībās Alma-Atā (tag. Almati Kazahstānā). 1959. gada vasarā pirmoreiz izsaukta uz PSRS izlases treniņnometni, bet 1960. gadā pēc PSRS jaunatnes ātrslidošanas čempionāta ieguva vietu PSRS izlasē. No 20. gs. 60. gadu sākuma L. Kaunistes treneris PSRS izlasē bija Jevgeņijs Krasiļņikovs (Евгений Николаевич Красильников).

Precējusies ar igauņu ātrslidotāju Toivo Kaunisti (Toivo Kauniste).

Pirmo reizi PSRS izlases sastāvā L. Kauniste uz pasaules čempionātu devās 1963. gadā (Karuizavā, Japānā), taču palika rezervē un sacensībās nepiedalījās. Pasaules čempionātā debitēja 1966. gadā (Tronheimā, Norvēģijā), klasiskajā daudzcīņā izcīnot 7. vietu. Kopumā ir piedalījusies sešos pasaules čempionātos (1966–1970, 1973). Augstākie sasniegumi pasaules čempionātos klasiskajā daudzcīņā – 1. vieta 1969. gadā (Grenoblē, Francijā) un 2. vieta 1967. gadā (Deventerā, Nīderlandē). 1969. gada pasaules čempionātā Grenoblē, kur kļuva par uzvarētāju klasiskajā daudzcīņā un ieguva t. s. absolūtās čempiones titulu, izcīnīja 1. vietu 1000 m distancē (3. vieta 500 m; 3. vieta 1500 m; 5. vieta 3000 m) un laboja PSRS rekordus divās distancēs (1000 m un 3000 m). Pasaules čempionātos klasiskajā daudzcīņā 1968. gadā (Helsinkos, Somijā) izcīnīta 4. vieta, 1970. gadā (Vestalisā, Amerikas Savienotajās Valstīs) – 5. vieta, 1973. gadā (Strēmsundā, Zviedrijā) – 10. vieta.

Ziemas olimpiskajās spēlēs Grenoblē 1968. gadā L. Kauniste izcīnīja 5. vietu 1500 m ātrslidošanas distancē, 11. vietu 1000 m distancē, 12. vietu 3000 m distancē. Pirmajā Eiropas ātrslidošanas čempionātā sievietēm 1970. gadā (Hērenvēnā, Nīderlandē) izcīnīja 7. vietu klasiskajā daudzcīņā. Ceturtajā Eiropas čempionātā 1973. gadā (Brandbu, Norvēģijā) ieguva 8. vietu klasiskajā daudzcīņā. 1970. gadā (Vestalisā) ieguva 10. vietu sprinta daudzcīņā pirmajā Starptautiskās Slidošanas savienības (International Skating Union, ISU) sprinta čempionātā, kas vēlāk pārdēvēts par pasaules čempionātu sprinta ātrslidošanā.

Līdz 1975. gadam piedalījās arī citās dažāda līmeņa starptautiskās sacensībās, t. sk. Francijā (Grenoblē), Norvēģijā (Drammenā, Gjevikā, Oslo, Tēnbergā), PSRS (Alma-Atā, Medeo), Šveicē (Davosā), Ungārijā (Budapeštā), VDR (Berlīnē, Kemnicā), Zviedrijā (Gēteborgā). Ir piedalījusies valstssacīkstēs PSRS izlases sastāvā.

1960.–1975. gadā (ar pārtraukumiem) piedalījās PSRS ātrslidošanas čempionātos. Augstākie sasniegumi daudzcīņā bija trīs reizes izcīnītais PSRS vicečempiones tituls (1968.–1970. gadā) un 3. vieta (1967. gadā). Atsevišķās distancēs trīs reizes kļuvusi par PSRS čempioni – 1000 m (1967. un 1969. gadā) un 1500 m distancē (1968. gadā), trīs reizes par PSRS vicečempioni – 1000 m (1968. un 1970. gadā) un 3000 m distancē (1973. gadā). PSRS čempionāta bronzas godalgu atsevišķās distancēs izcīnīja 3000 metros (1968. gadā).

1973. gada PSRS čempionātā daudzcīņā ar labiem panākumiem startēja atsevišķās distancēs, izcīnot 1. vietu 500 m un 3. vietu 1000 m distancē (tas nenozīmēja attiecīgas vietas PSRS čempionātā, jo togad nodalīti norisinājās PSRS čempionāts atsevišķās distancēs).

L. Kauniste ar panākumiem startēja ari citās nozīmīgās PSRS līmeņa ātrslidošanas sacensībās, t. sk. PSRS jaunatnes čempionātā, Sergeja Kirova piemiņas sacensībās, Kazahijas PSR Ministru Padomes balvas izcīņā, Vissavienības Arodbiedrību ziemas spartakiādē, PSRS izlases un olimpisko kandidātu pārbaudes sacensībās, PSRS tautu ziemas spartakiādē, Jakova Meļņikova piemiņas sacensībās, Sporta biedrības “Lokomotīve” Vissavienības sacensībās, Krievijas Padomju Federatīvās Sociālistiskās Republikas spartakiādē, PSRS kausa izcīņā, Vissavienības arodbiedrību sporta biedrību individuālajās meistarsacīkstēs, Alma-Atas izpildkomitejas balvas izcīņā, dažādās padomju republiku un pilsētu sacensībās. Startējot PSRS čempionātos un citās sacensībās, L. Kauniste daudzkārt labojusi Latvijas Padomju Sociālistiskās Republikas (LPSR) rekordus ātrslidošanā daudzcīņā un dažādās distancēs.

No 20. gs. 50. gadu otrās puses periodiski un ar panākumiem piedalījās Latvijas PSR līmeņa ātrslidošanas sacensībās – Latvijas PSR čempionātā, Rīgas čempionātā, Kultūras un atpūtas parka balvu izcīņā (Rīgā), Latvijas PSR ziemas olimpiādē, Latvijas PSR ziemas sporta spēlēs, Paula Felsberga piemiņas balvas izcīņā, Latvijas PSR arodbiedrību ziemas spartakiādē.

Pēc 1974./1975. gada sezonas beidza aktīvās sporta gaitas un kļuva par jauno ātrslidotāju treneri sporta biedrībā “Lokomotīve” Rīgā. 1976.–1988. gadā bija Rīgas 7. bērnu un jaunatnes sporta skolas (7. BJSS; tagad Sporta skola “Arkādija”) direktore, skolā trenēja ātrslidotājus. Bija arī šorttreka slidotāju trenere. Starp L. Kaunistes audzēkņiem ir latviešu sportisti Ilonda Lūse, Haralds Silovs. Darbojās 20. gs. 90. gadu sākumā dibinātā Latvijas Olimpiešu kluba (reģistrēts 10.12.1993.) padomē, ir bijusi Latvijas Speciālās Olimpiādes izpilddirektore. Strādājusi jomā, kas aprūpē bērnus ar īpašām vajadzībām.

No 20. gs. 90. gadu vidus ar panākumiem piedalījusies vecmeistaru sacensībās, t. sk. izcīnījusi zelta godalgas t. s. meistaru pasaules čempionātos (World Championships Masters) dažādās disciplīnās savās vecuma grupās 01.2002. Hamarā (Norvēģijā), 02.2004. Incellē (Vācijā), 02.‒03.2009. Bjugnā (Norvēģijā). Daudzkārt bijusi šo sacensību vicečempione. 

Pateicoties progresējošam sniegumam, pieaugošu ievērību Latvijā izpelnījās 20. gs. 60. gadu otrajā pusē, kad latviešu sporta presē tika dēvēta par ledus celiņa karalieni, slidu karalieni un līdzīgi. Īpašu popularitāti Latvijā guva pēc tam, kad 02.1969. Grenoblē kļuva par pasaules čempioni. Atgriežoties no pasaules čempionāta, L. Kaunisti dzelzceļa stacijā Rīgā sagaidīja amatpersonas un sporta līdzjutēju tūkstoši; no stacijas viņa tika iznesta uz rokām. Par sasniegto pasaules čempionātā L. Kauniste 1969. gadā tika apbalvota ar Latvijas PSR Augstākās Padomes Prezidija Goda rakstu, Darba Sarkanā karoga ordeni un saņēma prestižo goda nosaukumu – PSRS Nopelniem bagātā sporta meistare. Laikraksta “Sports” aptaujā L. Kauniste tika atzīta par 1969. gada populārāko sportisti Latvijā (sieviešu konkurencē). Savukārt PSRS sporta žurnālistu federācijas tradicionālajā aptaujā par 1969. gada labāko PSRS sportistu (kopīgi – sievietēm un vīriešiem) L. Kauniste ierindojās 7. vietā. Drīz pēc uzvaras pasaules čempionātā latviešu komponiste Elga Igenberga sacerēja dziesmu “Teic, spogulīt” (vārdu autors – sporta komentētājs Gunārs Jākobsons).