Dzimis strādnieka, jumiķa Artūra Mellupa un mājsaimnieces, audējas Lidijas Mellupes (dzimusi Pormeistere) ģimenē. Mācījās Rīgas Valsts tehnikuma (RVT; 1945.–1991. gadā Rīgas Industriālais politehnikums) ķīmijas nodaļā. 1944. gadā mobilizēts un īslaicīgi dienēja nacistiskās Vācijas Gaisa spēkos kā palīgs (Luftwaffenhelfer).

Jau kopš bērnības pievērsās dažādiem sporta veidiem un kļuva par daudzpusīgu sportistu. Ievērojamus panākumus guva hokejā, futbolā, boksā; startēja arī basketbolā, bendijā, tenisā un citos sporta veidos. Par H. Mellupa pirmajiem treneriem kļuva viņa vecākais brālis Augusts Mellups un Georgs Jankovskis.

Padomju okupācijas laikā, 1940.–1941. gadā, spēlēja vienībā “Aldaris” (Rīgā), no 1941. gada “Universitātes sporta” (“US”) futbola komandā. Pēc Otrā pasaules kara startēja atjaunotajā Rīgas “Dinamo” komandā, kuras sastāvā 1945. gadā kļuva par Latvijas Padomju Sociālistiskās Republikas (LPSR) futbola čempionu. 1945. gadā spēlēja LPSR jauniešu futbola izlasē. 1946.–1948. gadā startēja Rīgas “Dinamo” sastāvā Padomju Sociālistisko Republiku Savienības (PSRS) čempionātā. Visas trīs sezonas bija labākais vārtu guvējs komandā (1946. gadā 20 vārti, 1947. gadā 16 vārti, 1948. gadā 20 vārti). H. Mellups kā “Dinamo” futbolists 11.1947. apbalvots ar LPSR Augstākās Padomes prezidija goda rakstu.

H. Mellups futbolā raksturots kā meistarīgs, neatlaidīgs un taktiski gudrs uzbrucējs ar izkoptu prasmi izvēlēties pozīciju (atrašanās vietu) pie pretinieka vārtiem un laukumā kopumā. Dēvēts par klejojošo uzbrucēju.

Hokeju sāka spēlēt 1943./1944. gada sezonā. Viņa debija hokejā notika 27.02.1944., aizvadot draudzības spēli “US” pirmās komandas vārtsarga pozīcijā. H. Mellups bija stājies hokeja vārtos, vēl neprotot slidot. Par viņa treneri slidotprasmē un vārtsarga iemaņu izkopšanā kļuva Elmārs Bauris. 1944. gadā H. Mellups “US” sastāvā kļuva par Rīgas hokeja meistaru jeb čempionu. 1943./1944. gada sezonā draudzības spēles aizvadīja gan “US” pirmās, gan “US” otrās komandas sastāvā.

Pirmajā pēckara LPSR hokeja čempionātā, 1945./1946. gada sezonā, spēlēja Rīgas “Dinamo” pirmajā komandā. Tās sastāvā kļuva par LPSR čempionu. 02.‒03.1946. bija LPSR hokeja izlases vārtsargs spēlēs pret Lietuvas Padomju Sociālistiskās Republikas izlasi. Startēja Rīgas hokeja izlases sastāvā sacīkstēs pret Kauņas izlasi (02.‒03.1946., 01.1947.).

Trīs sezonas aizvadīja Rīgas “Dinamo” sastāvā PSRS hokeja čempionātā (1946/1947–1948/1949). Augstākais H. Mellupa sasniegums Rīgas “Dinamo” sastāvā bija komandas izcīnītā 4. vieta PSRS čempionātā (divas reizes – 1947. un 1948. gadā). Pirmajā PSRS hokeja čempionātā, 1946./1947. gada sezonā, H. Mellups vietu komandas vārtos dalīja ar leģendāro latviešu vārtsargu Robertu Lapaini. Turpmākajās sezonās H. Mellups bija “Dinamo” pamatvārtsargs un viens no izcilākajiem spēlētājiem šajā pozīcijā visā PSRS hokeja čempionātā.

1948. gadā H. Mellups tika iekļauts t. s. Maskavas izlasē, kas faktiski bija PSRS izlase. Tās sastāvā 02.‒03.1948. Maskavā veiksmīgi aizvadīja trīs spēles pret Čehoslovākijas čempionvienību Prāgas “LTC” (Lawn Tennis Club), kurā spēlēja liela daļa Čehoslovākijas hokeja izlases dalībnieku. Gatavojoties šīm spēlēm, H. Mellups 02.1948. pārbaudes sacīkstēs spēlēja Maskavas “Spartak” un Maskavas “CDKA” (Центральный дом Красной Армии; latviski saukta “SACN”) hokeja vienību sastāvā.

Pēc nesaskaņām ar Rīgas “Dinamo” organizatoriem un jau iepriekš paustām vēlmēm pamest klubu H. Mellups pārcēlās uz Maskavas hokeja komandu “VVS MVO” (Военно воздушные силы Московского военного округа; latviski saukta “GKS”), kuras sastāvā sāka 1949./1950. gada sezonu PSRS čempionātā. H. Mellups gāja bojā 22 gadu vecumā aviokatastrofā kopā ar “VVS MVO” komandu, t. sk. latviešu hokejistu Robertu Šūlmani, lidojot uz hokeja spēli Čeļabinskā un lidmašīnai nogāžoties netālu no Koļcovas lidostas Sverdlovskas (tagad Jekaterinburga) apkaimē. Katastrofā gāja bojā visas lidmašīnā esošās 19 personas – seši ekipāžas locekļi un 13 pasažieri (hokeja komandas spēlētāji un personāls).

H. Mellups hokejā augsti vērtēts par zibenīgu reakciju, spēles taktikas izpratni, nosvērtu rīcību, sargājot vārtus. Komandas biedru un hokeja speciālistu atzinību saņēmis par sportisko raksturu un neatlaidību, cīnoties šķietami jau bezcerīgās situācijās.

Otrā pasaules kara laikā ar panākumiem startēja jauniešu boksa sacensībās. Nacistiskās okupācijas laika boksa turnīros pārstāvēja sporta biedrību “US”. Piedalījās “US” vienības sastāvā komandu sacensībās. 02.1944 uzvarēja okupētās Latvijas jaunatnes boksa meistarsacīkstēs gaiļa svarā; jauniešu sacensībās uzvarējis arī iepriekš. Rīgas boksa izlasē iekļauts gan nacistiskās okupācijas laikā 1944. gadā, gan pēc padomju okupācijas režīma atjaunošanas 1945. gadā. Pēc kara arī boksā pārstāvēja Rīgas “Dinamo”. 09.1945. kļuva par LPSR boksa čempionu pusvieglajā svarā. 04.1947. uzvarēja Rīgas boksa čempionātā vieglajā svarā.

Pēc hokeja speciālistu atzinuma, tieši cīņas boksa ringā bija attīstījušas hokeja vārtsarga H. Mellupa zibenīgo reakciju un spēju acumirklī pieņemt izšķirošus lēmumus.

H. Mellups spēlēja arī basketbolu. 40. gados, kara laikā un pēc kara, pārstāvēja RVT (vēlāk ‒ Rīgas Industriālais politehnikums) komandu vidusskolu basketbola sacensībās. Pēckara gados spēlēja Rīgas “Dinamo” pirmajā komandā Rīgas basketbola čempionātā. 1946. gadā spēlēja Rīgas “Dinamo” bendija komandā. Piedalījies arī citu sporta veidu sacensībās.

40. gados, pateicoties izcilam sniegumam hokeja un futbola laukumā, kā arī viņa sportiskajai attieksmei, H. Mellups bija kļuvis par vienu no populārākajiem sportistiem LPSR. Savukārt PSRS līmenī viņš tika īpaši novērtēts kā hokeja vārtsargs.

“VVS MVO” hokeja komandas bojāeja 01.1950. tika noklusēta un netika atspoguļota tā laika PSRS medijos. Tikai vairākus gadus pēc notikuma PSRS varas iestādes ļāva visas valsts mērogā publiskot informāciju par “VVS MVO” un tās sportistu bojāeju. Koļcovas kapos, kur apbedīti 07.01.1950. notikušās aviokatastrofas upuri, ierīkota piemiņas vieta, kur 90. gadu sākumā ar Jekaterinburgas hokeja kluba “Avtomobiļist” iniciatīvu un finansējumu ierīkots jauns piemineklis bojāgājušajiem.

Godinot H. Mellupa piemiņu, 1967./1968. gadā jauniešu hokeja turnīrā “Zelta ripa” startējusī 32. namu pārvaldes komanda bija nosaukta sportista vārdā – Harija Mellupa vārdā nosauktā 32. namu pārvaldes komanda. 70. gadu sākumā LPSR Hokeja federācija plānoja iedibināt H. Mellupa un R. Šūlmaņa piemiņas balvu.

Arī pēc daudziem gadiem krievu hokeja speciālisti ir novērtējuši H. Mellupu kā pirmo izcilo vārtsargu PSRS hokejā. Padomju laika hokeja autoritāte, spēlētājs un treneris Vsevolods Bobrovs (Всеволод Михайлович Бобров) atzina H. Mellupu par tehniski meistarīgāko vārtsargu pirmajos PSRS čempionātos.