Dzimis ekspeditora Viļa Šūlmaņa un mājsaimnieces Marijas Šūlmanes (dzimusi Spure) ģimenē. Mācījies Rīgas Valsts tehnikumā (RVT; 1945.–1991. gadā Rīgas Industriālais politehnikums).

Hokeja gaitas sāka kopā ar vecāko brāli Voldemāru Šūlmani slidotavā Vienības laukumā (tagad Esplanāde), pievienojās sporta biedrības “Universitātes sports” (“US”) jaunajiem hokejistiem. Valsts turnīros hokeju sāka spēlēt 20. gs. 30. gadu otrajā pusē “US-2” komandas sastāvā. 1937./1938. gada sezonā bija viens no “US-2” uzbrukuma līderiem Latvijas hokeja meistarsacīkšu 2. klases turnīrā. 1938./1939. un 1939./1940. gada sezonās spēlēja gan “US-2” sastāvā, gan “US” pirmajā komandā. 1940. gadā “US” pirmās komandas sastāvā kļuva par Latvijas hokeja meistaru jeb čempionu. Spēlējot kopā ar brāli V. Šūlmani, bija kļuvuši par rezultatīvu hokeja uzbrucēju tandēmu.

01.1939. spēlēja Latvijas jaunatnes hokeja izlasē. 1940. gadā iekļauts Latvijas hokeja izlasē kā rezerves uzbrucējs spēlēm pret Igaunijas izlasi un Tallinas Sport vienību, taču oficiālajās valstssacīkstēs nestartēja. Spēlēja 11.03.1940. Rīgas hokeja izlases sastāvā t. s. pilsētu sacīkstēs pret Tallinas izlasi. Tā kļuva par Latvijas hokejistu pēdējo starptautisko hokeja spēli pirms valsts okupācijas.

1940./1941. gada sezonā iekļauts jaunizveidotajā Rīgas “Dinamo” komandā. Tās sastāvā 1941. gadā kļuva par Latvijas Padomju Sociālistiskās Republikas (LPSR) hokeja čempionu. Tosezon spēlēja arī Rīgas hokeja izlasē (01.1941. pret Kauņas “Dinamo” hokeja vienību).

Nacistiskās okupācijas laikā spēlēja dažādās hokeja vienībās: 1941./1942. gada sezonā “bij. ASK” (t. i., “bijušais Armijas Sporta klubs”), “Ledus lāči”, “RSK” (Rīgas Sporta klubs) pirmajā komandā, 1942./1943. gada sezonā ‒ vienībā “Daugavieši”, 1943./1944. gada sezonā ‒ “US” pirmajā komandā.

Pirmajā pēckara LPSR hokeja čempionātā, 1945./1946. gada sezonā, spēlēja Rīgas “Dinamo” pirmajā komandā. Tās sastāvā kļuva par LPSR čempionu. 02.‒03.1946. startēja LPSR hokeja izlasē tās spēlēs pret Lietuvas Padomju Sociālistiskās Republikas izlasi. Piedalījās Rīgas hokeja izlases sastāvā sacīkstēs pret Kauņas izlasi (02.‒03.1946., 01.1947.).

Aizvadīja trīs sezonas Rīgas “Dinamo” sastāvā PSRS hokeja čempionātā (1946/1947–1948/1949). Augstākais R. Šūlmaņa sasniegums Rīgas “Dinamo” sastāvā bija komandas izcīnītā 4. vieta pirmajos divos PSRS čempionātos (1947, 1948).

Līdz 20. gs. 40. gadu otrajai pusei R. Šūlmaņa pamatpozīcija hokejā bija uzbrucējs. Šajā postenī aizvadīja lielāko daļu spēļu, bet 40. gadu otrajā pusē, kad Rīgas “Dinamo” trūka aizsardzības spēlētāju, komandas interesēs pārkvalificējās par aizsargu. Spēlējot šajā pozīcijā, sekmīgi piedalījās uzbrukumos un bija rezultatīvs. Atzinīgi novērtēts par labu individuālo tehniku, labu ātrumu, spēcīgu un precīzu metienu, spēles taktisko izpratni, pašaizliedzību cīņā, azartisku dedzību spēlē.

Pēc hokeja pozīcijas nomaiņas aizsargu pāris, kurā spēlēja R. Šūlmanis un Harijs Vītoliņš, kļuva slavens visā PSRS hokeja čempionātā. Pirms PSRS hokejistu spēlēm pret Čehoslovākijas čempionvienību Prāgas LTC (Lawn Tennis Club) R. Šūlmanis 02.1948. iekļauts t. s. Maskavas izlases (faktiski PSRS izlase) treniņnometnē. Tās pamatsastāvā neiekļuva, bet pret Prāgas LTC spēlēja t. s. Maskavas otrās izlases sastāvā.

1949. gadā kopā ar vārtsargu Hariju Mellupu pārcēlās no Rīgas “Dinamo” uz Maskavas hokeja komandu VVS MVO (Военно воздушные силы Московского военного округа; latviski saukta “GKS”), kuras sastāvā sāka 1949./1950. gada sezonu PSRS čempionātā. R. Šūlmanis gāja bojā 27 gadu vecumā aviokatastrofā kopā ar VVS MVO komandu, t. sk. latviešu hokejistu H. Mellupu, lidojot uz hokeja spēli Čeļabinskā un lidmašīnai nogāžoties netālu no Koļcovas lidostas Sverdlovskas (tagad Jekaterinburga) apkaimē. Katastrofā gāja bojā visas lidmašīnā esošās 19 personas – seši ekipāžas locekļi un 13 pasažieri (hokeja komandas spēlētāji un personāls).

Ar panākumiem spēlēja futbolu dažādos laukuma spēlētāju posteņos, bet biežāk izcelts kā futbola aizsargs. Valsts futbola turnīros sāka spēlēt 20. gs. 30. gadu otrajā pusē “Rīgas Vanderers” (“RV”; no 1938. gada nosaukums “Rīgas vilki”) komandās. “RV” jaunatnes vienības sastāvā kļuva par Latvijas jaunatnes futbola līgas turnīra uzvarētāju (1939). Iekļauts LPSR jaunatnes futbola izlasē (1940). LPSR futbola sacīkstēs 1941. gadā spēlēja galvenokārt Rīgas “Dinamo” un “Dinamo-2” komandās. Startēja Rīgas futbola izlasē. Nacistiskās okupācijas laikā Latvijā notikušajos futbola turnīros spēlēja galvenokārt vienībās “Daugavieši” un “US”. Turpināja spēlēt futbolu, arī atjaunojoties padomju okupācijai. Startēja LPSR futbola izlasē (1945) un vietējos LPSR līmeņa futbola turnīros Rīgas “Dinamo” sastāvā. R. Šūlmanis spēlēja arī basketbolu, nodarbojās ar airēšanu, slēpošanu.

VVS MVO hokeja komandas bojāeja 01.1950. tika noklusēta un netika atspoguļota tā laika PSRS medijos. Tikai vairākus gadus pēc notikuma PSRS varas iestādes ļāva visas valsts mērogā publiskot informāciju par VVS MVO un tās sportistu bojāeju. Koļcovas kapos, kur apbedīti 07.01.1950. notikušās aviokatastrofas upuri, ierīkota piemiņas vieta, kur 20. gs. 90. gadu sākumā ar Jekaterinburgas hokeja kluba Avtomobiļist iniciatīvu un finansējumu ierīkots jauns piemineklis bojāgājušajiem.