Dzimis inženiera Frīdriha Eduarda Jūlija Bergmaņa un Elzas Augustes Bergmanes (dz. Millere) ģimenē. 1924.–1929. gadā mācījās Rīgas pilsētas vācu vidusskolā. 1929.–1939. gadā (ar pārtraukumiem) studēja Latvijas Universitātes (LU) Inženierzinātņu fakultātē. 1938.–1939. gadā dienēja Latvijas armijā, 6. Rīgas kājnieku pulkā. Pēc dienesta armijā atsāka studijas LU, taču jau 1939. gada decembrī kā vācu tautības Latvijas pilsonis atbrīvots no Latvijas pavalstniecības, pēc tam izceļoja uz Vāciju.

Kā vairums Latvijas hokejistu 20. gs. 30. gadu sākumā, Z. Bergmanis vispirms ziemas sportā sāka nodarboties ar bendiju. 1930./1931. gada sezonā “Rīgas Vanderers” (RV; arī “Riga Wanderers”) sastāvā kļuva par Latvijas bendija čempionu.

Valsts hokeja turnīros sāka spēlēt 1931./1932. gada sezonā (“Kaiserwald” vienībā). Jau tajā sezonā kā viens no labākajiem “Kaiserwald” spēlētājiem bija iekļauts Latvijas hokeja izlases sastāvā braucienam uz tās pirmo starptautisko turnīru – Eiropas čempionātu Berlīnē (03.1932.). Tomēr Latvijas Ziemas sporta savienības (LZSS) nesaskaņu un finansiālu problēmu dēļ bija viens no tiem sportistiem, kuri uz turnīru nedevās.

Turpmākās trīs sezonas Z. Bergmanis aizvadīja “Union” sastāvā (1932/1933–1934/1935). Kļuva par vienu no rezultatīvākajiem “Union” hokeja komandas uzbrucējiem. “Union” sastāvā 1933. gadā izcīnīja Latvijas hokeja čempiona titulu, piedalījās komandas izbraukuma spēlēs Austrumprūsijā (1933/1934).

Z. Bergmaņa māsa Hariete Bergmane (1906–?) bija peldētāja sporta biedrībā “Kaiserwald”.