Rūsiņš Mārtiņš Freivalds starptautiski ir pazīstams ar varbūtisko algoritmu matricu reizinājuma pārbaudei, kas mūsdienās tiek dēvēts par Freivalda algoritmu (Freivalds’ algorithm).

R. M. Freivalds dzimis matemātikas skolotājas Annas Ģertrūdes un vēlākā augsnes zinātnieka, Latvijas Lauksaimniecības akadēmijas (kopš 2022. gada Latvijas Biozinātņu un tehnoloģiju universitāte) docenta Visvalža Freivalda ģimenē. Viņa trimdā Amerikas Savienotajās Valstīs (ASV) dzimušais brālēns Andris Freivalds bija profesors, pēc tam emeritētais profesors Pensilvānijas Pavalsts Universitātē (Pennsylvania State University), arī Latvijas Universitātes Goda doktors.

R. M. Freivalds vidējo izglītību ieguvis Rīgas 3. vidusskolā (1960; absolvēja ar sudraba medaļu). 1965. gadā viņš ar izcilību absolvēja Latvijas Valsts universitāti (LVU, kopš 1991. gada Latvijas Universitāte, LU). 1971. gadā kļuvis par fizikas un matemātikas zinātņu kandidātu, Padomju Sociālistisko Republiku Savienības (PSRS) Zinātņu akadēmijas Sibīrijas nodaļas Matemātikas institūtā (Институт математики Сибирского отделения Академии Наук СССР) profesora Borisa (Boaza) Trahtenbrota (Борис Авраамович Трахтенброт) vadībā aizstāvot disertāciju “Par daudzzīmju loģikas funkciju sistēmu pilnību ar precizitāti līdz kodēšanai” (О полноте с точностью до кодирования систем функций конечнозначных логик). 1985. gadā Maskavas Valsts universitātē (Московский государственный университет) aizstāvējis zinātņu doktora disertāciju “Rēķini ar varbūtiskām mašīnām, kuru resursi ir ierobežoti” (Вычисления на вероятностных машинах с ограниченными ресурсами), iegūstot fizikas un matemātikas zinātņu doktora grādu (diploms 1986. gadā). 1992. gadā nostrifikācijas kārtībā R. M. Freivaldam piešķirts habilitētā matemātikas doktora zinātniskais grāds (Dr. habil. math.). Tajā pašā gadā viņš ievēlēts par Latvijas Zinātņu akadēmijas īsteno locekli (akadēmiķi). 2010. gadā R. M. Freivalds ievēlēts par Eiropas Zinātņu akadēmijas (Academia Europaea) biedru.

No 1965. gada līdz 2016. gadam (ar pārtraukumu 1966. un 1967. gadā, atrodoties obligātajā karadienestā padomju armijā) R. M. Freivalds bija mācībspēks LVU Fizikas un matemātikas fakultātē un no 2009. gada – Datorikas fakultātē. Kopš 1987. gada ieņēmis profesora amatu. R. M. Freivalda darba un pētniecības pieredze (1970–2016) saistīta arī ar Latvijas Universitātes Matemātikas un informātikas institūtu (līdz 1990. gadam P. Stučkas LVU Skaitļošanas centrs), pildot gan jaunākā un vēlāk – vecākā zinātniskā līdzstrādnieka, gan laboratorijas vadītāja, gan arī vadošā pētnieka pienākumus. No 1985. līdz 1991. gadam viņš bijis institūta direktora vietnieks zinātniskajā darbā.

Kopumā R. M. Freivalds ir vairāk nekā 200 zinātnisko publikāciju autors vai līdzautors, piecu grāmatu līdzautors un desmit zinātnisku rakstu krājumu redaktors vai līdzredaktors. Viņš publicējis rakstus nozares nozīmīgākajos žurnālos, piemēram, Journal of the ACM, un nozīmīgu datorzinātņu konferenču rakstu krājumos, piemēram, divos galvenajās pasaules teorētiskās datorzinātnes konferencēs STOC (Symposium on Theory of Computing; datorzinātnes teorijas simpozijs) un FOCS (Symposium on Foundations of Computer Science; datorzinātnes pamatu simpozijs).

R. M. Freivalds bijis viesprofesors un viespētnieks vairākās ārzemju universitātēs un pētniecības centros, tostarp: 1980. gadā Kaļiņinas Valsts universitātē (Калининский государственный университет, mūsdienās Tveras Valsts universitāte, Тверской государственный университет Krievijas Padomju Federatīvajā Sociālistiskajā Republikā, 1991. gadā Berlīnes Humboltu universitātē (Humboldt-Universität zu Berlin) Vācijā, 1993. gadā Cukubas Elektrotehniskajā laboratorijā (電子技術総合研究所) Japānā, 1994. gadā Singapūras Nacionālajā universitātē (National University of Singapore), Bonnas universitātē (Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn) Vācijā, 1996. gadā Mēlardālenas universitātē (Mälardalens universitet) Zviedrijā, 2004. gadā Cukubas Tehniskajā universitātē (筑波技術大学) Japānā, 2005. gadā Kornela universitātē (Cornell University) ASV, 2009. gadā Kioto universitātē (京都大学) Japānā, 2012. gadā Hokaido universitātē (北海道大学) Japānā. Savas profesionālās karjeras laikā R. M. Freivalds ar lekcijām vairākkārt uzstājies daudzu valstu universitātēs.

R. M. Freivalds piedalījies zinātniskās skolas izveidē, vadot daudzus noslēguma darbus, tai skaitā 20 doktora disertācijas. Viņš bija disertācijas vadītājs vēlākajam LU profesoram un ilggadējam Latvijas matemātikas olimpiāžu organizatoram Agnim Andžānam, vēlākajai Kornela Universitātes asociētajai profesorei Dainai Taimiņai, kura starptautiski pazīstama ar tamborētiem hiperbolisko plakņu modeļiem. R. M. Freivalds par sava darba turpinātāju pats nodēvējis vēlāko LU tenūrprofesoru Andri Ambaini, starptautiski pazīstamu kvantu datorzinātnes pētnieku. Vairāki R. M. Freivalda bakalaura un maģistra līmeņa studenti ir ieguvuši doktora grādu arī citur, tostarp Jeila Universitātē (Yale University), Merilendas Universitātē (University of Maryland), Kalifornijas Universitātē Bērklijā (University of California, Berkeley) ASV, kā arī Vaterlo Universitātē (Waterloo of University) Kanādā.

R. M. Freivaldam bija izcila pētnieciskā karjera, sniedzot nozīmīgu ieguldījumu vairākās teorētiskās datorzinātnes jomās. Viņa svarīgākie zinātniskie pētījumi aptver varbūtisko skaitļošanu, algoritmisko mācīšanās teoriju, algoritmu sarežģītību un kvantu skaitļošanu.

R. M. Freivalds bija viens no pirmajiem varbūtiskās skaitļošanas pētniekiem 20. gs. 70. gados. Viņš bija pirmais, kurš dažādos skaitļošanas modeļos (no divvirzienu galīgiem automātiem līdz Tjūringa mašīnām) pārliecinoši pierādīja, ka varbūtiskie algoritmi var būt jaudīgāki par deterministiskajiem.

1977. gadā viņš publicēja algoritmu matricu reizinājuma pareizības pārbaudei, kas tagad pazīstams kā Freivalda algoritms. Ja dotas matricas A, B un C, algoritms O(n²) laikā ar vienpusēju kļūdas varbūtību pārbauda, vai AB=C, neaprēķinot matricu reizinājumu no jauna. Pārbaudi atkārtojot, kļūdas varbūtību iespējams padarīt patvaļīgi mazu. Šis algoritms tagad ir standarta sastāvdaļa kursos un mācību grāmatās par varbūtisko skaitļošanu. R. M. Freivalda darbs iedvesmojis arī citus zinātniekus pētīt varbūtiskos algoritmus, un Manuels Blams (Manuel Blum) to savā Tjūringa prēmijas akadēmiskajā lekcijā minējis kā svarīgu iedvesmas avotu.

Otrs nozīmīgs R. M. Freivalda pētniecības virziens bija induktīvā izveduma jeb identifikācijas robežā (identification in the limit) teorija – rekursīvo funkciju teorijā balstīts abstrakts mācīšanās modelis. Tajā algoritms, saņemot arvien jaunus piemērus, izvirza hipotēzes un drīkst tās mainīt, līdz nonāk pie pareizās hipotēzes. R. M. Freivalds bija starp šīs jomas pamatlicējiem 70. gados un pētīja dažādus mācīšanās modeļus, varbūtiskus mācīšanās algoritmus, atmiņas ierobežojumu un aizmiršanas ietekmi, kā arī hipotēžu maiņu skaitu.

Interesants viņa pētījumu aspekts bija klasiskās matemātikas jēdzienu ieviešana, lai pētītu teorētiskās datorzinātnes problēmas. Piemēram, viņš izmantoja konstruktīvos ordinālus (jēdziens no kopu teorijas), lai pētītu mācīšanās algoritmus.

Svarīgs R. M. Freivalda pētījumu aspekts bija apakšējo robežu pierādīšana vispārīgajiem skaitļošanas modeļiem. Piemēram, viņš bija pirmais, kurš pierādīja atšķirību starp dažādām varbūtiskām telpas sarežģītības klasēm mašīnām ar nelielu telpas apjomu. Tā kā apakšējo robežu pierādīšana ir ļoti sarežģīta problēma, pat nelieli sasniegumi šajā virzienā ir vienmēr tikuši augstu novērtēti.

20. gs. 90. gadu beigās R. M. Freivalds kļuva par vienu no agrīnajiem kvantu skaitļošanas pētniekiem, sistemātiski analizējot kvantu galīgo automātu iespējas un ierobežojumus. Kopā ar A. Ambaini viņš konstruēja kvantu automātu, kuram noteikta uzdevuma veikšanai vajadzēja eksponenciāli mazāk stāvokļu nekā jebkuram ekvivalentam klasiskam – pat varbūtiskam – galīgajam automātam. 1998. gadā darbs tika prezentēts vienā no divām pasaules galvenajām konferencēm teorētiskajā datorzinātnē FOCS (IEEE Symposium on Foundations of Computer Science).

R. M. Freivalds ir bijis starp varbūtiskās skaitļošanas un induktīvā izveduma teorijas pamatlicējiem un pierādījis nozīmīgus rezultātus algoritmu sarežģītībā un kvantu skaitļošanā. Viņa pētījumi savienojuši klasisko matemātiku ar problēmām datorzinātnēs.

Padomju okupācijas laikā R. M. Freivalds saņēmis Latvijas Ļeņina komunistiskās jaunatnes savienības prēmiju zinātnē par darbu “Induktīvā izveduma teorija” (Теория индуктивного вывода, 1976), 1989. gadā saņēmis Latvijas Padomju Sociālistiskās Republikas (PSR) Nopelniem bagātā zinātnes darbinieka nosaukumu.

Pēc neatkarības atjaunošanas 2000. gadā par darbu ciklu “Efektīvi varbūtiski algoritmi” R. M. Freivaldam Latvijas Zinātņu akadēmija piešķīra Eižena Āriņa balvu. 2003. gadā saņēmis Latvijas Zinātņu akadēmijas Lielo medaļu par izciliem darbiem varbūtisko algoritmu un kvantu automātu teorijā, izveidojot zinātnisko skolu Latvijā. Tajā pašā gadā saņēmis arī Latvijas Zinātņu akadēmijas un akciju sabiedrības “Grindex” kopīgo balvu un prēmiju zinātnē. 2006. gadā saņemto LU studentu atzinības balvu un titulu “Mans profesors” R. M. Freivalds pats uzskatīja par svarīgu sava mūža devuma novērtējumu. 2011. gadā R. M. Freivaldam piešķirta LU gada balva par zinātniskās skolas izveidošanu. 2012. gadā saņēmis balvu (Best Paper Award) Alana Tjūringa simtgadei veltītā konferencē Mančestrā, Lielbritānijā, par zinātnisko rakstu “Ultrametriski automāti un Tjūringa mašīnas” (Ultrametric Automata and Turing Machines).