Dzimis uzņēmēja, namīpašnieka un veikalnieka Jāņa Auziņa ģimenē. Pirmā pasaules kara laikā kopā ar ģimeni atradās bēgļu gaitās Igaunijā un Petrogradas (tagad Sanktpēterburga) apkaimē; pēc kara atgriezās Latvijā un mācījās Rīgas pilsētas 23. pamatskolā. 30. gados strādāja Auziņu ģimenes uzņēmumā – veikalā Pleskodālē, Rīgā.
Valsts hokeja turnīros spēlēja komandās “Latvijas Sporta biedrība” (“LSB”; 1931/1932, 1932/1933) un “Universitātes sports” (“US”; 1933/1934–1939/1940). “US” sastāvā divas reizes kļuva par valsts čempionu (1937, 1940), ir piedalījies “US” starptautiskajās spēlēs, t. sk. izbraukumā Viļņā (tolaik Polijā) 1933. gadā. Hokejā līdz 30. gadu beigām bija uzbrucējs, pēc tam spēlēja arī kā aizsargs.
Padomju okupācijas laikā, 1940./1941. gada sezonā, Latvijas Padomju Sociālistiskās Republikas (LPSR) čempionātā startēja Rīgas “Dinamo-2” vienības sastāvā. Pēc tam, nacistiskās okupācijas laikā, spēlēja atjaunotā “US” hokeja komandā (1941/1942–1943/1944). “US” sastāvā uzvarēja nacistiskās okupācijas laika Latvijas čempionātā (1942).
Latvijas hokeja izlases kandidātu sarakstā iekļauts jau 1933. gadā, pirms pasaules čempionāta Prāgā, taču valstsvienības sastāvā debitēja pēc diviem gadiem (1935). Latvijas hokeja izlases uzbrucējs (1935–1938); aizvadīja 10 oficiālas valstsacīkstes. Piedalījās ziemas olimpiskajās spēlēs Garmišā-Partenkirhenē (1936) un divos pasaules hokeja čempionātos – Davosā (1935) un Prāgā (1938). Startēja Latvijas valstsvienības starptautiskajās hokeja spēlēs pret klubu komandām, spēlēja Rīgas hokeja izlases sastāvā t. s. pilsētu sacīkstēs (1934–1938), kā arī piedalījās valstsvienības spēlēs pret citām Latvijas komandām (1935–1936). Bija Latvijas hokeja izlases kandidāts arī 1938./1939. gada sezonā; spēlēja Latvijas otrajā izlasē (1939). Sniedza reportāžas par Latvijas hokejistu gaitām Šveicē (1935), tajā skaitā par valstsvienības spēlēm pasaules čempionātā (publicētas laikrakstā “Sporta Pasaule”). Hokeja laukumā cienīts par korekto spēli un inteliģento stāju.
Futbolu spēlēja galvenokārt pussarga pozīcijā, novērtēts kā tehnisks un enerģisks spēlētājs. Valsts futbola turnīros spēlēja 1927.–1930. gadā “Amatieris” dažāda līmeņa komandās un 1931.–1939. gadā vienībā “Rīgas Vanderers” (no 1938. gada nosaukums “Rīgas Vilki”, “RV”). Vairākus gadus būdams “RV” pamatsastāva spēlētājs, divas reizes izcīnīja Latvijas vicečempiona titulu – 2. vietu Latvijas virslīgā (1932, 1934) – un divas reizes uzvarēja Latvijas kausa izcīņā (1936, 1938). Latvijas futbola izlasē aizvadīja septiņas spēles (visas 1935. gadā).
Pēc 1938./1939. gada sezonas pārtrauca futbolista karjeru, taču Otrā pasaules kara laikā atgriezās futbola laukumā un startēja nacistu okupētās Latvijas futbola turnīros. Spēlēja futbola komandās “Studenti” (1941) un “US” (1942–1944).
30. gadu sākumā spēlēja bendiju Rīgas komandās “RV” un “LSB”. Bendijā bijia galvenokārt uzbrucēja pozīcijā. “LSB” komandas sastāvā kļuva par Latvijas bendija čempionu. Spēlēja arī basketbolu un volejbolu.
Pēc paša vārdiem, Otrā pasaules kara noslēgumā Iesaukts nacistiskās okupācijas varas darba dienestā un izvests uz Vāciju, kur sagaidīja kara beigas. Pēc kara atgriezās Latvijā, nonāca Padomju Sociālistisko Republiku Savienības (PSRS) varas iestāžu apcietinājumā un bija ieslodzījumā Siktivkarā, Komi Autonomajā Padomju Sociālistiskajā Republikā (tagad Komi Republika Krievijas Federācijā), kur iesaistījās sporta organizatoriskajā darbā – ierīkoja hokeja laukumu, organizēja hokeja un futbola sacīkstes.
Pēc atgriešanās no ieslodzījuma strādāja par treneri Dzelzceļnieku sporta klubā (no 1953. gada “Lokomotīve”) un bija “Lokomotīves” stadiona (tagad “Arkādija”, Ojāra Vācieša ielā 2, Rīgā) direktors (1947–1980), veltīja daudz darba stadiona labiekārtošanai, sacensību un treniņu vietu nodrošināšanai, piedalījās hokeja laukumu un ātrslidotāju skrejceļu ledus liešanā.
1947./1948. gada sezonā spēlēja hokeju Rīgas komandā “Daugava” PSRS meistarsacīkšu otrajā līmenī (B klase). Turpmāk 20 gadus bija LPSR hokeja turnīros startējošās Rīgas hokeja vienības “Lokomotīves” (līdz 1953. gadam – Dzelzceļnieku sporta klubs) treneris; sākumgados – spēlējošais treneris. “Lokomotīves” sastāvā ir kļuvis par LPSR hokeja čempionu (1955, 1956), vairākkārt izcīnījis LPSR hokeja vicečempiona titulu. 1959./1960. gadā tika oficiāli svinēta A. Auziņa 30 gadu jubileja sportā, kam par godu norisinājās Alekseja Auziņa kausa izcīņa hokejā. A. Auziņš bija arī Rīgas komandas treneris PSRS jaunatnes hokeja meistarsacīkstēs. 60. gados spēlēja hokeju “Lokomotīves” otrajā komandā.
Trenēja arī Rīgas “Lokomotīves” futbola komandas, tajā skaitā pieaugušo vienību, laikā, kad tā startēja LPSR Augstākajā līgā (1956–1959). Novērtēts kā aizrautīgs jauniešu hokeja un futbola treneris, kas pratis aizraut ar sportu. Starp ievērojamākajiem A. Auziņa audzēkņiem ir hokejisti Aleksejs Antonovs, Aleksandrs Cicurskis, Gunārs Detlavs, Hermanis Kurmelis, Arno Leja, Viesturs Mencēns, Anatolijs Micītis, futbolisti Leonards Andžāns, Vilnis Petrovskis, Vilnis Straume.
Kopš 2021. gada Latvijas hokeja čempionāta labākajam jaunajam spēlētājam tiek pasniegta Alekseja Auziņa vārdā nosaukta balva.