Kārlis Muške piedzima Latvijas armijas virsnieka, vēlāk uzņēmēja, rūpnieka, tirgotāja un Kolumbijas goda vicekonsula Dāvida Muškes un Matildes Muškes (dzimusi Geldnere) ģimenē. K. Muške 1935.–1940. gadā mācījās Rīgas pilsētas 2. ģimnāzijā.

20. gs. 30. gadu otrajā pusē K. Muške sāka spēlēt hokeju “Universitātes Sporta” komandās. Sākumā viņš spēlēja galvenokārt otrajā komandā 2. klases turnīrā (valsts otrā līmeņa hokeja čempionātā), bet jau drīzumā startēja “Universitātes Sporta” pirmajā komandā (1936./1937.–1939./1940.), kur sākumā spēlēja epizodiski, bet vēlāk – pamatsastāvā. Kopā ar “Universitātes Sporta” vienību divreiz kļuva par Latvijas hokeja meistaru jeb čempionu (1937, 1940); komandas sastāvā piedalījās starptautiskās spēlēs.

K. Muške tika atzīts par vienu no talantīgākajiem un perspektīvākajiem latviešu jaunajiem hokeja uzbrucējiem 20. gs. 30.–40. gadu mijā. Sporta izdevums “Starts” jau pēc 1936./1937. gada sezonas, kad K. Muškem bija vēl tikai 15 gadu, viņu raksturoja kā “talantīgo, vijīgo uzbrucēju” un sprieda: “Muške, klāt nākot vēl fiziskam briedumam, var izveidoties par tiešām pirmklasīgu nākotnes spēku.” 1938. gadā 16 gadu vecumā K. Muške debitēja Latvijas otrajā izlasē, 1939. gadā startēja Latvijas jaunatnes hokeja izlasē. Kaut arī 1939./1940. gada sezonu K. Muške sāka kā rezervistu komandas “Universitātes Sports-2” spēlētājs, viņš demonstrēja lielisku sniegumu gan Zibensturnīrā, gan 2. klases čempionātā, gan “Universitātes Sporta” pirmās komandas sastāvā Latvijas hokeja meistarsacīkstēs. Aizvadīja ļoti labu sezonu un bija viens no rezultatīvākajiem uzbrucējiem “Universitātes Sporta” komandu sastāvā.

1939.–1940. gadā K. Muške bija Latvijas hokeja izlases uzbrucējs. Izlases sastāvā oficiālās valstu sacīkstēs debitēja 17 gadu vecumā pasaules čempionātā 05.02.1939. Cīrihē spēlē pret Dienvidslāviju (rezultāts 6:0 Latvijas labā) un turpmāk aizvadīja visas Latvijas hokeja izlases spēles līdz valsts neatkarības zaudēšanai. Kopumā Latvijas hokeja izlasē piedalījās sešās oficiālās valstu sacīkstēs. Izlases sastāvā aizvadīja arī spēli pret Igaunijas izlasi 10.03.1940. Rīgā un guva vārtus šajā spēlē (rezultāts 2:1 Latvijas labā); šī izrādījās pēdējā Latvijas hokeja izlases spēle, viņa vārti – pēdējie izlases vārti starpkaru posmā. Latvijas vienības sastāvā K. Muške 1939.–1940. gadā piedalījās arī hokeja spēlēs pret ārvalstu klubu komandām un t. s. pilsētu sacīkstēs, tostarp 02.1939. piedalījās izbraukuma spēļu turnejā Nīderlandē.

K. Muške spēlēja arī futbolu un basketbolu valsts turnīros, galvenokārt Rīgas JKS (Jaunekļu kristīgā savienība) komandās. 1938. gadā Rīgas JKS sastāvā kļuva par Latvijas jaunatnes futbola līgas čempionu. Spēlēja Latvijas jaunatnes futbola izlasē. Skolu futbola un basketbola sacīkstēs K. Muške startēja Rīgas pilsētas 2. ģimnāzijas vienībās.

Pēc Padomju Sociālistisko Republiku Savienības (PSRS) īstenotās Latvijas okupācijas 1940./1941. gada sezonā K. Muške spēlēja Rīgas “Dinamo” pirmās komandas sastāvā Latvijas Padomju Sociālistiskās Republikas (LPSR) hokeja čempionātā. Tosezon spēlēja arī Rīgas hokeja izlasē un “Dinamo” sastāvā kļuva par LPSR hokeja čempionu. PSRS varas iestādes 06.1941. plānoja K. Muški deportēt uz Sibīriju. K. Muškes tēvu un brāli Jāni Muški apcietināja un izsūtīja, bet K. Muške atradās ārpus pastāvīgās dzīvesvietas un no deportācijas paglābās.

Drīz pēc nacistiskās okupācijas sākuma K. Muške bija viens no brīvprātīgajiem Vācijas bruņoto spēku latviešu daļās, dienēja līdz 09.1942. 1942.–1943. gadā K. Muške studēja Latvijas Universitātes (tobrīd nosaukums – Universitāte Rīgā) Tautsaimniecības un tiesību zinātņu fakultātes Tautsaimniecības nodaļā. Līdztekus dienestam un studijām turpināja spēlēt hokeju Rīgas komandās. 1941./1942. gada sezonu uzsāka atjaunotajā “Universitātes Sporta” pirmajā vienībā, bet sezonas gaitā pārgāja uz komandu “Daugavieši”. Pēc tam atgriezās un 1942./1943. gada sezonā startēja “Universitātes Sporta” pirmajā vienībā.

04.1943. K. Muški mobilizēja Latviešu leģionā. 1943.–1944. gadā viņš atradās virsnieku skolā Vācijā. Pēc Vācijas kapitulācijas 05.1945. K. Muške nepadevās Sarkanās armijas gūstā, bet slēpās mežos Kurzemē un vēlāk Rīgas apriņķa Sidgundas pagastā, kur kopā ar biedru grupu ierīkoja bunkuru, uzkrāja šaujamieročus un, kā formulēja padomju okupācijas varas tiesa, nodarbojās “ar bruņotu cīņu pret padomju varu”.

No 07.1946. K. Muške atradās PSRS varas iestāžu apcietinājumā, bija notiesāts uz 20 gadiem katorgas darbos, ieslodzīts spaidu darbu nometnē Vorkutlagā, Komi Autonomajā Padomju Sociālistiskajā Republikā (APSR; tagad Komi Republika, Krievijā). 1956. gadā spriedums tika pārskatīts un K. Muške atbrīvots pirms noteiktā laika. Pēc atbrīvošanas viņš nometināts uz pastāvīgu dzīvi Vorkutā (Komi APSR), kur strādāja par hokeja, futbola un basketbola treneri, kā arī par sporta skolotāju. Arī pats K. Muške Vorkutā spēlēja hokeju, futbolu un basketbolu, startēja arī Vorkutas hokeja komandās Dinamo (Динамо), Šahtjor (Шахтёр). 1981. gada sākumā atgriezās uz dzīvi Latvijā, kur strādāja zvejnieku kolhozā “Uzvara”.