Dzimis kultūras darbinieka, grāmatizdevēja Andreja Jessena un skolotājas, privātskolas īpašnieces un vadītājas Olgas Jessenas ģimenē. 1921.–1926. gadā mācījās Rīgas pilsētas 2. vidusskolā. 1926. gadā iestājās Latvijas Universitātes Tautsaimniecības fakultātē, 1927. gadā pārgāja uz Latvijas Universitātes Lauksaimniecības fakultāti. Studijas universitātē pabeidza, iegūstot agronoma grādu (1936).

Studentu korporācijas “Lettgallia” biedrs.

Strādāja agronoma specialitātē. No 1944. gada bēgļu gaitās Vācijā. Pēc kara dzīvoja Rietumvācijā, 1948. gadā pārcēlās uz Kanādu, kur Antigonišas apkaimē, Jaunskotijas provincē, nodarbojās ar lauksaimniecību.

1925./1926. gada sezonā sāka spēlēt bendiju Latvijas Sporta biedrības (LSB) komandās. Vispirms LSB trešajā komandā, 1925./1926. gada sezonas turpinājumā LSB otrajā komandā, bet tās pašas sezonas gaitā kvalitatīvā snieguma dēļ tika paaugstināts uz LSB pirmo komandu, kas spēlēja Latvijas bendija čempionāta augstākajā līmenī. LSB pirmās komandas sastāvā četras reizes kļuva par Latvijas bendija čempionu – 1926., 1928., 1929. un 1930. gadā. 30. gadu sākumā pārgāja no LSB uz “Universitātes sporta” bendija komandu.

Kā viens no labākajiem valsts bendijistiem spēlēja arī Latvijas bendija izlasē, Rīgas bendija izlasē un Latvijas studentu bendija izlasē. Latvijas bendija izlases sastāvā aizvadīja divas no četrām oficiālajām valstsacīkstēm, kas norisinājās starpkaru posmā (22.02.1931. Tallinā, Igaunijā; 06.02.1932. Rīgā). Izlases sastāvā divās spēlēs guvis četrus vārtus, vienā spēlē (06.02.1932.) panākot hat-trick (trīs vārtu guvumus).

Rezultatīvi startēja arī Rīgas bendija izlases sastāvā – 05.02.1928. Rīgā guva trīs vārtus spēlē pret Tallinas izlasi, bet 23.02.1931. Tallinā guva visus četrus vārtus Rīgas bendija izlases spēlē pret Tallinas izlasi (rezultāts 4:2).

Latvijas studentu bendija izlases sastāvā piedalījās SELL (Suomi, Eesti, Latvija, Lietuva) studentu ziemas sporta spēlēs 1931. gadā Helsinkos.

Valsts hokeja turnīros startēja “Universitātes sporta” komandā, kurā aizvadīja septiņas sezonas (1930/1931–1936/1937). “Universitātes sporta” sastāvā kļuva par Latvijas hokeja čempionu (1937) un piedalījās komandas starptautiskajās spēlēs, t. sk. izbraukumā Viļņā, Polijā (12.1933.).

Arī hokejā kļuva par ievērojamu spēlētāju – bija rezultatīvs, ar labu tehniku apveltīts hokeja uzbrucējs. Startēja Latvijas hokeja izlasē (1932, 1935). Tās sastāvā aizvadīja piecas oficiālas valstsacīkstes, kurās guva trīs vārtus. Piedalījās Eiropas čempionātā Berlīnē, Vācijā (03.1932.), un pasaules čempionātā Davosā, Šveicē (01. 1935.). A. Jessens ir Latvijas hokeja izlases pirmā hat-trick autors pasaules čempionātos (25.01.1935. Davosā pret Nīderlandes izlasi). Latvijas hokeja vienības sastāvā spēlēja 1935. gada turnejas laikā Kēnigsbergā un Minhenē. Latvijas hokeja izlases kandidāts arī 1934., 1936. un 1937. gadā.

Spēlēja Latvijas studentu hokeja izlases sastāvā, t. sk. tās pirmajā spēlē pret Lietuvas studentiem (15.03.1931. Rīgā), akadēmiskajās meistarsacīkstēs Bardonekijā, Itālijā (01.‒02.1933.), un Sanktmoricā, Šveicē (02.1935.), draudzības spēlēs Vīnē, Austrijā (02.1933.), un Klostersā, Šveicē (01.1935.). Kopā ar studentu izlasi SELL studentu ziemas spēļu hokeja turnīrā Rīgā izcīnīja 1. vietu (02.1935.). Ar rezultativitāti izcēlās arī studentu izlases sastāvā; piemēram, SELL turnīra spēlē par 1. vietu pret Lietuvas studentiem (17.02.1935.) Latvijas studentu izlases sastāvā guva visus četrus vārtus (4:2).

Presē sniedza vērtīgas speciālreportāžas par Latvijas hokejistu gaitām un spēlēm Šveicē – Davosā, Klostersā, Sanktmoricā (1935; publicēja izdevumi “Pēdējā Brīdī”, “Universitas”).

A. Jessens spēlēja arī futbolu – galvenokārt LSB un “Universitātes sporta” komandā. Startēja arī Latvijas studentu futbola izlasē, kā arī valsts studentu sacīkstēs pārstāvēja studentu korporācijas “Lettgallia” futbola komandu. Pēc Otrā pasaules kara, 40. gadu vidū un otrajā pusē, bija aktīvs latviešu sporta norišu dalībnieks Volterdingenas nometnē Rietumvācijā; bija nometnes Futbola sekcijas vadītājs un futbola komandas kapteinis, ar panākumiem spēlēja galda tenisu. Trenēja arī vācu futbolistus.