Viens no Rīgas Praktizējošo ārstu biedrības (Gesellschaft Praktischer Aerzte zu Riga) dibinātājiem (1822), tās vadītājs (1845–1847; 1851–1853) un pirmais goda biedrs (1860). Rīgas pilsētas (1.) slimnīcas direktors (1832–1863). 

B. F. Bērenss piedzima Rīgā tirgotāja Karla Vilhelma (Karl Wilhelm) un viņa sievas Elizabetes Frīderikes (Elisabeth Friederike), dzimušas Holstas (Holst), ģimenē. 

B. F. Bērensa dēls Dr. iur. Džons Bērenss (John Eduard Baerens) bija Vidzemes guberņas vecākās avīzes Rigasche Zeitung atbildīgais redaktors (1861–1869). 

B. F. Bērenss mācījās Vidzemes guberņas ģimnāzijā Rīgā, sāka studēt medicīnu Tērbatā (1814–1815), tad turpināja studijas Getingenē, Berlīnē, Vīnē. 1819. gadā Tībingenē aizstāvēja medicīnas doktora (Dr. med.) disertāciju par acs lēcas fizioloģiju un patoloģiju (Dissertatio inauguralis sistens systematis lentis crystallinae monographiam physiologico-pathologicam). 

No 1820. gada B. F. Bērenss Rīgā strādāja par pilsētas un tiesu ārstu. 1825. gada vasarā bija arī sanatorijas “Baldone” ārsts. No 1832. gada līdz mūža galam B. F. Bērenss bija vecākās – Rīgas pilsētas (1.) slimnīcas (Armenkrankenhaus) – direktors. Šajā laikā viņš panāca nodaļu specializāciju un sagatavoja jaunu būvniecības projektu (arhitekts Johans Daniels Felsko, Johann Daniel Felsko), kas tika realizēts jau pēc ārsta nāves (1873), bet uzbūvētie seši mūra paviljoni, kas savieno slimnīcas korpusus ar slēgtām pārejām, kalpo pacientiem līdz mūsdienām. Viņa vadībā aizsāka slimnīcas specializāciju pa nodaļām. Tās tika izvietotas atsevišķos korpusos. 

15.09.1822. B. F. Bērenss kopā ar trim jauniem Rīgas ārstiem – Karlu Jūliusu Jakobu fon Mēbesu (Karl Julius Jacob von Mebes), Eiženu Merklinu (Paul Friedrich Eugen Ludwig Mercklin) un Karlu fon Vilpertu (Karl von Wilpert) – dibināja Rīgas Praktizējošo ārstu biedrību, kas bija vecākā ārstu biedrība Rīgā un darbojās līdz 1939. gadam. Biedrības mērķis bija iedibināt ilgstošu zinātnisko kultūru un arvien augstāk “celt koleģialitāti”; sēdēs apsprieda medicīniskās prakses gadījumus (kazuistiku) un zinātnes jaunumus. B. F. Bērenss bija pirmais biedrības sekretārs, vēlāk vadītājs (no 1845. līdz 1847. gadam un atkārtoti no 1851. līdz 1853. gadam), kā arī pirmais goda biedrs (1860). Pēc B. F. Bērensa ierosmes un viņa redakcijā no 1849. līdz 1860. gadam iznāca biedrības žurnāls Beiträge zur Heilkunde (“Ārstniecības apcerējumi”) – pirmais medicīnas žurnāls Latvijā 12 numuros ar vietējo ārstu pētījumiem un praktiskiem vērojumiem. 

Rīgas Praktizējošo ārstu biedrība apsprieda arī sanitāri epidemioloģisko stāvokli Rīgā un iesaistījās holeras epidēmiju apkarošanā. 1831. gadā Rīgā pirmoreiz plosījās holeras epidēmija, kas dokumentēta Rīgas Praktizējošo ārstu biedrības sēžu protokolos un publicēta atsevišķā izdevumā (B. F. Bērensa un Vidzemes medicīnas inspektora Ludviga Dirsena (Ludwig Dyrsen) redakcijā) 1831. gadā. 

Cits ievērojams B. F. Bērensa veikums bija pirmās acu klīnikas būve 1862.–1863. gadā par rātskunga Reinholda Karla Reimersa (Reinhold Carl Reimers) atraitnes Vilhelmīnes (Wilhelmine) dāsno ziedojumu (arhitekts Heinrihs Karls Šēls, Heinrich Karl Scheel). Atraitnes acu dziednīcā trūcīgajiem Rīgā (Wittwe Reimer’sche Augenheilanstalt für Unbemittelte zu Riga) bija 60 vietas un ambulance, bet operācijas, kā tolaik bija pieņemts, veica ar sudraba instrumentiem, jo tiem piemita antiseptiskas īpašības. Trūcīgajiem pacientiem nebija jāmaksā, un telpas bija sadalītas vīriešu, sieviešu un bērnu nodaļā. Agrākā acu klīnikas ēka Raiņa bulvārī 7 atrodas vēl 21. gs. (kā privātslimnīca šeit pastāvēja līdz 1936. gadam, kad tika pārcelta uz citu adresi). B. F. Bērenss bija šīs klīnikas kurators no 25.08.1861., kad svinīgi tika ielikts pamatakmens, bet atklāšanu 02.01.1864. viņš nepiedzīvoja. Gar agrāko klīniku iet Reimersa iela, kas savieno Raiņa un Kalpaka bulvāri (ierīkota ap 1880. gadu un nosaukta klīnikas mecenāta vārdā; ielas nosaukums atjaunots 1994. gadā). 

Daži citi ārsta darbi saistīti ar oftalmoloģiju, psihiatriju, epidemioloģiju (holeras ierobežošana) un tamlīdzīgi. Šāda interešu daudzpusība bija tāpēc, ka vairums ārstu vēl nebija norobežojušies šaurā specialitātē.

Medicīnas zinātnē ievērojamākais B. F. Bērensa nopelns ir pirmā ētera narkoze Krievijas Impērijā 01.1847. (datums nav precizēts, bet tas bija janvāra otrajā pusē, starp ārstu biedrības sēdēm) Rīgā. Ētera narkozes pielietojums par pāris nedēļām apsteidza šo procedūru pirmo īstenošanu Pēterburgā un Maskavā (ķirurģijas profesori Fjodors Inozemcevs, Фёдор Иванович Иноземцев, un Nikolajs Pirogovs, Николай Иванович Пирогов). Rīgas Praktizējošo ārstu biedrības protokolā šis process ir fiksēts ar šādiem vārdiem: “Kādai sievai, kas pusotras minūtes ieelpoja sēra ētera tvaikus, tika izrauts zobs, pie tam viņa neko nejuta.” B. F. Bērensa veiktā zoba ekstrakcija bija pirmā ķirurģiskā manipulācija ar narkozes starpniecību Rīgā. Viņš pirmais sāka izmantot arī rektālo narkozi (ar klistīru) 04.1847. un veica vairākus mēģinājumus, kuru rezultāti bijuši visai pretrunīgi (vienā gadījumā pacients pārāk ilgi iemiga, citā – operāciju nācās pārtraukt, jo narkoze bija nepilnīga). Līdzīgi bija ar ētera narkozi, kas pārdozējot pat izraisīja pacientu nāvi. 

Saistībā ar 25 gadu jubileju pilsētas slimnīcas direktora postenī viņu 22.04.1857. godināja Vidzemes guberņas vadība ar ģenerālgubernatoru Aleksandru Suvorovu (Александр Аркадьевич Суворов) priekšgalā.