Mācījās Rīgas pilsētas krievu vidusskolā (t. s. Lomonosova ģimnāzija; 1922–1927). Studēja Latvijas Universitātes Lauksaimniecības fakultātē (1927–1934). Studentu korporācijas “Lettgallia” biedrs.

20. gs. 30. gados strādājis par bakteriologu Zemkopības ministrijas Bakterioloģiskās nodaļas laboratorijā. Darbu bakterioloģiskās izpētes jomā turpinājis arī okupācijas gados. Pēc Otrā pasaules kara Rietumvācijā mitinājies latviešu bēgļu nometnē Fišbahā, strādājis par bakteriologu bērnu sanatorijā Nirnbergā. 1949. gadā pārcēlies uz Amerikas Savienotajām Valstīm (ASV), apmeties Grandrepidsā, kur sākumā strādājis slimnīcas laboratorijā, vēlāk piena pārstrādes uzņēmuma Joppe’s Dairy Co bakterioloģiskajā laboratorijā; šajā uzņēmumā strādājis līdz pat aiziešanai pensijā (80. gados). Vairāku zinātnisku pētījumu autors bakterioloģijā.

Latvijas izlases spēlētājs (1932–1940); startēja 34 oficiālās valstsacīkstēs, kas ir lielākais skaits vienam Latvijas hokejistam starpkaru posmā. Piedalījās Eiropas čempionātā (1932), četros pasaules čempionātos (1933, 1935, 1938, 1939) un olimpiskajās spēlēs Garmišā-Partenkirhenē (1936). Spēlēja valstsvienības izbraukuma turnejās Vācijā (1935), Polijā, Rumānijā, Ungārijā (1938), Lietuvā un Vācijā (1939). Valstsvienības kapteinis (1935–1936, 1938–1940). Izlaida tikai divas oficiālās valstsacīkstes (1937, 1940). Piedalījās Latvijas izlases starptautiskajās spēlēs pret klubu komandām un pilsētu sacīkstēs (1932–1940), kā arī spēlēs pret citām Latvijas vienībām. Sākumā spēlēja gan uzbrucēja, gan aizsarga pozīcijā, taču vēlāk kļuva par vienu no ievērojamākajiem hokeja aizsargiem Latvijā. 

Valsts turnīros un klubu draudzības sacīkstēs startēja desmit sezonas – visas “Universitātes sporta” (US) komandā (1930/1931–1939/1940). Vienīgi 1936./ 1937. gada sezonā bija diskvalificēts un nedrīkstēja piedalīties ne Latvijas oficiālo turnīru, ne arī valstsvienības spēlēs; tosezon spēlēja vienīgi treniņsacīkstēs. US sastāvā vienu reizi kļuva par valsts hokeja čempionu (1940) un piedalījās vairākās starptautiskajās spēlēs, t. sk. US izbraukumā Viļņā (1933). Bija US hokeja vienības kapteinis, treneris, US Hokeja sekcijas vadītājs; sniedza būtisku ieguldījumu sekcijas attīstībā. No 1933./ 1934. gada sezonas darbojās Latvijas Ziemas sporta savienības (LZSS) Hokeja sekcijā (atskaitot 1936./1937. gada sezonu, kad bija diskvalificēts).

Spēlēja Latvijas studentu hokeja izlasē, toskait piedalījās tās pirmajā starptautiskajā spēlē (1931), divos akadēmisko meistarsacīkšu turnīros – Bardonekijā (1933) un Sanktmoricā (1935), spēlēs Vīnē (1933) un Klostersā (1935). Latvijas studentu izlases sastāvā izcīnīja pirmo vietu SELL (Suomi, Eesti, Latvija, Lietuva) apvienības studentu hokeja turnīrā Rīgā (1935). Bija Latvijas studentu izlases kapteinis.

1940./ 1941. gada sezonā kļuva par Latvijas Padomju Sociālistiskās Republikas (LPSR) hokeja čempionu Rīgas “Dinamo” pirmās komandas sastāvā, spēlēja Rīgas izlasē, bija Rīgas “Dinamo” Hokeja sekcijas vadītājs, apmeklēja Maskavu, kur iepazinās ar Maskavas “Dinamo” darbību un iepazīstināja krievu sportistus un funkcionārus ar hokeja spēli. No 01.1941. bija Latvijas PSR Fiziskās kultūras un sporta komitejas Hokeja un bendija sekcijas priekšsēdētājs. Pēc tam spēlēja US pirmajā vienībā (1941/1942–1943/1944); tās sastāvā uzvarēja nacistu okupētās Latvijas čempionātā (1942). Atkal bija US komandas kapteinis, treneris un US Hokeja sekcijas vadītājs. Nacistu okupācijas laikā bija Latviešu Sporta un fiziskās kultūras apvienības (arī pārvaldes) Hokeja sekcijas vadītājs.

1946./1947. gada sezonā spēlēja “HC Augsburg” un “HC Baltica” vienībās Rietumvācijā. 12.1947. bija latviešu komandas sastāvā turnīrā Garmišā-Partenkirhenē

L. Vedējs spēlēja arī bendiju, futbolu, volejbolu. Bendijā startēja “Latvijas Universitātes Akadēmiskās sporta biedrības” (LU ASB), “Rīgas Futbola kluba” (RFK), US vienībās; pamatpozīcija bendijā – pussargs. Piedalījās arī starptautiskajās bendija spēlēs, t. sk. Latvijas studentu bendija izlases sastāvā SELL studentu bendija turnīrā Helsinkos (1931), Rīgas bendija izlasē sacīkstē pret Tallinas izlasi (1932). Arī padomju okupācijas laikā (1940/1941) spēlēja bendiju un bija Latvijas PSR bendija čempionāta tiesnesis. RFK rezerves komandās, vēlāk US sastāvā spēlējis futbolu. Bijis Latvijas studentu futbola izlasē, t. sk. akadēmisko meistarsacīkšu turnīros. Pēc Otrā pasaules kara spēlēja latviešu futbola komandās Rietumvācijā. Pamatpozīcija futbolā – pussargs.

Pēc pārcelšanās uz ASV, 50.–80. gados, brīvajā laikā Grandrepidsas jauniešiem mācīja slidošanas un hokeja tehniku. 80. gados trenēja jauniešu un sieviešu hokeja komandas Riodežaneiro (Brazīlijā). 90. gados finansiāli atbalstīja sieviešu hokeju Latvijā. Aktīvs trimdas latviešu sabiedriskās dzīves līdzdalībnieks.

Par ieguldījumu hokejā L. Vedējs apbalvots ar LZSS nozīmi “Par nopelniem” (1937). 30. gadu beigās apbalvots ar LZSS Zelta nozīmi un ir vienīgais sportists, kurš saņēmis šādu apbalvojumu. 

Kopš 2021. gada Latvijas hokeja čempionāta izslēgšanas spēļu vērtīgākajam spēlētājam tiek pasniegta L. Vedēja vārdā nosaukta balva.