Mācījās Rīgas pilsētas 1. ģimnāzijā (1928–1932). No 1932. gada ar pārtraukumiem studēja Latvijas Universitātes Arhitektūras fakultātē. Studentu korporācijas “Lettgallia” biedrs.

20. gs. 30. gadu pirmajā pusē strādāja par mērnieku palīgu. Dienēja Latvijas armijā (1935–1936); sapieris-maskotājs Sapieru pulkā, virsnieka vietnieks. 1944. gadā sāka dienestu Latviešu leģionā. Krita Sarkanās armijas gūstā; atradās Padomju Sociālistisko Republiku Savienības (PSRS) varas iestāžu ieslodzījumā Ļeņingradas apgabala Ņevdubstrojas ciemā (tagad Kirovskas pilsēta).

Latvijas hokeja izlases vārtsargs (1935–1940); aizvadīja 18 oficiālas valstsacīkstes. Izlases pamatvārtsargs divos pasaules čempionātos (1935, 1938) un ziemas olimpiskajās spēlēs Garmišā-Partenkirhenē (1936). Jau 01.1934. pirmoreiz tika iekļauts Latvijas izlases kandidātu sarakstā; tosezon oficiālas valstsvienības spēles nenotika, bet R. Lapainis sevi apliecināja divās pilsētu sacīkstēs – pret Kauņas un Viļņas izlasēm. Īpašu atzinību saņēma par sniegumu 1938. gada pasaules čempionātā Prāgā.

Latvijas izlases sastāvā bija arī 1939. gada pasaules čempionātā Šveicē, taču pa ceļam uz to Kēnigsbergā aizvadītā spēlē guva traumu un pasaules meistarsacīkstēs spēlēt nevarēja. Piedalījās Rīgas izlasē pilsētu sacīkstēs un Latvijas izlases starptautiskajās spēlēs pret klubu komandām (1934–1940), kā arī sacīkstēs pret citām Latvijas vienībām. Startēja arī Latvijas otrās izlases sastāvā (1938). Latvijas valstsvienības vārtsargs tās pēdējās oficiālajās valstsacīkstēs starpkaru periodā (10.03.1940. pret Igauniju).

Valsts hokeja turnīros spēlēja deviņas sezonas – visas “Universitātes sporta” (US) sastāvā (1931/1932–1939/1940). US pirmajā komandā debitēja 1931./1932. gada sezonas noslēgumā, kad bija pamatvārtsarga Konstantīna Otlana aizstājējs un saņēma kritiku par savu sniegumu. Taču no 1932./1933. gada sezonas kļuva par US pamatvārtsargu un turpmāk presē regulāri izpelnījās atzinību. US sastāvā divreiz kļuva par valsts hokeja čempionu (1937, 1940), piedalījās US starptautiskajās spēlēs, t. sk. izbraukumā uz Viļņu (12.1933.).

Startēja arī Latvijas studentu izlases sastāvā, t. sk. akadēmiskajās meistarsacīkstēs Bardonekijā (1933) un Sanktmoricā (1935), spēlēs Vīnē (1933) un Klostersā (1935). Studentu izlases sastāvā izcīnīja pirmo vietu SELL (Suomi, Eesti, Latvija, Lietuva) studentu hokeja turnīrā Rīgā (1935).

1940./1941. gada sezonā Rīgas “Dinamo” pirmās komandas sastāvā kļuva par Latvijas Padomju Sociālistiskās Republikas (LPSR) hokeja čempionu. Pēc tam spēlēja US pirmajā komandā (1941/1942), Armijas sporta kluba pirmajā komandā (1942/1943), US otrajā komandā (1943/1944). Pēc Otrā pasaules kara vienu sezonu Rīgas “Dinamo” vārtsargs PSRS meistarsacīkstēs (1946/1947). Apmācīja jaunos hokejistus; vārtsarga Alfona Ansona treneris.

Laikabiedru vērtējumā dažkārt atzīts par Latvijas labāko hokeja vārtsargu. R. Lapaiņa talants atzinīgi novērtēts gan Latvijas hokeja izlases un citu pārstāvēto komandu uzvarās, gan arī zaudējumos, kad vārtsarga lieliskais sniegums ļāvis izvairīties no zaudējuma ar lielāku vārtu starpību.