Dzimis pusmuižas rentnieka, bijušā Bārbeles pagasta zemnieka Mārtiņa Jeskes ģimenē. Beidzis Daugavpils 2. pilsētas skolu un 09.1902. iestājās Kazaņas junkurskolā (Казанское пехотное юнкерское училище), to beidza ar I šķiru 05.1905., bet 09.1911. iestājās Austrumu institūtā (Восточный институт) Vladivostokā, mācību laikā ilgstoši bija ķīniešu valodas praksē Ķīnā. Pēc institūta beigšanas (15.05.1914.) devies atvaļinājumā uz ārzemēm. 10.1923. iestājās Francijas Kara akadēmijā Parīzē (beidza 1925. gadā).

Precējies ar Ellu Paleju (mirusi izsūtījumā), meita Lidija (1941–1957 izsūtījumā).

Jaunākais brālis Nikolajs – Krievijas un Latvijas armijas kapteinis, kara lidotājs. 20. gs. 30. gados pārlidoja uz Padomju Savienību, polārais lidotājs.

Pēc junkurskolas beigšanas no 05.1905. virsnieks (podporučiks) 116. kājnieku pulkā Rīgā, 09.–10.1905. mācījās ložmetējnieku kursos Virsnieku strēlniecības skolā (Офицерская стрелковая школа) Oranienbaumā, pēc tam iecelts par jaunāko virsnieku 29. kājnieku divīzijas ložmetēju rotā turpat. Poručiks (08.1908.), štābkapteinis (11.1912.). 09.1910. pēc paša vēlēšanās pārcelts uz Tālajiem Austrumiem un ieskaitīts 25. Sibīrijas strēlnieku pulkā Irkutskā. Sākoties Pirmajam pasaules karam, atradies Francijā. Pieņemts Francijas armijā (kapteinis); 149. kājnieku pulka rotas komandieris, piedalījies Ipras, Artuā un Verdenas kaujās (oficiāli skaitījās Krievijas armijas 45. Sibīrijas strēlnieku pulka virsnieku sarakstā). 04.1916. komandēts uz krievu 1. atsevišķo brigādi, 1. atsevišķā pulka rotas komandieris. Majors (18.05.1917.). No 14.06.1917. bataljona komandieris, piedalījās Marnas kaujās. 20.02.1918. iecelts par Krievu leģiona 2. bataljona komandieri, bet 07.1918. atkomandēts uz krievu karaspēka bāzi Francijā. 08.–09.1918. mācījās strēlnieku un aviācijas kursos, no 09.1918. – signalizācijas skolā. 19.01.1919. iecelts par Krievu leģiona komandieri, 08.02. ar leģionu devies uz Krievijas Dienvidu bruņotajiem spēkiem. 22.03.1919. ieradās Krievijā, 28.03. leģions ieskaitīts 1. Kubaņas kazaku korpusā. 05.–09.1919. slimojis ar tīfu, no 20.09. norīkots par virsnieku (apakšpulkvedis) Kaukāza armijas Operatīvās daļas priekšnieka rīcībā. 15.01.1920. iecelts par 5. Kaukāza strēlnieku pulka komandieri, 01.03.1920. – par Atsevišķā Kaukāza strēlnieku bataljona ložmetēju komandas priekšnieku. 31.05.1920. ieradies Krimā Latvijas kara misijas rīcībā, 11.06. izbrauca uz Latviju un 11.07. atgriezās Latvijā (Rīgā).

No 08.1920. Ārlietu ministrijas Politiski diplomātiskā departamenta Austrumu valstu nodaļas II šķiras sekretārs (no 01.10. – I šķiras sekretārs). 17.11.1920. pēc armijas vadības lūguma ieskaitīts Armijas virspavēlnieka štāba Operatīvajā daļā (pulkvedis leitnants). 15.01.1921. iecelts par militāro pārstāvi Vācijā. Lai iegūtu bataljona komandēšanas cenzu, 16.08.–15.09.1923. piekomandēts 4. Valmieras kājnieku pulkam Rīgā. Pēc Francijas Kara akadēmijas beigšanas 01.10.1925. iecelts par Virsnieku akadēmisko kursu grupas vadītāju. Pulkvedis (22.06.1927.), ģenerālis (02.07.1940.). No 13.09.1927. Armijas komandiera štāba (no 1929. gada Armijas štāba) Apmācības daļas priekšnieks. Lai iegūtu pulka komandēšanas cenzu, 17.12.1929.–17.10.1930. bijis 6. Rīgas kājnieku pulka komandieris. 25.10.1933. iecelts par Augstākās kara skolas priekšnieku, 11.09.1935. – par sevišķu uzdevumu virsnieku armijas komandiera rīcībā. 11.10.1938.–04.03.1939. komandējumā Spānijā, Tautu Savienības Neiejaukšanās komisijas loceklis. No 12.10.1939. komisijas loceklis sarunām ar Padomju Savienību militāros jautājumos. 1932.–1935. gadā bija kara resora mēnešraksta “Militārais Apskats” redaktors un redakcijas loceklis. Bija Latviešu un franču tuvināšanās biedrības valdes loceklis, studentu korporācijas “Vendia” filistrs.

Pēc valsts okupācijas 30.07.1940. iecelts par Armijas štāba priekšnieku. Pēc armijas likvidācijas un Sarkanās armijas 24. teritoriālā strēlnieku korpusa izveides 18.10.1940. atvaļināts “piemērota amata trūkuma dēļ Sarkanajā armijā”. 14.01.1941. Naudītes pag. Vīnakalnos apcietināts, izvests uz Krieviju. 

M. Jeske bija viens no Francijas Kara akadēmijā izglītību guvušajiem augstākajiem Latvijas armijas virsniekiem, turklāt vienīgais, kurš Pirmā pasaules kara laikā bija guvis kaujas pieredzi Francijas armijas sastāvā. Bija ieguvis īpašu izglītību, absolvējot Krievijas Austrumu institūtu un apgūstot arī ķīniešu valodu. Tāpēc uzticēti arī diplomātiski pienākumi (militārais pārstāvis Vācijā, Tautu Savienības komisijas loceklis Spānijā), ieņēma attiecīgus atbildīgus amatus militārās izglītības sistēmā. M. Jeske bija arī pēdējais Latvijas armijas štāba priekšnieks jau okupācijas periodā.

Rīgas Brāļu kapos, tāpat kā citiem Latvijas armijas ģenerāļiem, kuru kapu vietas nav zināmas, uzstādīta piemiņas kapa plāksne.

Par dienesta un kaujas nopelniem Krievijas un Francijas armijā pirms Pirmā pasaules kara un tā laikā M. Jeske apbalvots ar Krievijas Svētā Vladimira ordeni (IV šķira), Svētās Annas ordeni (II šķira), Francijas Zelta zvaigzni; par dienesta panākumiem Latvijas armijā apbalvots ar Triju Zvaigžņu ordeni (III šķira), Viestura ordeni (II šķira, ar šķēpiem), Francijas Goda Leģiona ordeni (IV šķira), Kara krustu, Igaunijas Ērgļa ordeni (III šķira), Polijas “Polonia Restituta” ordeni (III šķira), Zviedrijas Šķēpa ordeni (III šķira), Lietuvas neatkarības 10 gadu jubilejas piemiņas medaļu.