Paskaidrojumi definīcijai Izteikumi. Kādas valodas izteiksmi loģikā uzskata par izteikumu, ja tajā kaut kas tiek apgalvots, tiek aprakstīta kāda situācija vai notikums tā, ka ir jēga jautāt, vai tā ir patiesa vai nav. Tātad izteikums ir stāstījuma teikums, taču ne jebkurš stāstījuma teikums ir izteikums: tādi nav, piemēram, definīcijas. Teikums “x + 5 ir pozitīvs skaitlis” neapgalvo neko konkrētu, pirms nav fiksēta mainīgā vērtība, tāpēc nav uzskatāms par saturiski pilnu, pabeigtu izteikumu. (Tā ir izteikumforma – tā sauc izteiksmes, kas satur mainīgos un pārvēršas par izteikumiem, kad mainīgo vērtības fiksē; par tām interesējas predikātu loģika.)
Konkrētās izteikumu loģikas teorijās jeb sistēmās izteikumiem var būt uzlikti vēl kādi ierobežojumi. Tā daudzās loģikas sistēmās pieņem, ka ikvienam apskatāmajam izteikumam piemīt noteikta patiesumvērtība – vērtība (no kādas šai sistēmai raksturīgas vērtējumu skalas), kura rāda, kā izteikumā teiktais saistās ar īstenību, kādā mērā vai veidā atbilst tai. Visbiežāk kā iespējamas pieļauj tikai divas patiesumvērtības – patiess jeb p (teiktais atbilst īstenībai) un aplams jeb a (teiktais īstenībai neatbilst) –, bet atkarībā no skatījuma, apstākļiem, atbilstības īstenībai pakāpes, izteikumu analīzes mērķiem u. tml. to var būt arī vairāk. Piemēram, izteikumu “skaitlis 135 nav daudz mazāks par 150” klasiskā izteikumu loģika, kas lieto tikai divas minētās patiesumvērtības, izslēdz (nav skaidra kritērija salīdzinājumam “daudz mazāks”), bet dažās citās loģikas sistēmās tam būtu trešā vērtība nenoteikts vai, teiksim, gandrīz patiess. Cita iemesla dēļ klasiskajā loģikā arī izteikumi “ārā līst” un “šis skaitlis ir pozitīvs” nav pieļaujami (to patiesums ir mainīgs, atkarīgs no ārējiem apstākļiem – laika un vietas pirmajā gadījumā un no apskatāmā skaitļa otrajā), bet tie ir tādi dažās modālās izteikumu loģikas sistēmās.
Pašas izteikumu loģikas sistēmas gan abstrahējas no atsevišķo izteikumu statusa, to patiesumvērtībām un vispār satura, jo tās, kā jau formālā loģika vispār, balsta savas metodes un secinājumus tikai uz izteikumu izskatu un loģisko uzbūvi. Mūsdienu izteikumu loģika pat izteikumu vietā darbojas ar simboliskām izteiksmēm – formulām. Apskatāmo izteikumu statuss un patiesumvērtības ir svarīgas vien lietojumos: neviena loģikas sistēma negarantē pareizus rezultātus, ja atbilstoši tās likumiem apstrādā izteikumus, kas nepakļaujas tās noteiktajiem ierobežojumiem vai izdara slēdzienus no premisām, kas nav patiesas.
Loģiskie saikļi un loģiskās operācijas. Izteikumu loģika interesējas arī par paņēmieniem, kā no viena vai vairākiem izteikumiem veido jaunus. Visvienkāršāk tas notiek, izmantojot saikļus, piemēram, “bet”, ”vai”, “gan ... gan”, “ja ... tad”, arī tādas izteikumu paplašinošas frāzes kā “nav tiesa, ka”, “iespējams, ka”, “vienmēr” un tamlīdzīgi. Šādas valodas vienības mēdz saukt par loģiskajiem saikļiem (pat tad, ja tie nav gramatiski saikļi), arī par loģiskajiem operatoriem un izteikumfunktoriem. Jauna izteikuma darināšanu no citiem ar loģiskā saikļa palīdzību loģikā traktē kā operāciju (darbību) ar izteikumiem; piemēram, ar saikli “vai” saistīta divvietīga operācija, bet ar “iespējams, ka” – vienvietīga. Šīs operācijas sauc par loģiskajām operācijām (sintaktiskā nozīmē; šim terminam ir arī cita, semantiska nozīme). Izteikumu sauc par (loģiski) saliktu, ja tas ir kādas loģiskas operācijas rezultāts (tātad satur sevī kādu loģisko saikli un vismaz vienu citu izteikumu), un par (loģiski) vienkāršu – pretējā gadījumā.
Citāds piemērs: izteikums “skaitlis 15 nedalās ar trīs” ir īsināta forma saliktajam izteikumam “nav tiesa, ka skaitlis 15 dalās ar 3”. Parasti tos uzskata par acīmredzami līdzvērtīgiem, tādējādi arī priedēkli “ne” pieskaitot loģiskajiem saikļiem, tā pierakstīšanu izteicējam uzskatot par loģisku operāciju ar izteikumu, bet pirmo no abiem izteikumiem – par loģiski saliktu.
Standarta loģiskie saikļi, attiecīgo operāciju nosaukumi (tāpat sauc arī to rezultātus) un visbiežāk izmantotie to apzīmējumi, kas nav vienīgie, skatāmi tabulā:
nav tiesa, ka A | A negācija | ¬ A, ∼ A |
A un B | A un B konjunkcija | A & B, A ∧ B |
A vai B | A un B disjunkcija | A ∨ B |
ja A, tad B | A un B implikācija | A → B, A ⊃ B |
Loģisko saikļu izpratne (līdz ar to arī loģisko operāciju īpašības) dažādās loģikas sistēmās var atšķirties. Tās tieši vai netieši atspoguļojas sistēmā pieņemtajos loģikas likumos.
Loģiskais patiesums. Par loģiski patiesu uzskata izteikumu, kurš ir patiess un kura patiesumu var izskaidrot tīri loģiskā ceļā, t. i., balstoties vien uz loģikas likumiem un šī uzteikuma loģisko struktūru un neatsaucoties uz kādiem ārējiem (ārpusvalodas) faktiem. Tā kā vienkāršs izteikums izteikumu loģikā ir nedalāma bezstruktūras vienība, tajā tikai salikti izteikumi var būt loģiski patiesi.
Piemēram, izteikums P: “skaitlis 15 nedalās ar 2 un dalās ar 3” ir acīmredzami patiess, taču, lai to konstatētu, jāzina, ko nozīmē dalīties, un tad arī to, kādi ir skaitļa 15 dalītāji. Tas ir ne loģikas, bet aritmētikas ziņā, tāpēc var teikt, ka P patiesumam ir aritmētisks, nevis loģisks izskaidrojums. Cits izteikums Q: “ja skaitlis 15 nedalās ar 2, bet dalās ar 3, tad tas nedalās ar 2” arī ir patiess un arī par dalīšanos, taču šoreiz tā patiesumu var konstatēt tīri loģiskā ceļā – izmantojot noteiktas saikļu “ja ... tad”, “bet” un priedēkļa “ne-” īpašības (aritmētiku gan nākas izmantot, lai izvērtētu Q sastāvdaļu patiesumvērtības, bet tās zināt šeit nav nepieciešams). Proti, tīri loģisks (vismaz klasiskajā izteikumu loģikā) un pamatošanai citas zināšanas neprasošs ir fakts, ka jebkuriem diviem izteikumiem A un B no izteikuma “A, bet arī B” izriet, ka A (ir spēkā). Tādējādi Q patiesumam ir loģisks raksturs, t. i., Q ir loģiski patiess, un tieši tāpat loģiski patiess ir apgalvojums R: “ja Mēness neriņķo ap Zemi, bet riņķo ap Sauli, tad tas neriņķo ap Zemi” – neatkarīgi no tā, ko par R sastāvdaļām saka astronomija.
Šajos piemēros loģiskais patiesums izskatās triviāls, un loģiski patiesus apgalvojumus nereti arī sauc par tautoloģijām; tie tiešām nesniedz nekādu jaunu informāciju (iepriekšējos piemēros – par skaitļu un dalīšanās attiecības īpašībām). Tomēr loģikai interesanti ir tieši tie izteikumi, kas pamatojami ar tās līdzekļiem, nevis tie, kuru patiesumu noteikuši kādi ārēji apstākļi. Šo otro patiesuma noteikšana vai pārbaude ir nevis loģikas, bet konkrētu zināšanu nozaru uzdevums. Šie piemēri arī ilustrē tēzi, ka patiess izteikums ir (izteikumu loģikā) loģiski patiess tad un tikai tad, ja tas paliek patiess, kad jebkurus tajā ietilpstošos vienkāršos izteikumus aizstāj ar jebkādiem citiem izteikumiem.
Loģiskas sakarības starp izteikumiem. Iztirzājam šeit tikai vienu no svarīgām sakarībām starp diviem izteikumiem.
Divus izteikumus uzskata par loģiski līdzvērtīgiem, ja tos var tīri loģiskā ceļā pārveidot vienu par otru, ar to saprotot, ka pārveidojumi balstās uz attiecīgajā loģikas sistēmā pieņemtajām loģisko saikļu īpašībām, – tā ka tie izsaka būtībā vienu un to pašu apgalvojumu. Tādi parastajā klasiskajā izteikumu loģikā ir izteikumi “A un B”, “gan A, gan B”, “nav tā, ka kāds no izteikumiem A, B neizpildītos”, kur, piemēram, A ir izteikums “skaitlis 30 dalās ar 2”, bet B – “skaitlis 30 dalās ar 3”. (Bet izteikums “skaitlis 30 dalās ar 6” izsaka pavisam citu apgalvojumu: tā līdzvērtību iepriekšējiem var pamatot tikai, izmantojot elementāro aritmētiku.)
Faktiski izteikumu loģikā divi izteikumi ir loģiski līdzvērtīgi tad un tikai tad, ja tiem vienādas patiesumvērtības un ja tas tā paliek, kad tajos ietilpstošo vienkāršo izteikumu vietā ieraksta jebkādus citus izteikumus.