Par izteikumu loģiku mēdz saukt arī visplašāk zināmo un biežāk izmantoto tās apakšvirzienu – klasisko izteikumu loģiku.

Izteikumu loģika pamatā ir matemātiskās loģikas apakšnozare, taču atsevišķi tās jautājumi, kas saistīti ar tās izmantošanu citās jomās, kā, piemēram, valodas loģiskā analīze, izziņas teorijas u. c. filozofiska rakstura problēmu risināšana, izteikumu loģikas sistēmu klasificēšana, ir arī citu loģikas apakšnozaru pārziņā.

Izteikumi. Kādas valodas izteiksmi loģikā uzskata par izteikumu, ja tajā kaut kas tiek apgalvots, tiek aprakstīta kāda situācija vai notikums tā, ka ir jēga jautāt, vai tā ir patiesa vai nav. Tātad izteikums ir stāstījuma teikums, taču ne jebkurš stāstījuma teikums ir izteikums: tādi nav, piemēram, definīcijas. Teikums “x + 5 ir pozitīvs skaitlis” neapgalvo neko konkrētu, pirms nav fiksēta mainīgā vērtība, tāpēc nav uzskatāms par saturiski pilnu, pabeigtu izteikumu. (Tā ir izteikumforma – tā sauc izteiksmes, kas satur mainīgos un pārvēršas par izteikumiem, kad mainīgo vērtības fiksē; par tām interesējas predikātu loģika.) 

Konkrētās izteikumu loģikas teorijās jeb sistēmās izteikumiem var būt uzlikti vēl kādi ierobežojumi. Tā daudzās loģikas sistēmās pieņem, ka ikvienam apskatāmajam izteikumam piemīt noteikta patiesumvērtība – vērtība (no kādas šai sistēmai raksturīgas vērtējumu skalas), kura rāda, kā izteikumā teiktais saistās ar īstenību, kādā mērā vai veidā atbilst tai. Visbiežāk kā iespējamas pieļauj tikai divas patiesumvērtības – patiess jeb p (teiktais atbilst īstenībai) un aplams jeb a (teiktais īstenībai neatbilst) –, bet atkarībā no skatījuma, apstākļiem, atbilstības īstenībai pakāpes, izteikumu analīzes mērķiem u. tml. to var būt arī vairāk. Piemēram, izteikumu “skaitlis 135 nav daudz mazāks par 150” klasiskā izteikumu loģika, kas lieto tikai divas minētās patiesumvērtības, izslēdz (nav skaidra kritērija salīdzinājumam “daudz mazāks”), bet dažās citās loģikas sistēmās tam būtu trešā vērtība nenoteikts vai, teiksim, gandrīz patiess. Cita iemesla dēļ klasiskajā loģikā arī izteikumi “ārā līst” un “šis skaitlis ir pozitīvs” nav pieļaujami (to patiesums ir mainīgs, atkarīgs no ārējiem apstākļiem – laika un vietas pirmajā gadījumā un no apskatāmā skaitļa otrajā), bet tie ir tādi dažās modālās izteikumu loģikas sistēmās. 

Pašas izteikumu loģikas sistēmas gan abstrahējas no atsevišķo izteikumu statusa, to patiesumvērtībām un vispār satura, jo tās, kā jau formālā loģika vispār, balsta savas metodes un secinājumus tikai uz izteikumu izskatu un loģisko uzbūvi. Mūsdienu izteikumu loģika pat izteikumu vietā darbojas ar simboliskām izteiksmēm – formulām. Apskatāmo izteikumu statuss un patiesumvērtības ir svarīgas vien lietojumos: neviena loģikas sistēma negarantē pareizus rezultātus, ja atbilstoši tās likumiem apstrādā izteikumus, kas nepakļaujas tās noteiktajiem ierobežojumiem vai izdara slēdzienus no premisām, kas nav patiesas. 

Loģiskie saikļi un loģiskās operācijas. Izteikumu loģika interesējas arī par paņēmieniem, kā no viena vai vairākiem izteikumiem veido jaunus. Visvienkāršāk tas notiek, izmantojot saikļus, piemēram, “bet”, ”vai”, “gan ... gan”, “ja ... tad”, arī tādas izteikumu paplašinošas frāzes kā “nav tiesa, ka”, “iespējams, ka”, “vienmēr” un tamlīdzīgi. Šādas valodas vienības mēdz saukt par loģiskajiem saikļiem (pat tad, ja tie nav gramatiski saikļi), arī par loģiskajiem operatoriem un izteikumfunktoriem. Jauna izteikuma darināšanu no citiem ar loģiskā saikļa palīdzību loģikā traktē kā operāciju (darbību) ar izteikumiem; piemēram, ar saikli “vai” saistīta divvietīga operācija, bet ar “iespējams, ka” – vienvietīga. Šīs operācijas sauc par loģiskajām operācijām (sintaktiskā nozīmē; šim terminam ir arī cita, semantiska nozīme). Izteikumu sauc par (loģiski) saliktu, ja tas ir kādas loģiskas operācijas rezultāts (tātad satur sevī kādu loģisko saikli un vismaz vienu citu izteikumu), un par (loģiski) vienkāršu – pretējā gadījumā. 

Citāds piemērs: izteikums “skaitlis 15 nedalās ar trīs” ir īsināta forma saliktajam izteikumam “nav tiesa, ka skaitlis 15 dalās ar 3”. Parasti tos uzskata par acīmredzami līdzvērtīgiem, tādējādi arī priedēkli “ne” pieskaitot loģiskajiem saikļiem, tā pierakstīšanu izteicējam uzskatot par loģisku operāciju ar izteikumu, bet pirmo no abiem izteikumiem – par loģiski saliktu. 

Standarta loģiskie saikļi, attiecīgo operāciju nosaukumi (tāpat sauc arī to rezultātus) un visbiežāk izmantotie to apzīmējumi, kas nav vienīgie, skatāmi tabulā:

Loģisko saikļu izpratne (līdz ar to arī loģisko operāciju īpašības) dažādās loģikas sistēmās var atšķirties. Tās tieši vai netieši atspoguļojas sistēmā pieņemtajos loģikas likumos. 

Loģiskais patiesums. Par loģiski patiesu uzskata izteikumu, kurš ir patiess un kura patiesumu var izskaidrot tīri loģiskā ceļā, t. i., balstoties vien uz loģikas likumiem un šī uzteikuma loģisko struktūru un neatsaucoties uz kādiem ārējiem (ārpusvalodas) faktiem. Tā kā vienkāršs izteikums izteikumu loģikā ir nedalāma bezstruktūras vienība, tajā tikai salikti izteikumi var būt loģiski patiesi. 

Piemēram, izteikums P: “skaitlis 15 nedalās ar 2 un dalās ar 3” ir acīmredzami patiess, taču, lai to konstatētu, jāzina, ko nozīmē dalīties, un tad arī to, kādi ir skaitļa 15 dalītāji. Tas ir ne loģikas, bet aritmētikas ziņā, tāpēc var teikt, ka P patiesumam ir aritmētisks, nevis loģisks izskaidrojums. Cits izteikums Q: “ja skaitlis 15 nedalās ar 2, bet dalās ar 3, tad tas nedalās ar 2” arī ir patiess un arī par dalīšanos, taču šoreiz tā patiesumu var konstatēt tīri loģiskā ceļā – izmantojot noteiktas saikļu “ja ... tad”, “bet” un priedēkļa “ne-” īpašības (aritmētiku gan nākas izmantot, lai izvērtētu Q sastāvdaļu patiesumvērtības, bet tās zināt šeit nav nepieciešams). Proti, tīri loģisks (vismaz klasiskajā izteikumu loģikā) un pamatošanai citas zināšanas neprasošs ir fakts, ka jebkuriem diviem izteikumiem A un B no izteikuma “A, bet arī B” izriet, ka A (ir spēkā). Tādējādi Q patiesumam ir loģisks raksturs, t. i., Q ir loģiski patiess, un tieši tāpat loģiski patiess ir apgalvojums R: “ja Mēness neriņķo ap Zemi, bet riņķo ap Sauli, tad tas neriņķo ap Zemi” – neatkarīgi no tā, ko par R sastāvdaļām saka astronomija.

Šajos piemēros loģiskais patiesums izskatās triviāls, un loģiski patiesus apgalvojumus nereti arī sauc par tautoloģijām; tie tiešām nesniedz nekādu jaunu informāciju (iepriekšējos piemēros – par skaitļu un dalīšanās attiecības īpašībām). Tomēr loģikai interesanti ir tieši tie izteikumi, kas pamatojami ar tās līdzekļiem, nevis tie, kuru patiesumu noteikuši kādi ārēji apstākļi. Šo otro patiesuma noteikšana vai pārbaude ir nevis loģikas, bet konkrētu zināšanu nozaru uzdevums. Šie piemēri arī ilustrē tēzi, ka patiess izteikums ir (izteikumu loģikā) loģiski patiess tad un tikai tad, ja tas paliek patiess, kad jebkurus tajā ietilpstošos vienkāršos izteikumus aizstāj ar jebkādiem citiem izteikumiem. 

Loģiskas sakarības starp izteikumiem. Iztirzājam šeit tikai vienu no svarīgām sakarībām starp diviem izteikumiem. 

Divus izteikumus uzskata par loģiski līdzvērtīgiem, ja tos var tīri loģiskā ceļā pārveidot vienu par otru, ar to saprotot, ka pārveidojumi balstās uz attiecīgajā loģikas sistēmā pieņemtajām loģisko saikļu īpašībām, – tā ka tie izsaka būtībā vienu un to pašu apgalvojumu. Tādi parastajā klasiskajā izteikumu loģikā ir izteikumi “A un B”, “gan A, gan B”, “nav tā, ka kāds no izteikumiem A, B neizpildītos”, kur, piemēram, A ir izteikums “skaitlis 30 dalās ar 2”, bet B – “skaitlis 30 dalās ar 3”. (Bet izteikums “skaitlis 30 dalās ar 6” izsaka pavisam citu apgalvojumu: tā līdzvērtību iepriekšējiem var pamatot tikai, izmantojot elementāro aritmētiku.) 

Faktiski izteikumu loģikā divi izteikumi ir loģiski līdzvērtīgi tad un tikai tad, ja tiem vienādas patiesumvērtības un ja tas tā paliek, kad tajos ietilpstošo vienkāršo izteikumu vietā ieraksta jebkādus citus izteikumus.

Pēc Aristoteļa (Ἀριστοτέλης) siloģistikas, kuru gadu simtiem uzskatīja par loģikas kanonu, modernā izteikumu loģika pievērsa uzmanību pavisam citāda rakstura spriešanas paņēmieniem un attiecīgajām loģiskajām likumībām, tā paplašinot loģikas interešu un izmantošanas sfēru. Laika gaitā tā ir kļuvusi par matemātiskās loģikas pamatu – mūsdienās gandrīz jebkura loģikas sistēma balstās uz kādu no izteikumu loģikas sistēmām.vai ietver sevī to. Izteikumu loģikai (precīzāk, tā sauktajai loģikas algebrai un daudzvērtību loģikas algebriskajam aparātam) joprojām ir nozīmīga loma dažu veidu elektrisko shēmu un loģisko tīklu teorijā. No turienes tā ienākusi datortehnoloģijās: gan teorijā, gan elektronisko shēmu projektēšanā un citu tehnisku risinājumu meklēšanā. Datorzinātnē to izmanto meklēšanas algoritmu izveidošanai, datu struktūru definēšanai, loģiskajā programmēšanā. Mākslīgā intelekta jomā tai ir loma plānošanas, vadības un lēmumu pieņemšanas uzdevumu risināšanā. Dažādu veidu modālās izteikumu loģikas sistēmas izmanto programmēšanas teorijā, bet vēl plašāk – vairāku filozofijas jautājumu risināšanai.

Pastāv dažādas izteikumu loģikas sistēmas, kas pievērš uzmanību atšķirīgām loģiskām likumībām mūsu domāšanā un to izpausmēm valodā, kā arī atšķirīgām loģisko saikļu (īpaši implikācijas) izpratnēm. Tas dažkārt noved arī pie atšķirīgu, pat alternatīvu loģikas likumu izmantošanas tajās. Katra izteikumu loģikas apakšnozare faktiski ir radniecīgu loģikas sistēmu kopums. 

Plašāk pazīstamā, vienkāršākā un nozīmīgākā ir klasiskā izteikumu loģika, ko bieži sauc vienkārši par izteikumu loģiku. Izteikumu loģikas sistēmu tradicionāli sauc par klasisku, ja tajā ir ievēroti divvērtības princips (katrs izteikums ir vai nu patiess, vai aplams) un ekstensionalitātes princips (salikta izteikuma patiesumvērtību pilnībā nosaka tajā izmantotie loģiskie saikļi un vienkāršo sastāvdaļu patiesumvērtības). Tad katrai loģiskajai operācijai tās rezultāta patiesumvērtību nosaka tās argumentu patiesumvērtības. Tādējādi jebkuru loģisko operāciju klasiskajā loģikā var domāt arī semantiski kā patiesumoperāciju – operāciju ar patiesumvērtībām a un p, kā tas pierasts. Te pieminama arī klasiskās izteikumu loģikas algebriskā forma – loģikas algebra, kas faktiski ir šo patiesumoperāciju teorija.

Aplūko arī klasiskās izteikumu loģikas apakšsistēmas (fragmentus), kurās atmesti kādi no loģiskajiem saikļiem, kā arī tās ierobežojumus – sistēmas, kurās noraidīti kādi no klasiskās loģikas likumiem, kas nosaka loģisko operāciju īpašības (kā intuicionistiskajā izteikumu loģikas vai kvantu loģikā) vai ietekmē izvedumu struktūru (kā lineārajā loģikā vai relevantajās izteikumu loģikas sistēmās). Citi plaši virzieni izteikumu loģikā ir klasiskās izteikumu loģikas paplašinājumi (ar loģiskām operācijām, kas nav patiesumoperācijas, vai ar vairāk patiesumvērtībām): dažādu veidu modālās (tostarp laika jeb temporālās) vai daudzvērtību (tostarp nestriktās) izteikumu loģikas.

Citāda rakstura izteikumu loģikas novirziens ir algebriskā izteikumu loģika. Tās redzeslokā ir dažādas algebriskas struktūras, kas rodas izteikumu loģikas sistēmās, un secinājumi no šo struktūru īpašībām par attiecīgajām loģikas sistēmām. 

Līdzīgi visai matemātiskajai loģikai, arī izteikumu loģikā tās atsevišķo sistēmu un to semantikas formalizēšana ar sekojošu matemātisku metožu lietošanu gan sistēmu iekšienē, gan it sevišķi pašu sistēmu pētīšanā ir galvenā tajā lietotā loģikas pētniecības metode. Izplatītākais formalizēšanas veids ir Hilberta stila loģiskie rēķini jeb tā sauktās formālās sistēmas. Dažādās daudzvērtību loģikas sistēmās loģisko saikļu un izteikumfunktoru semantikas raksturošanas metode ir tā saukto loģisko matricu lietošana. Pēdējās desmitgadēs arī izteikumu loģikā ir pieaugusi loģisko sistēmu algebrizācijas un līdz ar to universālās algebras metožu loma. 

Ikvienas formalizētas loģiskas sistēmas galvenās komponentes ir tās valoda, deduktīvais aparāts un interpretācijas.

Izteikumu loģikas valodas. Katra tāda sistēma balstās uz kādu tai piemērotu formalizētu valodu, kurā parastās valodas izteikumu vietā ir formulas, bet loģisko saikļu vietā – īpaši simboli vai to kombinācijas, ko sauc par loģiskajiem operatoriem, arī par izteikumfunktoriem; ar to palīdzību no esošām formulām darina jaunas. 

Izteikumu loģikas valodas raksturo tas, ka tajās formulas un loģiskie operatori ir vienīgās izteiksmes. Precīzāk, atsevišķas sintaktiskas kategorijas veido visas formulas, visi vienvietīgie, visi divvietīgie funktori utt.; parasti gan neizmanto funktorus, kas saista vairāk nekā divas formulas. Visi izteikumfunktori ir vienkāršas izteiksmes, un to parasti ir galīgs skaits. Savukārt vienkāršo formulu jeb izteikumsimbolu (kuru sastāvā izteikumfunktoru nav) parasti ir sanumurējami daudz.

Tādējādi dažādas izteikumu loģikas valodas atšķiras galvenokārt ar to, kādi loģiskie saikļi un ar kādu semantiku tajās atspoguļoti; konkrētam valodas alfabētam un pat formulu izskatam nav loģikai izšķirošas nozīmes. 

Īpaša loma ir tā sauktajām vispārpatiesajām formulām – tām, kas patiesas jebkurā interpretācijā. Tās sauc arī par loģiski patiesām, jo to patiesumu nosaka vienīgi to uzbūve un izteikumu loģikas principi, nevis atsauces uz kādu ārēju informāciju. Izteikumu loģikā interesējas arī par formulu saderību, līdzvērtību, sekošanu no citām, un tajā tiek formalizēti arī dažādi pierādījumu veidi. 

Deduktīvais aparāts. Izteikumu loģikā pētī arī tās ietvaros izdarāmus pierādījumus. Tādam nolūkam katros izteikumu loģikas rēķinos izveido īpašu to valodā balstītu pierādīšanas līdzekļu kopumu jeb deduktīvo aparātu. Parasti tas sastāv no aksiomām un izveduma kārtulām, kas ļauj iegūt kādu secinājumu no vienas vai vairākām formulām. Balstoties uz šo aparātu, definē izveduma (formāla pierādījuma) un izvedamas formulas (teorēmas) jēdzienus. Taču izmanto arī citādi iekārtotus deduktīvos aparātus.

Interpretācijas. Kopumā izteikumu loģikas formālo sistēmu interpretācijas ir pārāk daudzveidīgas, lai veidotu detalizētu tām visām kopīgu aprakstu. Vienkāršākā veida interpretācijas ir tā sauktajām ekstensionālajām sistēmām, kur izteikumiem un formulām ir patiesumvērtības; pie tām pieder arī klasiskie izteikumu rēķini. Tām interpretēšana sākas ar noteikta veida vai pat vienas noteiktas patiesumvērtību kopas izvēli, kura kalpos kā veidojamās interpretācijas apgabals. Nākamais solis: katram valodas izteikumfunktoram interpretācijā piesaista kādu operāciju šajā kopā (tā pārvēršot šo kopu par algebrisku sistēmu). Tādas operācijas arī sauc par loģiskajām operācijām (bet semantiskā nozīmē), precīzāk – par patiesumoperācijām. Izteikumfunktori ir tā sauktās loģiskās konstantes, proti, katram no tiem visās interpretācijās ar vienādiem apgabaliem piešķir vienu un to pašu patiesumoperāciju. Piemēram, klasiskajā izteikumu loģikā, kur ir tikai viens interpretācijas apgabals {a, p}, tas notiek atbilstoši šādai tabulai (kur pirmajās divās ailēs ir iespējamās argumentu (formulu A un B patiesumvērtību) kombinācijas, bet katrā nākamajā – attiecīgās operācijas rezultāti katrā no četriem gadījumiem):

Trešais solis: interpretācijā katram izteikumsimbolam piekārto vienu no patiesumvērtībām. Tādējādi interpretācija ļauj ikvienai formulai izrēķināt tās patiesumvērtību. Katrai formālajai sistēmai aplūko visas tai iespējamās šādi darbojušās interpretācijas.

Jau Aristotelis, kurš izveidoja pirmo loģikas sistēmu siloģistiku, un viņa skolnieki atzina, ka nepieciešams izpētīt arī salikto izteikumu veidošanu. Izteikumu loģika kā sistēma izveidojās 3. gs. p. m. ē. stoiķu filozofijā, pateicoties Hrīsipam (Χρύσιππος ὁ Σολεύς) un viņa sekotājiem. Tajā jau bija atrodamas visas galvenās klasiskās izteikumu loģikas idejas. Izteikumu loģiku algebriskā formā (mūsdienās pazīstamu kā loģikas algebru) 19. gs. vidū un otrā pusē radīja galvenokārt Džordžs Būls (George Boole) un Augusts de Morgans (Augustus de Morgan). 1879. gadā Gotlobs Frēge (Friedrich Ludwig Gottlob Frege) publicēja pirmo aksiomātiski veidoto loģikas sistēmu, no kuras var izdalīt arī klasiskos izteikumu rēķinus. Citu, jau mūsdienīgāku izteikumu loģikas sistēmu 1906. gadā izveidoja Bērtrands Rasels (Bertrand Arthur William Russell). 

Turpmākajās desmitgadēs izteikumu un arī predikātu loģikas pamati tika vairākkārt izklāstīti literatūrā, piemēram, 1938. gadā iznākušajā Dāvida Hilberta (David Hilbert) un Vilhelma Akermana (Wilhelm Friedrich Akermann) grāmatā “Teorētiskās loģikas pamati” (Grundzüge der theoretischen Logik); sāka rasties arī citas neklasiskas izteikumu loģikas sistēmas ar neparastākām interpretācijām (modālās un daudzvērtību loģikas). Šis process turpinās arī mūsdienās, kad dažādi jauni loģikas lietojumi rada vajadzību pēc specifiskām tās sistēmām. 

Archive for Mathematical Logic (kopš 1952. gada; Springer), Journal of Mathematical Logic (kopš 2001. gada; World Scientific), Logic Journal of IGPL (kopš 1997. gada; Oxford University Press), Mathematical Logic Quarterly (kopš 1956. gada; Wiley), Studia Logica (kopš 1953. gada; Springer), The Bulletin of Symbolic Logic (kopš 1995. gada; Cambridge University Press, Association for Symbolic Logic), The Journal of Symbolic Logic (kopš 1936. gada; Cambridge University Press, Association for Symbolic Logic).

Emīls Posts (Emil Leon Post) 1921. gadā pierādīja adekvātības teorēmu klasiskajai izteikumu loģikai. Viņš un Jans Lukasevičs (Jan Łukasiewicz) izveidoja pirmās daudzvērtību loģikas. Pirmās modernās modālās izteikumu loģikas sistēmas izveidoja Klerenss Lūiss (Clarence Irvin Lewis) 1918. gadā un vēlāk. Tām ilgu laiku trūka piemērotas semantikas; Sols Kripkī (Saul Aaron Kripke) 1950. gados izveidoja tām pilnīgi jauna tipa – tā saukto relacionālo – semantiku. (Nūels Belnaps (Nuel Dinsmor Belnap Jr.) un Alans Andersons (Alan Ross Anderson) kopā ar sekotājiem no agrīnām idejām 20. gs. 70. gados izveidoja vairākas relevantās (jeb relevances) izteikumu loģikas sistēmas. Liela loma laika jeb temporālās loģikas izveidei 1970. gados bija Arturam Praioram (Arthur Norman Prior). Ar Lofti Zades (angļu Lotfi Askar Zadeh, azerbaidžāņu Lütfi Rəhim oğlu Ələsgərzadə, persiešu لطفی علی‌عسکرزاده) vārdu saista nestriktās loģikas (fuzzy logic) rašanos 1965. gadā.