Dzimis namsaimnieka ģimenē. Mācījies Alūksnes luterāņu draudzes skolā, beidzis Pleskavas skolotāju semināru (1902). 1902. gadā A. Kalējs iestājās Tiflisas (tagad Tbilisi Gruzijā) kājnieku junkurskolā (beidzis 1905. gadā). 1914. gada pavasarī sekmīgi nokārtoja iestājpārbaudījumu pirmo kārtu Nikolaja ģenerālštāba akadēmijā (kara sākuma dēļ neiestājās). 1922. gadā beidza virsnieku kursus Francijā, 1924. gadā iestājās Francijas Kara akadēmijā (beidzis 1926. gadā).
No 1905. gada virsnieks Krievijas armijas 114. kājnieku pulkā Jelgavā, no 1907. gada – 15. grenadieru pulkā Tiflisā. Podporučiks (1905), poručiks (1908), štābkapteinis (1912), kapteinis (1914). Sākoties Pirmajam pasaules karam 09.1914. A. Kalēju pulka sastāvā nosūtīja uz fronti; piedalījās kaujās ar Vācijas armiju Polijā un Austrumprūsijā. 25.12.1914. kaujā kontuzēts un sava bataljona sastāvā krita vācu gūstā pie Varšavas, atlikušo kara laiku pavadīja virsnieku karagūstekņu nometnēs Vācijā. Pēc pamiera parakstīšanas Rietumu frontē un Novembra revolūcijas sākuma Vācijā A. Kalēju atbrīvoja; 30.11.1918. viņš atgriezās Latvijā, dzīvoja pie vecākiem Alūksnē.
Pēc Igaunijas armijas veiktās pilsētas atbrīvošanas no lielinieku varas, no 22.03.1919. strādāja par svešvalodu skolotāju Alūksnes pareizticīgo draudzes skolā. 22.05.1919. A. Kalējs amatu atstāja un 31.05.1919. Tallinā brīvprātīgi iestājās Igaunijas armijas sastāvā esošajā Ziemeļlatvijas brigādē (kapteinis), no 11.06.1919. rotas komandieris Ziemeļlatvijas brigādes Rezerves bataljonā (no 05.07.1919. bataljona komandiera palīgs). 01.08.1919. bataljons tika pārdēvēts par Latvijas armijas 4. Siguldas pulku, 12.08.1919. – par 6. Rīgas kājnieku pulku; pulka komandiera palīgs.
No 08.10.1919. A. Kalējs piedalījās kaujās ar Pāvela Bermonta (krievu Павел Рафаилович Бермондт-Aвалов, vācu Pavel Bermondt-Avalov) spēkiem. 22.12.1919. A. Kalēju pārvietoja uz Armijas virspavēlnieka štāba Inspekcijas daļu; šī štāba Operatīvās daļas Operatīvās nodaļas priekšnieka palīgs un priekšnieka vietas izpildītājs (no 04.01.1920.), 13. Tukuma kājnieku pulka (bijušie Latvijas armijas Vācu zemessargi; pirms tam – Baltijas Landesvērs) komandiera vietas izpildītājs (no 10.03.1920.; amatā apstiprināts 11.04.1921.). Pulkvedis-leitnants (10.03.1920.), pulkvedis (1923), ģenerālis (1927).
Pēc 13. Tukuma kājnieku pulka izformēšanas A. Kalējs bija 4. Valmieras kājnieku pulka komandieris Rīgas garnizonā (no 04.05.1922.). Vecāko virsnieku kursu priekšnieks (no 30.10.1922.), Kara skolas priekšnieks (no 01.04.1923.). Armijas komandiera štāba Apmācības daļas priekšnieks (no 01.11.1926.), Armijas komandiera štāba priekšnieks (no 22.11.1927.). Pēc Armijas komandiera štāba un Galvenā štāba apvienošanas vienotā Armijas štābā 1929. gadā, A. Kalēju iecēla par tā priekšnieku. Latvijas delegācijas loceklis starptautiskajā Atbruņošanās konferencē Ženēvā (01.–05.1932.), aktīvi darbojās sabiedriskajās organizācijās, bija Latvijas Olimpiskās komitejas loceklis, grāmatas “Mūsu armija tapšanā valsts izcīnīšanā un tagadējos sasniegumos” (1929) galvenais redaktors.
Miris no infarkta Rīgas Kara slimnīcā. A. Kalējs ar militāru godu tika izvadīts no Doma baznīcas. Ceremonijā piedalījās augstākās valsts un armijas amatpersonas.
Latvijas Neatkarības kara laikā un pēc tā A. Kalējs bija 13. Tukuma kājnieku pulka, bijušais Baltijas Landesvērs, komandieris, pārņemot šo amatu no britu misijas pulkvežleitnanta Harolda Aleksandera (Alexander of Tunis, Harold Rupert Leofric George Alexander) un vadot karaspēka daļas reformēšanu atbilstoši Latvijas armijas standartiem.
Par Pirmā pasaules kara kaujās 1914. gadā parādīto varonību un labu dienestu A. Kalējs 1910. gadā apbalvots ar Krievijas Svētā Staņislava ordeni (Императорский и Царский Орден Святого Станислава), III šķira ar šķēpiem, Svētās Annas ordeni (Императорский орден Святой Анны), IV šķira; par 04.11.1919. kaujā ar Bermonta spēkiem parādīto varonību – ar Latvijas Lāčplēša Kara ordeni, III šķira, Triju Zvaigžņu ordeni, II šķira, Aizsargu Nopelnu krustu, Francijas Goda Leģiona ordeni (Ordre national de la Légion d'honneur), III šķira, Polijas Polonia restituta ordeni, II šķira, Zviedrijas Šķēpa ordeni (Svärdsorden), I šķira, Somijas Baltās rozes ordeni (Suomen Valkoisen Ruusun ritarikunta), II šķira, Somijas Suojoloskunta organizācijas Nopelnu krustu, Beļģijas Kara krustu (Croix de guerre), Čehoslovākijas Baltās lauvas ordeni (Československý řád bilého lva), II šķira, Igaunijas Ērgļa ordeni (Kotkarist), I šķira.
Aleksandrs Kalējs. 1923.–1924. gads.