J. D. Felsko tēvs bija mūrnieks Johans Jakobs Felsko (Johan Jakob Felsko, arī Felskavs, Felskau), kurš dzimis Kēnigsbergā un ieceļojis Rīgā no Lībekas, māte Terēze Luīze Felsko (Therese Luise Felsko), dzimusi Heidemane (Heydemann), bija no Bārbeles (Barbern) muižas.
Pirmo izglītību J. D. Felsko ieguva Rīgā – no 1823. līdz 1829. gadam mācījās privātskolā. Līdz 1832. gadam viņš apguva mūrnieka arodu pie sava krusttēva, Rīgas pilsētas būvmeistara Johana Daniela Gotfrīta (Johann Daniel Gottfriedt) un tehnisko rasēšanu pie Vidzemes guberņas arhitekta Jūliusa Ādolfa Špacīra (Julius Adolph Spazier). Kā zellis J. D. Felsko no 1832. gada ceļoja pa Eiropu un uzturējās Kēnigsbergā, Varšavā, Poznaņā, Berlīnē, Lībekā un Kopenhāgenā, kur no 1835. līdz 1840. gadam studēja Karaliskajā daiļo mākslu akadēmijā (Det Kongelige Akademi for de Skønne Kunster). 1838. gada vasarā J. D. Felsko īslaicīgi atgriezās Rīgā, kur iesaistījās Rīgas Svētā Pētera baznīcas remontdarbos un sagatavoja baznīcas torņa smailes tehniskā stāvokļa atskaiti Rīgas rātei, un saņēma Rīgas rātes stipendiju, lai rudenī turpinātu studijas ārzemēs. Kopenhāgenas Karaliskās daiļo mākslu akadēmijas 1839. gada izstādē J. D. Felsko par izstrādāto arsenāla projektu saņēma sudraba medaļu un 1840. gadā pabeidza studijas.
1841. gadā J. D. Felsko atgriezās Rīgā, 1842. gadā nokārtoja mūrniekmeistara pārbaudījumu un kļuva par Rīgas pilsētas Mazās ģildes locekli.
J. D. Felsko 1842. gadā salaulājās ar Georgīni Vilhelmīni Grosu (Georgine Wilhelmine Grooss) no Kopenhāgenas, un abu laulībā dzima divas meitas un seši dēli, to vidū Karls Felsko (Carl Johann Felsko), kurš kļuva par arhitektu, un Oskars Felsko (Oscar Daniel Eduard Felsko), kurš kļuva par gleznotāju.
Lai iegūtu tiesības būt par diplomētu arhitektu un veidot valsts ierēdņa karjeru, J. D. Felsko 1851. gadā ieguva ārpusklašu mākslinieka grādu būvmākslā Pēterburgas Imperatora mākslas akadēmijā (Императорская Академия художеств в Санкт-Петербурге), izstrādājot kvalifikācijas darbu – projektu savrupmājai, kas paredzēta izīrēšanai.