H. Gērings dzimis jurista un vācu koloniju administrācijas pārstāvja Heinriha Gēringa (Heinrich Ernst Göring) un Franciskas (Franziska, dzimusi Tīfenbrunna, Tiefenbrunn) ģimenē. Ģimenē bija pieci bērni, H. Gērings bija otrs jaunākais. Viņa tēvam bija divi bērni no iepriekšējās laulības. Tēvs un māte sākumā atradās valsts dienesta gaitās Haiti, tādēļ bērna audzināšanu uzņēmās radinieki. Gēringiem nepiederēja īpašumi.
Skolas gaitas sāka privātskolā Firtē, vēlāk turpat mācījās valsts humanitārajā ģimnāzijā (Heinrich-Schliemann-Gymnasium) un ģimnāzijā (Gymnasium Carolinum) Ansbahā. Jau skolas gados sāka aizrauties ar militārajām un kara lietām. 1909. gadā Berlīnē iestājās Prūsijas Karalistes Galvenajā kadetu skolā (Königlich Preußische Hauptkadettenanstalt), 1913. gadā beidza vidējās izglītības kursu un ieguva virsnieka pakāpi. 1922. gadā studēja vēsturi un ekonomiku Minhenes Universitātē (Ludwig-Maximilians-Universität München).
1923. gadā Stokholmā laulājies ar šķirteni zviedrieti Karīnu fon Kantcovu (Carin von Kantzow, dzimusi Foka, Fock), sieva mira 1931. gadā, pārim pēcteču nebija. 1935. gadā laulājās ar šķirteni aktrisi Emmiju Kestlinu (Emma Johanna Henny (Emmy) Köstlin, dzimusi Zonnemane, Sonnemann), abu laulībā 1938. gadā dzima meita Eda (Edda), kura 2018. gadā mira, neatstājot tiešus H. Gēringa pēctečus.
H. Gēringa sievu E. Gēringu un Jozefa Gēbelsa (Joseph Goebbels) sievu Magdu Gēbelsu (Magda Goebbels) bija pieņemts uzskatīt par Trešā reiha “pirmajām lēdijām”, jo Ā. Hitlers bija neprecēts.