Vācu Impērijas (Veimāras republikas) ministru prezidents (21.06.1919.–14.08.1919.), pēc Veimāras republikas konstitūcijas spēkā stāšanās – kanclers (14.08.1919.–26.03.1920).

Dzimis luterticīgā tiesu izpildītāja ģimenē. Mācījies Kēnigsbergas tautskolā. No 1884. gada rakstvedis advokātu birojā. Smagas slimības laikā 1888. gadā zaudējis kāju. No 1895. gada aktīvi līdzdarbojies vācu arodbiedrību kustībā, kļuva par vienu no tās ievērojamākajām personībām un vienlaicīgi pieslējās Vācijas Sociāldemokrātiskajai partijai (Sozialdemokratische Partei Deutschlands, SPD). No šīs partijas G. Baueru 1912. gadā ievēlēja Vācijas Reihstāgā. Novembra revolūcijas Vācijā laikā darba ministrijas valsts sekretārs, pēcāk darba ministrs Frīdriha Eberta (Friedrich Ebert) un Filipa Šeidemaņa (Philipp Scheidemann) valdībās. Par Vācu Impērijas ministru prezidentu G. Bauers kļuva pēc tam, kad iepriekšējais valdības vadītājs F. Šeidemanis, protestējot pret Versaļas līgumu, atkāpās no amata. Kaut gan pats G. Bauers nepiekrita miera līguma noteikumiem, viņa vadītais ministru kabinets parakstīja Versaļas miera līgumu, cerībā, ka izdosies Antanti pārliecināt mainīt atsevišķus līguma punktus. Drīz izrādījās, ka tas nav iespējams.

G. Bauera valdība veica Vācijas vēsturē apjomīgāko nodokļu un finanšu reformu, reformas iedzīvotāju sociālajā nodrošināšanā, kā arī pārņēma valsts pārziņā dzelzceļa infrastruktūru. G. Bauera valdība 1920. gada ziemas nogalē zaudēja SPD atbalstu Reihstāgā un 26.03.1920. bija spiesta atkāpties. Kanclera posteni pārņēma G. Bauera partijas biedrs un draugs Hermanis Millers (Hermann Müller). G. Bauers turpināja līdzdarboties arī šajā un turpmākajās valdībās, ieņemot valsts kases un transporta ministru amatus. 1924. gadā tika apvainots korupcijā un uz laiku atstādināts no Reihstāga deputāta amata. 1924. gadā iestājās jaunveidotajā kreiso spēku apvienotajā kaujinieku organizācijā (Reichsbanner). Politikā turpināja darboties līdz 1928. gadam. Nacionālsociālistu valdīšanas laikā īslaicīgi tika apcietināts par aizdomām nodokļu krāpniecībā. Atšķirībā no citiem redzamiem vācu sociāldemokrātiem, G. Baueru nacionālsociālisti nerepresēja.