Dzimis saimnieka ģimenē. Mācījās Lubānas ministrijas skolā (beidza 1891. gadā), Gorku lauksaimniecības skolā Mogiļovas guberņā (beidza 1898. gadā). No 1899. gada studēja un 1903. gadā beidza Rīgas Politehniskā institūta Lauksaimniecības nodaļu, 1903.–1904. gadā H. Celmiņu komandēja lopkopības studijām uz Krievijas rietumu un ziemeļu guberņām. 1913.–1914. gadā studēja Bernes Universitātes (vācu Universität Bern) Matemātikas un dabaszinātņu nodaļā (rakstīja doktora disertāciju).

Sieva Marta Celmiņa bija sabiedriska darbiniece, Latvijas Sarkanā Krusta Žēlsirdīgo māsu valdes priekšsēdētāja, brālis Mārtiņš – luterāņu mācītājs.

H. Celmiņš pēc lauksaimniecības skolas beigšanas 1898.–1899. gadā kā savvaļnieks bija obligātajā karadienestā Krievijas armijā, 177. kājnieku pulkā Rīgā, atvaļināts 08.1899. pēc rezerves virsnieka dienesta pakāpes zināšanu pārbaudījuma nokartošanas iegūšanas; 11.1898. viņu paaugstināja par kājnieku virsnieku (praporščiku) rezervē. Jau studiju laikā aktīvi iesaistījās Rīgas latviešu sabiedriskajā dzīvē, bija studentu korporācijas “Talavija” filistrs dibinātājs.

1904. gadā sāka strādāt par Oloņecas guberņas zemstes (pašvaldības) agronoma palīgu Petrozavodskā. Krievijas–Japānas kara laikā H. Celmiņu 10.1904. mobilizēja armijā kā rezerves virsnieku, dienēja 94. kājnieku pulkā Pleskavā, 96. kājnieku rezerves bataljonā Staraja Rusā (no 02.1905.), maizes ceptuves pārzinis 96. un 84. rezerves bataljonā Pēterburgā (no 04.1905.), vēlāk kvartīrmeistars 96. rezerves bataljonā. 12.1905. tika atvaļināts rezervē.

Samaras lauksaimniecības skolas skolotājs (no 06.1906.), Rīgas Lauksaimniecības centrālbiedrības agronoms (no 08.1908.), valdības vecākais lopkopības speciālists Rīgas Lauksaimniecības biedrībā (no 08.1910.), tādā pašā amatā visās Baltijas guberņās (no 1912. gada). H. Celmiņu komandēja uz Dāniju, Zviedriju, Vāciju, Šveici (1910–1913). Valsts civildienestā sasniedza kolēģijas sekretāra (1906), titulārpadomnieka (1909) un kolēģijas asesora (1912) rangu. Bija laikrakstu “Pēterburgas Avīzes” (1901–1904) un “Baltijas Vēstnesis” (1903–1904) līdzstrādnieks; Rīgas lauksaimniecības centrālbiedrības izdevuma “Baltijas Lauksaimnieks” atbildīgais redaktors (1907–1913). Piedalījās vairāku lauksaimniecības rokasgrāmatu sastādīšanā (1912–1913). Darbojās Lubānas lauksaimniecības biedrībā.

Sākoties Pirmajam pasaules karam, 08.1914. H. Celmiņu mobilizēja armijā. Virsnieks 303. kājnieku pulkā Mogiļevā, no 09.1914. tika piekomandēts Grodņas cietokšņa štābam kā 14. darba rotas komandieris, 06.1915. atgriezās savā pulkā frontē Polijā, rotas jaunākais virsnieks, rotas komandieris (no 08.1915.). Kaujās pie Viļeikas 09.10.1915. H. Celmiņš krita Vācijas armijas gūstā, bija ieslodzīts virsnieku karagūstekņu nometnē Neisē, no kuras viņu atbrīvoja. H. Celmiņš atgriezās vācu karaspēka okupētajā Latvijā 08.1918. Dzīvoja Lubānas pagastā. Bija Rīgas Lauksaimniecības centrālbiedrības sekretārs Priekuļu muižā (no 01.10.1918.), Priekuļu lauksaimniecības skolas skolotājs (no 12.1918.), skolas padomes priekšsēdētājs, lauksaimniecības ziemas kursu vadītājs lielinieku varas laikā.

15.06.1919. H. Celmiņš brīvprātīgi iestājās Latvijas Pagaidu valdības bruņoto spēku 1. Atsevišķajā latviešu brigādē (leitnants) un komandēts valdības pilnvarotā Ziemeļlatvijā Markusa Gailīša rīcībā Cēsīs (pilnvarotā palīgs un Ziemeļlatvijas civilpārvaldes agrārās un meža nodaļas pārzinis). 14.09.1919. tika atvaļināts no armijas, ieskaitīts Zemkopības ministrijas rīcībā. 06.10.1919. no Latviešu zemnieku savienības H. Celmiņu ievēlēja par Tautas padomes locekli. Sākoties Pāvela Bermonta (Павел Рафаилович Бермондт-Авалов) karaspēka uzbrukumam Rīgai, 09.10.1919. brīvprātīgi iestājās jaunizveidotajā Latvijas armijas 1. Studentu bataljonā un piedalījās Daugavas tiltu aizstāvēšanas kaujās. Sakaru virsnieks Latgales divīzijas štābā (no 11.10.1919.), 1. Studentu bataljona (02.1920. bataljons pārdēvēts par Tanku bataljonu) kasieris (no 24.10.). Virsleitnants (no 02.1920.), pēc tam kapteinis (par kaujas nopelniem). Armijas virspavēlnieka štāba Virsnieku rezervē (no 04.1920.), Galvenā štāba Administratīvajā daļā (no 04.1921.), skaitoties ilgstošā atvaļinājumā (formāli atvaļināts 10.1926.).

Satversmes sapulces loceklis no Latviešu Zemnieku savienības (no 05.1920.), pirmais Satversmes sapulces Agrārās komisijas sekretārs. Visu četru Saeimu deputāts (1922–1934). Zemkopības ministrs (12.06.1920.–18.06.1921.; 19.12.1924.–05.03.1925.), zemkopības ministra biedrs (19.06.1921.–08.1923.), izglītības ministrs (15.10.1923.–26.01.1924.). Ministru prezidents (19.12.1924.–23.12.1925.; 01.12.1928.–26.03.1931.). Pēc ārlietu ministra Zigfrīda Annas Meierovica nāves arī ārlietu ministrs (23.08.–23.12.1925.; 05.02.1930.–26.03.1931.; valdības sastāvā demisionējis). 1930. gadā bija Latvijas delegācijas priekšsēdētājs Tautu Savienības XI kopsapulcē. Rīgas pilsētas galva (05.05.1931.–01.09.1935.). Ārkārtējais sūtnis un pilnvarotais ministrs Vācijā, Austrijā (01.10.1935.–08.1938.; sakarā ar Austrijas anšlusu līdz 04.1938.) un Nīderlandē, ar sēdekli Berlīnē. Pēc atbrīvošanas no amata pensijā (vienlaikus līdz 09.1940. Ārlietu ministrijas pārziņā).

H. Celmiņš bija Rīgas Lauksaimniecības centrālbiedrības žurnāla “Latvijas Lauksaimnieks” redaktors (08.1919.–06.1920.), Latvijas Augstskolas organizācijas komitejas loceklis un sekretārs (1919–1920), Centrālās zemes ierīcības komitejas priekšsēdētājs (10.1920.–06.1921.; 01.1925.–03.1925.), prezidija loceklis (06.1921.–02.1923.), priekšsēdētāja biedrs (02.1923.–11.1923.), komitejas loceklis (11.1923.–07.1924.), Latvijas Lauksaimniecības centrālbiedrības un tās kredītbiedrības valdes loceklis, Izpostīto apgabalu kongresa padomes valdes loceklis, Latviešu zemnieku savienības centrālās valdes loceklis, latviešu korporāciju Filistru biedrību savienības valdes loceklis. Darbojies Rīgas Latviešu biedrībā, Latvijas Sabiedriskajā klubā, Latvju-lietuvju vienībā, Latvju un dāņu biedrībā, Latviešu un britu biedrībā, Latvijas un Igaunijas biedrībā, Latviešu un poļu tuvināšanās biedrībā.

Padomju okupācijas laikā 1940. gada vasarā dzīvoja savā saimniecībā Taurenes pagasta Gundegās. 07.1940. t. s. Tautas saeimas vēlēšanās mēģināja kandidēt “Demokrātiskajā latviešu vēlētāju sarakstā”, ko okupācijas varas iestādes vēlēšanās nepielaida. 11.10.1940. Gundegās apcietināts un nākamajā dienā aizvests uz Rīgas Centrālcietumu. 1941. gada jūnija sākumā pārvests uz Ļefortovas cietumu Maskavā, kur 07.07.1941. H. Celmiņam tika piespriests nāvessods – nošaušana.

H. Celmiņš tieši piedalījās Agrārās reformas likuma sagatavošanā kā Satversmes sapulces Agrārlietu komisijas sekretārs un tās realizācijā kā zemkopības ministrs un zemkopības ministra biedrs, divas reizes bija valdības vadītājs, turklāt abas reizes uzņēmās amatu krīzes situācijā – 1924. gadā pēc Padomju Savienības sarīkotā valsts apvērsuma mēģinājuma Igaunijā, Latvijas valdībai sperot nozīmīgus soļus valsts aizsardzības spēju stiprināšanai, 1928. gadā – smagā saimnieciskajā situācijā pēc neražas un plūdiem, kam vēlāk pievienojās pasaules saimnieciskās krīzes sekas. Sakarā ar minēto krīzes situāciju, šīs valdības darbība bija visilgākā parlamentārisma posmā, un H. Celmiņš mēģināja stāvokli risināt, subsidējot lauksaimniecību, kas, no vienas puses, panāca zināmu stabilitāti, no otras – pasliktināja citu nozaru situāciju. Atrazdamies valdības vadītāja un ārlietu ministra amatā, sevišķi atbalstīja Baltijas valstu savstarpējo sadarbību, būdams Rīgas pilsētas galva, pārzināja vairāku šajā laikā īstenotu projektu realizāciju, ieskaitot Brīvības pieminekļa celtniecību. Parlamentārisma posmā veidoja opozīciju Kārlim Ulmanim Latviešu zemnieku savienības iekšienē (izpaudās arī kā K. Ulmaņa iniciēta H. Celmiņa valdības gāšana 1931. gadā), pēc autoritārā apvērsuma sarunās neslēpa negatīvo nostāju pret to, tādēļ bija spiests atkāpties no pilsētas galvas amata. H. Celmiņš ir viens no ievērojamākajem Latvijas parlamentārā posma politiķiem.

Par dienestu Krievijas armijā Pirmā pasaules kara laikā apbalvots ar Krievijas Svētā Staņislava ordeni (Императорский и Царский Орден Святого Станислава), III šķira, Svētās Annas ordeni (Императорский орден Святой Анны), III šķira; par kaujās ar Bermonta armiju 10.1919. demonstrēto varonību apbalvots ar Latvijas Lāčplēša Kara ordeni, III šķira, apbalvots ar Latvijas Triju Zvaigžņu ordeni, II, III šķira, Latvijas Sarkanā Krusta goda zīmi, I šķira, Latvijas Skautu centrālās organizācijas pateicības zīmi “Svastika”, Latvijas gaidu centrālās organizācijas pateicības zīmi, Ugunsdzēsēju savienības goda zīmi, I šķira, Beļģijas Leopolda II ordeni (Ordre de Léopold II), I šķira, Dienvidslāvijas Svētā Savas ordeni (Орден Светог Саве), I šķira, Francijas Goda Leģiona ordeni (Ordre national de la Légion d'honneur), II šķira, Igaunijas Ērgļa Krusta ordeni (Kotkarist), I šķira, Lietuvas Dižkunigaiša Ģedimina ordeni (Didžiojo Lietuvos kunigaikščio Gedimino ordinas), I šķira, Polijas Polonia Restituta ordeni, I šķira, Portugāles Militāro Kristus ordeni (Ordem Militar de Cristo), I šķira, Rumānijas Kroņa ordeni (Ordinul “Coroana României”), I šķira, Somijas Baltās Rozes ordeni (Suomen Valkoisen Ruusun ritarikunta), I šķira, Ungārijas Nopelnu ordeni (Magyarország érdemrendje), I šķira; Vācijas Olimpisko goda zīmi (Deutsches Sportabzeichen), Vatikāna Svētā Silvestra ordeni (itāļu Ordine pontificio di San Silvestro papa, latīņu Ordo Sancti Silvestri Papae), I šķira, Zviedrijas Vāsas ordeni (Kungliga Vasaorden), I šķira.

2017. gadā, sakarā ar H. Celmiņa 140 dzimšanas jubileju, Rīgas vēstures un kuģniecības muzejs izveidoja ceļojošu vēsturisku fotoizstādi “Hugo Celmiņš – Rīgas pilsētas galva, un ne tikai!”; H. Celmiņa dzimtas vēstures materiāli izmantoti Turaidas muzejrezervātā veidotajā izstādē “Ceļā uz Latvijas valsti – Klaušinieks. Saimnieks. Pilsonis”.