Dzimis čuguna lējēja Friča Bebra un mājsaimnieces Marijas Bebres (dzimusi Juraša) ģimenē Pirmā pasaules kara laikā, kad ģimene bija devusies bēgļu gaitās. Pēc ierašanās Latvijā, kopā ar vecāku ģimeni apmetās uz dzīvi Rīgā. J. Bebris bija astoņus gadus vecs, kad nomira viņa māte, palika tēva aprūpē un agri kļuva patstāvīgs. J. Bebris mācījās Rīgas pilsētas 23. pamatskolā. 20. gs. 30. gados strādāja Rīgas Biržas bankā. 1939.–1940. gadā dienēja Latvijas armijā.
Ar futbolu aizrāvās no bērnības; skolas gados spēlēja un trenējās laukumā pie Rīgas 23. pamatskolas Kronvalda bulvārī, Rīgā. 20. gs. 30. gadu sākumā piedalījās Jaunekļu kristīgās savienības (JKS) zēnu futbola turnīrā.
1933. gadā iestājās sporta biedrībā “Union”, kuras sporta laukums bija netālu no skolas. Sākumā J. Bebris bija Rīgas “Union” trešās komandas vārtsargs, taču drīzumā pakāpeniski izkonkurēja citus vārtsargus un kļuva par “Union” pirmās komandas pamatsastāva spēlētāju. Pēc trijām sezonām Rīgas “Union” futbola komandās (1933–1935) un pēc tam, kad “Union” zaudēja vietu Latvijas Virslīgā (valsts augstākā līmeņa futbola čempionātā), J. Bebris pārgāja uz komandu “Rīgas Vanderers” (“RV”; no 1938. gada nosaukums – “Rīgas Vilki”), kurā spēlēja no 1936. līdz 1940. gadam, līdz pat valsts okupācijai. Bija izteikts “RV” futbola komandas pamatvārtsargs; divas reizes “RV” sastāvā izcīnīja Latvijas kausu (1936, 1938). Laikraksta “Sporta Pasaule” veidotajā Latvijas futbola vārtsargu rangā 1937. un 1939. gadā J. Bebris ierindots 1. vietā un atzīts par Latvijas izcilāko futbola vārtsargu. Pārstāvēto futbola klubu sastāvā piedalījās arī starptautiskās spēlēs; kā komandas pastiprinājums iekļauts daudzkārtējās Latvijas čempionvienības “Rīgas Futbola Klubs” (“RFK”) sastāvā tās ārvalstu spēļu turnejās – 11.1935. Francijā un 12.1938.–01.1939. Maltā.
Latvijas futbola izlasē debitēja 18 gadu vecumā 21.08.1935. Tallinā, Baltijas kausa izcīņas spēlē pret Lietuvu (spēles rezultāts 2:2). 1937. gadā J. Bebris bija Latvijas izlases pamatvārtsargs Pasaules kausa priekšsacīkšu visās trijās spēlēs. Baltijas kausa ieguvējs izlases sastāvā (1937). J. Bebra sniegums ļāva nostiprināt viņa pozīcijas izlasē, kuras pamatvārtsargs viņš bija līdz pat valsts okupācijai. J. Bebris sargāja vārtus valstsvienības pēdējā spēlē (18.07.1940. Tallinā), kas faktiski norisinājās jau padomju okupācijas laikā. Kopumā Latvijas izlases sastāvā no 1935. līdz 1940. gadam J. Bebris aizvadīja 21 oficiālu valstu sacīksti.
Valsts turnīros hokeju sāka spēlēt Rīgas “Union” sastāvā, kurā aizvadīja divas sezonas (1933/1934, 1934/1935). “Union” komandā spēlēja tās izbraukumā 02.1935. Kauņā (Lietuvā). 1935. gadā pārgāja uz “Universitātes Sporta” (“US”) hokeja komandu, kuras sastāvā četras sezonas (1935/1936–1938/1939) aizvadīja Latvijas čempionātā un 1937. gadā kļuva par Latvijas hokeja meistaru jeb čempionu. J. Bebris ir piedalījies “US” starptautiskajās spēlēs; ar viņu tika pastiprināts “US-2” sastāvs 02.1938. izbraukumā uz Tērbatu (tagad Tartu, Igaunijā). Latvijas hokeja čempionātos J. Bebris bija viens no rezultatīvākajiem uzbrucējiem, saskaņā ar sporta izdevuma “Starts” statistiku 1936./1937. gada sezonā Latvijas oficiālo turnīru kopsummā J. Bebris bija labākais vārtu guvējs (13 vārti).
Latvijas hokeja izlases sastāvā oficiālās valstssacīkstēs debitēja 07.02.1936. ziemas olimpiskajās spēlēs Garmišā-Partenkirhenē spēlē pret Kanādu. J. Bebris bija Latvijas izlases uzbrucējs no 1936. līdz 1938. gadam; kopumā aizvadīja piecas oficiālas spēles, kurās vārtus guva divas reizes. J. Bebris ir spēlējis Rīgas hokeja izlases sastāvā t. s. pilsētu sacīkstēs (1936–1938), piedalījies Latvijas hokeja izlases spēlēs pret Latvijas komandām (1936, 1938) un startējis Latvijas otrajā izlasē (1937).
Kā viens no labākajiem Latvijas hokejistiem bija iekļauts Latvijas izlases sastāvā dalībai pasaules hokeja čempionātā 02.1938. Prāgā, taču nevarēja iegūt atbrīvojumu no darba mēnesi ilgai turnejai (J. Bebrim bija nepieciešami ilgstoši atbrīvojumi arī dalībai izbraukumos ar pārstāvētajām futbola komandām). Arī pirms 1939. gada pasaules hokeja čempionāta Šveicē bija Latvijas izlases kandidāts, taču par prioritāti izvēlējās futbolu.
J. Bebris bija arī rokasbumbas vārtsargs. Izcīnīja Latvijas rokasbumbas meistara jeb čempiona titulu Rīgas “Starta” vienības sastāvā (1937, 1938), piedalījās starptautiskās sacensībās rokasbumbā. J. Bebris spēlēja arī basketbolu, volejbolu; epizodiski arī bendiju “RV” sastāvā 1936./1937. gada sezonā.
Padomju okupācijas laikā spēlēja futbolu Latvijas Padomju Sociālistiskās Republikas (LPSR) futbola izlasē (1940) un RDKA (Рижский Дом Красной Армии, Sarkanās armijas Rīgas nams) komandā LPSR futbola čempionātā (1941). Ziemas sporta sezonā (1940/1941) J. Bebris startēja RDKA hokeja komandas sastāvā LPSR hokeja čempionātā un izbraukumā uz Kauņu, bet RDKA bendija komandas sastāvā – LPSR bendija sacensībās.
Nacistiskās okupācijas laikā futbolu spēlēja Rīgas vienībās “Bekona Eksports” (1941), atjaunotajās “RV” (1942–1943) un “US” (1944), kā arī – Rīgas futbola izlasē (1942). Par nopelniem futbolā 1942. gadā apbalvots ar LFS Lielo nozīmi (apbalvojuma nosaukumā joprojām bija norādīta tobrīd vairs nepastāvoša organizācija – Latvijas Futbola savienība); J. Bebris bija pirmais sportists, kurš saņēmis šādu apbalvojumu pēc valsts okupācijas. 1941./1942. gada ziemas sporta sezonā startēja atjaunotajā “US” pirmajā hokeja komandā, kuras sastāvā uzvarēja nacistiskās okupācijas laika Latvijas čempionātā (1942). Atjaunotās Rīgas “Starts” rokasbumbas komandas sastāvā 1943. gadā kļuva par okupācijas laika Latvijas čempionāta uzvarētāju rokasbumbā.
Nacistiskās okupācijas laikā strādāja par darbinieku pārzini gaļas pārstrādes uzņēmumā un par ugunsdzēsēju; 1944. gada beigās nonāca Vācijā. Pēc kara dzīvoja ASV okupācijas zonā Rietumvācijā, kur dienēja par sardžu vienību gaitnieku. 1948. gadā pārcēlās uz dzīvi Francijā, 1955. gadā apmetās Amerikas Savienotajās Valstīs (ASV), sākumā Gonikā, vēlāk Ročestrā (abas Ņūhempšīras pavalstī).
Futbolista gaitas turpināja arī pēc kara – Rietumvācijā Schwaben Augsburg (Augsburga; 1946–1947), Francijā RC Strasbourg (Strasbūra; Racing Club de Strasbourg; 1948–1950) un CEP Lorient (Lorjāna; Cercle d'Éducation Physique de Lorient; 1950–1955) komandās. CEP Lorient futbola komandā bija spēlējošais treneris. Spēlēja Vācijas ASV okupācijas zonas latviešu futbola izlasē (1946–1948) un trimdas latviešu futbola izlasē (1948). Epizodiski spēlēja arī hokeju; startēja no latviešiem komplektētas komandas jeb trimdas latviešu hokeja izlases starptautiskā turnīrā 12.1947. Garmišā-Partenkirhenē, Vācijā.
Francijā izglītojās futbola treneru kursos. Pēc pārcelšanās uz ASV, 20. gs. 50. gados, bija futbola un hokeja treneris. J. Bebris gāja bojā auto satiksmes negadījuma laikā.
No 1941. gada J. Bebris bija laulībā ar latviešu basketbolisti, volejbolisti un vieglatlēti Veltu Maigu Bebri (dzimusi Pērkone). Ar sportu aizrāvušies arī J. Bebra dēli – Ivars Bebris spēlēja futbolu, Pēteris Bebris (saukts – Pistol Pete) bija basketbolists.
Skolas gados Rīgas pilsētas 23. pamatskolas futbola vienībā un sākumā Rīgas “Union” rezervistu komandās J. Bebris spēlēja uzbrucēja pozīcijā, taču jau 1933. gadā pārkvalificējās par futbola vārtsargu. Turpmāk uzbrucēja pozīcijā spēlēja galvenokārt neoficiālās spēlēs ārpus pārstāvētajiem futbola klubiem.
20. gs. 30. gadu nogalē laikabiedri un sporta žurnālisti atzina viņu par labāko Latvijas futbola vārtsargu. Augstu vērtēts par izkoptu tehniku, fizisko sagatavotību, aukstasinīgu rīcību un koleģiālu attieksmi pret komandas biedriem, kā arī īpaši izcelts J. Bebrim piemītošais vārtsarga instinkts. Izcēlās ar elastīgām un ātrām kustībām, drosmīgu spēli un efektīgiem lēcieniem. Latvijas futbola speciālisti atzina J. Bebri par Eiropas līmeņa futbola vārtsargu.
20. gs. 30. gadu otrajā pusē J. Bebris bija viens no labākajiem Latvijas hokeja uzbrucējiem. Hokejā novērtēts par metienu precizitāti un rezultativitāti, par prasmi izmantot vārtu gūšanas iespējas un no komandas biedriem saņemtās piespēles pārvērst vārtu guvumos. Īpaši veiksmīga hokejā J. Bebrim bija 1936./1937. gada sezona, kad viņa pārstāvētā “US” komanda pirmo reizi kļuva par Latvijas čempionvienību, savukārt viņš bija labākais vārtu guvējs valsts hokeja turnīros un presē tika saukts par “vārtu karali”.
J. Bebra ampluā hokejā bija uzbrucējs, taču eksperimentālā kārtā komandas interesēs tika izmēģināts aizsarga postenī, tostarp Latvijas hokeja izlases pārbaudes spēlēs. Arī ar hokeja aizsarga pienākumiem tika galā labi.