Rīgas pilsētas 2. slimnīcas (tagad Paula Stradiņa Klīniskā universitātes slimnīca) pirmais direktors (1909–1915). Rīgas Praktizējošo ārstu biedrības (Gesellschaft Praktischer Aerzte zu Riga) prezidents (1905–1907, 1909–1911, 1920–1921). Viņa vārdā nosaukts Klemma–Klipela sindroms jeb Klemma stingumkrampji, kad tiek aprakstīta sejas nerva paralīze stingumkrampju gadījumā. 

P. Klemms piedzima Rīgā Karla Klemma (Karl Robert Peter Klemm) un viņa sievas Lauras Augustes, dzimušas Huzaderes (Laura Auguste Friederike Husader), ģimenē. Viņa tēvam un tēvocim Oto (Otto Johann Wilhelm Klemm) piederēja ārstnieciskās vingrošanas iestāde (Gymnastischen Heilanstalt) Rīgā. Arī brālēns Dr. med. Oto Klemms (Carl Friedrich Otto Klemm) bija ārsts Rīgā, kurš 07.1904. atvēra ķīmisko laboratoriju. Savukārt P. Klemma jaunākais brālis Karls (Karl August Alexander Klemm) bija ķīmiķis. 

P. Klemms mācījās Vidzemes guberņas ģimnāzijā. Studēja medicīnu Tērbatas Universitātē (tagad Tartu Universitāte, Tartu Ülikool; 1882–1888). Pēc ārsta grāda iegūšanas P. Klemms bija ķirurģijas klīnikas asistents (1888–1891) pie profesora Eduarda fon Vāla (Eduard Georg von Wahl). 1889. gadā ieguva medicīnas doktora grādu, aizstāvot disertāciju “Pētījumi par patoloģiski anatomiskām zarnas pārmaiņām iesprūdušas trūces gadījumā un to nozīme herniotomijā” (Studien über die pathologisch-anatomischen Veränderungen am Darm in Folge von Brucheinklemmung und ihre Bedeutung für die Herniotomie). No 1882. gada P. Klemms bija studentu korporācijas “Fraternitas Rigensis” biedrs. 

Pēc Dr. med. grāda iegūšanas P. Klemms 1892. gadā atgriezās Rīgā, strādāja par Rīgas pilsētas (1.) slimnīcas ķirurģijas nodaļu vadītāja Ādolfa fon Bergmaņa asistentu (1892–1895) un aktīvi publicēja savus klīniskos novērojumus Pēterburgas un Vācijas medicīnas žurnālos. No 1895. līdz 1897. gadam P. Klemms bija Rīgas Praktizējošo ārstu biedrības sekretārs. P. Klemms bija arī Augusta fon Hākena Sarkanā Krusta bērnu ambulances (Dr. Aug. v. Hakensche Kinder-Ambulanz) ordinators un ķirurgs, pēc Džeimsa Armitsteda Rīgas bērnu slimnīcas (tagad Bērnu klīniskā universitātes slimnīca) atklāšanas 02.10.1899. viņš strādāja par ķirurģiskās nodaļas virsārstu (1899–1909), vēlāk par jaunatklātās Rīgas pilsētas 2. slimnīcas ķirurģiskās nodaļas virsārstu un direktoru (1909–1917). Līdztekus no 02.1899. P. Klemms darbojās savā privātklīnikā ar 10 gultām (sākumā tā atradās Noliktavas ielā 1, vēlāk – Baznīcas ielā 13). 1905. gadā P. Klemmu atkārtoti ievēlēja par Rīgas Praktizējošo ārstu biedrības prezidentu. Sākoties Krievijas–Japānas karam, 02.1904. tika nolemts, ka Vidzemes sanitārās kolonnas lazareti ar 100 gultām vadīs P. Klemms, kurš šajā laikā bija Sarkanā Krusta Rīgas nodaļas vadītājs. P. Klemms kopā ar Reinholdu fon Zengbušu aktīvi uzņēmās lazaretes organizēšanu un žēlsirdīgo māsu apmācību. Vēlāk abi konsultēja ķirurģijas jautājumos Rīgas Sarkanā Krusta slimnīcas ambulancē.  Pirmā pasaules kara laikā viņš pārcēlās uz Petrogradu, kur strādāja kara hospitālī. Karam beidzoties, P. Klemms atgriezās Rīgā, kur 1921. gadā 59 gadu vecumā mira no pneimonijas. 

P. Klemms publicēja rakstus par iesprūdušām trūcēm, zarnas sieniņas izmaiņām iesprūdušas trūces gadījumā, peritiflītu, akūtu apendicītu, hronisku apendicītu, trūces īpatnībām bērnu vecumā, šautām brūcēm vēdera dobumā ar kuņģa un zarnu bojājumiem, tetānusu (stingumkrampjiem), šujamā materiāla aseptiku, ketguta ligatūru fistulām, primāru peritonītu un citus.

Jau 1899. gadā P. Klemms veica ne tikai vairākas peritiflīta drenāžas, bet arī apendektomijas, kā arī osteomielīta ārstēšanā izmantoja plašu paraosālas flegmonas un kaula atvēršanu ētera narkozē, tamponējot ar lizoformā samērcētiem tamponiem.

20. gs. sākumā P. Klemms bija Krievijas Impērijā iznākošā prestižākā medicīnas žurnāla vācu valodā (St. Petersburger Medizinishe Wochenschrift) līdzredaktors un publicēja vairākus pētījumus par aklās zarnas iekaisumu (Über Blinddarmentzündung, 1896).

Vairāki P. Klemma darbi medicīnā kļuvuši par hrestomātiskiem, piemēram, 1905. gadā par vienu no akūta apendicīta iemesliem, kas īpaši raksturīgs augošam bērnam, viņš atzinis limfaudu iekaisumu (Über die Erkrankung des lymphatischen Gewebes und ihr Verhältnis zur Appendicitis, 1906). Berlīnē izdota P. Klemma monogrāfija par osteomielītu bērniem (Die akute und chronische infektiöse Osteomyelitis des Kindesalters. Auf Grund Eigener Beobachtungen und Untersuchungen, 1914). 

Nav daudz Latvijas ārstu, kuru vārds sastopams medicīnas terminoloģijā (un viens no viņiem ir P. Klemms). Sejas nerva paralīzi stingumkrampju gadījumā sauc par Klemma–Klipela sindromu. Tā līdzautors ir franču ķirurgs Moriss Klipels (Maurice Klippel). P. Klemms bija pazīstams kā veiksmīgs neiroķirurģiska profila operāciju veicējs neirotraumatoloģijā un neiroonkoloģijā. 1902. gadā viņš aprakstīja rentgenoloģiski redzamu gāzu uzkrāšanos ilocekālā apvidū hroniska apendicīta gadījumā. 

Trīs gadus pēc P. Klemma nāves – 1924. gadā –, pieminot viņa klīnikas 25 gadu darbību, draugi un bijušie pacienti nolēma klīnikas dibinātājam viņa atdusas vietā Lielajos kapos uzstādīt pieminekli. P. Klemma kapavieta mūsdienās nav vairs redzama. P. Klemma atraitne un vecākais dēls Joahims (Joachim Karl Paul Klemm), kā arī brālis un citi radi 1939. gada beigās izceļoja uz Vāciju.

P. Klemms saņēma Krievijas III šķiras Svētās Annas ordeni (1905).