Teorijas un principi Klasisko ekstensionālo mereoloģiju formulē, izmantojot klasisko loģiku. Vispirms izvēlas primitīvu (nedefinējamu) nojēgumu, kam noteic aksiomas. Parasti sāk ar daļas attiecību, kurai ir trīs pamata aksiomas:
- Refleksivitāte: ikviena lieta ir pati sevis daļa;
- Antisimetrija: lietas, kas ir daļas viena otrai, ir identiskas;
- Transitivitāte: kādas lietas daļas daļa ir šīs lietas daļa.
Refleksivitāte parāda, ka daļas attiecības robežgadījums ir identitāte, kas ir neīsta daļas attiecība. Antisimetrija izslēdz iespēju, ka divas atšķirīgas lietas varētu būt viena otrai daļas. Citiem vārdiem, ja lietas nav identiskas, tad tās nevar abpusēji aptvert viena otru. Piemēram, tā kā pirksts nav tas pats, kas roka, tad pirksts ir rokas daļa, bet roka nav pirksta daļa. Transitivitāte raksturo pāreju no kaut kā, kas ir daļa no daļas, pie veseluma. Piemēram, pirksts ir ķermeņa daļa, jo pirksts ir rokas daļa un roka ir ķermeņa daļa.
Balstoties daļas attiecībā un pamata aksiomās, definē citus nojēgumus. Intuitīvo priekšstatu, ka daļa ir mazāka par veselumu, izsaka “īstas daļas” definīcija.
Īsta daļa: viena lieta ir otras lietas īsta daļa tad un tikai tad, ja tā ir otras lietas daļa un nav identiska ar šo lietu.
Īstai daļai ir jābūt atšķirīgai no lietas, kuras daļa tā ir. Īstas daļas attiecība ir irefleksīva, asimetriska un transitīva. Irefleksivitāte nozīmē, ka nekas nav pats sevis īsta daļa. Asimetrija (nejaukt ar antisimetriju) izslēdz simetriju jeb savstarpēju līdzdalību. Proti, ja viena lieta ir otras lietas īsta daļa, tad šī otrā lieta nav īsta daļa no pirmās.
Noderīgi jēdzieni ir lietu pārklāšanās (kādas daļas kopīgums) un nošķirtība (kopīgas daļas trūkums). Pārklāšanās ir refleksīva un simetriska, bet nav transitīva attiecība. Piemēram, ceļš var krustoties ar ceļiem, kas savā starpā nekrustojas. Nošķirtība ir pārklāšanās noliegums.
Tālāk noteic papildinājuma principus, kas nodrošina veseluma sadalījumu īstās daļās. Tiem ir atšķirīgas stingrības pakāpes. Klasiskās ekstensionālās mereoloģijas izpratni par īstu daļu labi raksturo atlikuma princips, ko formulējuši Ārons Kotnuārs (Aaron Cotnoir) un Akille Varzi (Achille Varzi) savā traktātā par mereoloģiju (Mereology, 2021, 2.1.2):
Atlikums: ja viena lieta nav otras lietas daļa, tad pastāv atlikums, kas aptver tikai tās visas daļas no pirmās lietas, kuras ir nošķirtas no otrās lietas.
Atlikums ir tas, kas paliek pāri, kad kaut kas ir atņemts. Pieņemsim, ka a nav daļa no b. Tas paredz trīs iespējas: a ir veselums, kam b īsta daļa; a un b pārklājas; a un b ir nošķirti. Visos šajos gadījumos, atņemot b, kaut kas paliek pāri no a. Atlikuma princips izslēdz situāciju, kur lietai ir tikai viena vienīga īsta daļa. No atlikuma principa izriet būtiska tēze:
Ekstensionalitāte: lietas ar vienām un tām pašām īstām daļām ir identiskas.
Tas nozīmē, ka dažādiem veselumiem nevar būt identiskas sastāvdaļas. Līdz ar to būtu jāatzīst, ka, piemēram, dēļu kaudze ir identiska ar laivu, kas izveidota no tiem pašiem dēļiem, proti, veselums neatšķiras no kaudzes. Šāds secinājums ir pretrunā ar acīmredzamo: laiva nevar būt tas pats, kas dēļu kaudze, jo laivai un dēļu kaudzei ir atšķirīgas īpašības. Ja laiva nav dēļu kaudze, bet ekstensionalitāte ir spēkā, tad jāsecina, ka laivai ir vēl kāda daļa, kas to nošķir no kaudzes. Varētu gadīties, ka bez dēļiem vairs nav nekādu citu materiālu sastāvdaļu. Vienīgais risinājums tad būtu sacīt, ka daļu sakārtojums ir vēl viena daļa. Taču varētu jautāt, vai bez sastāvdaļām un sakārtojuma nav vajadzīgs papildu moments, kas sastāvdaļām piešķir sakārtojumu, un tā līdz bezgalībai.
Lai izvairītos no šādām grūtībām, vajag teoriju, kas neietver ekstensionalitāti. Viens priekšlikums ir atteikties no atlikuma principa. Tomēr nevar iztikt tikai ar pamata aksiomām, jo tās ir pārāk visaptverošas (tās neizslēdz tādu attiecību kā “x ir mazāks par y”). Līdz ar to jāatrod princips, kas ir pietiekami stingrs, lai nostiprinātu īstas daļas nojēgumu, bet reizē pietiekami vājš, lai sistēma nekļūtu ekstensionāla. Pīters Saimonss (Peter Simons) savā fundamentālajā darbā “Daļas: pētījums ontoloģijā” (Parts: a Study in Ontology, 1987, SA3) izšķiras par vājā papildinājuma (weak supplementation) principu.
Vājā papildinājuma princips: lietai, kurai ir viena īsta daļa, ir arī otra īsta daļa, kas ir nošķirta no pirmās.
Tas pieļauj situāciju, kur divi atšķirīgi veselumi sastāv no vienām un tām pašām īstām daļām. Tātad var atzīt, ka laiva nav dēļu kaudze, lai gan dēļi ir vieni un tie paši. Tādējādi var teikt, ka veselums ir “vairāk” nekā tā daļas, kamēr vien tam ir vismaz divas īstas daļas.
Vājā papildinājuma princips nav pieņemams tiem, kuri uzskata, ka lietai var būt tikai viena vienīga īsta daļa. Piemēram, slieksni veido viens dēlis, bet nav nekā cita, kas ir nošķirts no dēļa. Ja atzīst, ka dēlis ir sliekšņa īsta daļa, tad iznāk, ka īstas daļas nojēgums neparedz atlikumu vai papildinājumu. Var argumentēt, ka “īstas daļas” jēdzienam pietiek ar priekšstatu, ka īsta daļa ir mazāka nekā veselums. Tādējādi viena vienīga lieta var veidot veselumu, kas nav ar to identisks.
Mereoloģijas sistēmu var izstrādāt arī citādi: nevis meklēt atbilstošu īstas daļas principu, bet formulēt kompozīcijas nosacījumus – kad no lietām izveidojas veselums. Jautājums par kompozīciju ir saistošs tikai tiem, kuri atzīst, ka kompozīcija vispār notiek. Kompozīciju izslēdz nihilisti, kuri uzskata, ka nekam nav īstu daļu, t. i., ikviena lieta ir mereoloģisks atoms.
Klasiskā ekstensionālā mereoloģija neierobežo kompozīciju. Ja ir kādas lietas, tās var summēt jeb sapludināt vienā veselumā. To izsaka šī aksioma:
Neierobežotā saplūsme: ja pastāv kaut kas, kas izpilda noteiktu formulu, tad ir saplūsme no visa, kas izpilda šo formulu.
Piemēram, ja ir kāds suns, tad ir visu suņu saplūsme. Šīs saplūsmes daļas ir tikai un vienīgi suņi. Formula var būt arī apgalvojums, ka kaut kas eksistē. Tādā gadījumā saplūsme aptver pilnīgi visu, kas eksistē. No saplūsmes nojēguma var definēt summu. Summa ir divu lietu saplūsme. Summa a + b ir mazākā lieta, kas sastāv no a un b.
Neierobežotā saplūsme noved pie mereoloģiskā universālisma – jebkurš objektu kopums vienmēr veido kādu veselumu; tātad var pastāvēt arī patvaļīgi vai izkaisīti objekti. To atzīst, piemēram, N. Gudmens darbā “Parādību struktūra” (The Structure of Appearance, 1977, II 4): “ja Arktiskā jūra un smilšu puteklis Sahārā ir īpatņi, tad arī to summa ir īpatnis”. Mereoloģiskais universālisms paredz, ka nav nekādas atšķirības starp patvaļīgām summām un īstiem veselumiem. Ja tomēr atšķirība pastāv, tad ir jāievieš kompozīcijas ierobežojumi.
Lielākoties ierobežojumi tiek noteikti saistībā ar specifisku priekšmetjomu un tādēļ nav pietiekami iekļaujoši. Vispārējuma trūkums varētu liecināt par to, ka dažādiem objektiem ir atšķirīgi kompozīcijas nosacījumi. Tomēr var izšķirt vairākus aspektus, kas jāņem vērā, ierobežojot nesummāru veselumu kompozīciju. Pirmkārt, daļu kārtība var mainīt veseluma identitāti, piemēram, ab un ba atšķiras daļu secības dēļ. Otrkārt, kompozīcijai var būt vairāki līmeņi, kur katrs līmenis ir dalāms atšķirīgās daļās, līdz ar to transitivitāte var nebūt spēkā. Piemēram, armija ir karavīru, nevis cilvēka šūnu kopums. Treškārt, veselums nevar vairākkārt iekļaut vienu un to pašu lietu kā īstu daļu. Piemēram, krēslam ir četras kājas, taču katra kāja ir krēsla daļa tikai vienreiz (nevis viena kāja ir krēsla daļa četrreiz).
Rēķinoties ar minētajiem aspektiem, Kits Fains (Kit Fine) rakstā “Ceļā uz teoriju par daļu” (Towards a Theory of Part, 2010) par pamatjēdzienu izvēlas kompozīcijas operāciju, ko var tālāk ierobežot dažādos veidos. Ja var izveidot veselumu no kāda objekta x, vienreiz vai vairākkārt lietojot kompozīcijas operāciju, tad x ir veseluma daļa. Lai nodrošinātu, ka daļas attiecība ir antisimetriska, K. Fains pieņem anticikliskuma (anticyclicity) principu.
Anticikliskums: ja objekts x ir kompozīcija, kas ietver kompozīciju no x, tad x ir kompozīcija no x.
Anticikliskums izslēdz cirkulāru kompozīciju, kur x sastāv no cita objekta y, bet y atkal sastāv no x. Tas garantē daļu antisimetriju, t. i., divi atšķirīgi objekti nevar viens otru veidot. Tālāk K. Fains formulē papildu principus, kas var attiekties uz kompozīcijas operāciju, ja vien šo principu kombinācija nav pretrunā ar anticikliskumu. Izejot no izvēlētajiem principiem, var definēt atšķirīgas kompozīcijas operācijas. Šāda kompozīcijas daudzveidība jeb plurālisms ļauj raksturot gan summas, gan dažādus nesummārus salikumus.
Apskatītās teorijas un principi ir tikai neliels nogabals no plašā daļas un veseluma attiecību lauka. Mereoloģijas teorijas var paplašināt, pielāgot vai pārradīt, pievēršoties dažādiem metafizikas jautājumiem, piemēram, objektu pārmaiņām laika gaitā, modālām īpašībām (iespējamībai un nepieciešamībai), nenoteiktībai, pasaules attiecībām ar valodu, jēdzienu attiecībām utt. Tāpat teorētiķi diskutē par mereoloģijas attiecībām ar loģiku. Ja klasiskās loģikas principi neļauj formulēt vēlamo teoriju, var lietot neklasiskās loģikas sistēmas.