Dzimis saimnieka ģimenē. Mācījies Trikātas pagasta un draudzes skolā. Nokārtojis savvaļnieka pārbaudījumu Pleskavas kadetu korpusā. 1900. gadā R. Dambītis iestājās Viļņas kājnieku junkurskolā (beidzis 1902. gadā). 1912. gadā iestājās Intendantūras akadēmijā (07.1914. akadēmijas darbība apturēta sakarā ar kara sākšanos, beidzis divus kursus).

1899. gadā R. Dambītis iestājās karadienestā Krievijas armijas 109. kājnieku pulkā Kauņā, no 1902. gada virsnieks 106. kājnieku pulkā Viļņā. Podporučiks (no 1902. gada), poručiks (no 1906. gada), štābkapteinis (1910. no gada), kapteinis (no 1915. gada), apakšpulkvedis (no 08.1917.). No 1904. gada rotas komandieris, no 1908. gada 27. divīzijas divīzijas štāba vecākais adjutants saimniecības jautājumos Viļņā, no 1911. gada – 27. divīzijas Intendanta pārvaldē. Sākoties Pirmajam pasaules karam 09.1914. R. Dambītis no Intendantūras akadēmijas tika komandēts Ziemeļrietumu frontes armiju intendanta rīcībā, 27. divīzijas vezumu pārziņa vietas izpildītājs. 09.1916. pārcelts uz Rietumu frontes Intendantūru, bet 10.1916. iecelts par 2. latviešu strēlnieku brigādes intendantu Ziemeļu frontē (Ziemassvētku kauju laikā R. Dambītis bija uz laiku apvienotās latviešu strēlnieku divīzijas intendants). 1917. gada vasarā iesaistījās Latvju kareivju nacionālās savienības darbībā.

01.1918. atstāja dienestu, dzīvoja Petrogradā. No 03.1918. Padomju Krievijas Finanšu likumdošanas pārvaldes (bijušā Kara ministrijas kanceleja) darbvedis (līdz 08.1918.). 07.1918. Latviešu Pagaidu nacionālās padomes uzdevumā uzsāka latviešu virsnieku nosūtīšanu uz Latviju. Rudenī atgriezās pats, Latvju Kareivju nacionālās savienības priekšsēdētājs Rīgā, vadīja pirmo bruņoto vienību dalībnieku reģistrāciju.

18.11.1918. R. Dambītis Rīgā nodeva sevis vadītās organizācijas organizētos karavīrus Latvijas Tautas padomes rīcībā. 22.11.1918. iecelts par Latvijas Pagaidu valdības apsardzības ministra biedru (amatā līdz 12.01.1919.) un Apsardzības ministrijas pārvaldītāju (amatā līdz 06.12.1918.); no 06.12.1918. arī ministrijas Apgādības daļas priekšnieks (pulkvedis-leitnants). Pēc vienotas Latvijas armijas izveides no 08.1919. Liepājas rajona karaspēka saimniecības pārvaldes (vēlākie nosaukumi – Lejaskurzemes kara apgabala apgādības pārvalde, no 12.1919. – Liepājas kara apgabala apgādības pārvalde) priekšnieks.

Kauju laikā ar Pāvela Bermonta (krievu Павел Рафаилович Бермондт-Aвалов, vācu Pavel Bermondt-Avalov) spēkiem no 08.10.1919. Rīgā organizēja Dienvidu frontes rezervi no aizmugures iestāžu personālsastāva, 13.–20.10.1919. piedalījās kaujas darbībā Rīgā kā šīs rezerves komandieris, 28.10.–27.11.1919. piedalījies kaujas darbībā Liepājā. Pulkvedis (no 04.1920.), ģenerālis (no 1935. gada). Armijas saimniecības pārvaldes (vēlākās Kara saimniecības pārvalde) priekšnieks (no 04.06.1920.), Apsardzības ministrijas (vēlākās Kara ministrijas) Padomes loceklis (no 1921. gada). 1924. gadā R. Dambītis tika atcelts no amata un piekomandēts Galvenajam štābam. Galvenās intendantūras pārvaldes Mobilizācijas daļas priekšnieka vietas izpildītājs (1929–1930), vēlāk vecākā inženiera vietas izpildītājs, Mobilizācijas daļas priekšnieks (no 1931. gada). Apgādes pārvaldes Intendantūras daļas priekšnieks (no 1933. gada). Armijas štāba priekšnieka otrais palīgs (no 07.1935.). R. Dambītis tika atvaļināts 08.06.1939. sakarā ar maksimālā vecuma sasniegšanu. Darbojās sabiedriskajā dzīvē, bija Lāčplēša Kara ordeņa kavalieru biedrības priekšsēdētāja biedrs.

Pēc padomju okupācijas R. Dambītis bija Latvijas Tautas valdības kara ministrs (18.06.–27.09.1940.). Saskaņā ar tuvinieku liecībām, līdzīgi Kārlim Ulmanim viņš cerēja, ka sadarbojoties ar Padomju Savienību izdosies saglabāt neatkarību, uz laiku zaudējot daļu suverenitātes. Latvijas PSR Augstākās Padomes deputāts (no 08.1940.), Latvijas armijas Likvidācijas komisijas priekšsēdētājs (09.1940.–01.1941.), Augstākās Padomes Prezidija loceklis (no 01.1941.), Latvijas Valsts universitātes docents.

07.1941. pēc nacistiskās Vācijas okupācijas R. Dambītis palika Latvijā, tika arestēts un ieslodzīts Rīgas Centrālcietumā, vēlāk – Gestapo (Geheime Staatspolizei, Vācijas Valsts slepenpolicija) cietumā Berlīnē un Zaksenhauzenas koncentrācijas nometnē (Konzentrationslager Sachsenhausen). Pēc Otrā pasaules kara R. Dambītis atgriezās Latvijā. Bija kolhoza priekšsēdētājs Trikātas pagastā (vēlākajā ciema padomē), dzīvoja savās lauku mājās Klapčos; no 1948. gada pensionārs.

1917.–1918. gadā, darbojoties Latvju Kareivju nacionālās savienības vadībā, R. Dambītis veica sagatavošanas darbu nacionāli noskaņotu karavīru apzināšanā un apvienošanā, liekot pamatu Latvijas bruņotajiem spēkiem. Faktiski bija pirmais Pagaidu valdības Apsardzības ministrijas vadītājs, uzsākot bruņoto vienību izveidošanu. Starpkaru periodā darbojās Latvijas armijas saimniecības nozares vadībā, tādējādi nodrošinot šīs bruņoto spēku kaujas gatavībai būtiskās jomas sekmīgu darbību un modernizēšanu. Pēc valsts okupācijas atsaucās uzaicinājumam un iekļāvās Padomju Savienības diplomātiskās pārstāvniecības izveidotajā t. s. tautas valdībā, cerot, ka šādi sadarbojoties, izdosies saglabāt ierobežotu valsts patstāvību, kas arī tika solīts. Pēc pilnīgas neatkarības iznīcināšanas R. Dambītis bija spiests turpināt sadarbību, kaut arī, saskaņā ar laikabiedru liecībām, to smagi pārdzīvoja.

Par dalību Pirmajā pasaules karā R. Dambītis apbalvots ar Krievijas Svētā Staņislava ordeni (poļu Order Świętego Stanisława, krievu Императорский и Царский Орден Святого Станислава), III šķira, Svētās Annas ordeni (Императорский орден Святой Анны), III šķira, II šķira ar šķēpiem, Svētā Vladimira ordeni (Oрден Святого Равноапостольного Князя Владимира), IV šķira (automātiski – piederība dzimtsmuižniecības kārtai). Par kaujās ar Bermonta spēkiem 13.10.1919. parādīto varonību apbalvots ar Latvijas Lāčplēša Kara ordeni, III šķira, Triju Zvaigžņu ordeni, II, III šķira, Aizsargu Nopelnu krustu, Polijas Polonia Restituta ordeni, III šķira.