Dzimis zvērināta advokāta Nikolaja Gravas un skolotājas Matildes (dzimusi Sūnaite) ģimenē. 1944. gadā kopā ar vecākiem un brāli devās bēgļu gaitās uz Vāciju. 1950. gadā ģimene izceļoja no Vācijas Demokrātiskās Republikas (VDR) uz dzīvi Amerikas Savienotajās Valstīs (ASV), Ņujorkas apkārtnē.

Pamatizglītību U. Grava ieguva latviešu bēgļu skolā Grēvenes pārvietoto personu nometnē Vācijā. ASV mācījās ģimnāzijā Erasmus Hall high School Ņujorkā. Ieguva bakalaura grādu ekonomikā Kolumbijas Universitātē (Columbia University) Ņujorkā.

Bija precējies ar žurnālisti Sarmīti Gravu (dzimusi Juberte). Ģimenē ir trīs bērni – Roberts Latvis, Grants Līvs un Dauma Kursa, kuri beiguši Kolumbijas Universitāti.

U. Gravas profesionālā darbība bija saistīta ar žurnālistiku un plašsaziņas līdzekļu mārketinga jautājumiem. Pēc universitātes beigšanas bija statistiķis un ekonomikas analītiķis U.S. Economics Corporation Ņujorkā (1959–1960).

1962. gadā U. Grava uzsāka darbu ASV laikrakstu apvienībā Bureau of Advertising (vēlāk kļuva par Newspaper Advertising Bureau, tad par Amerikas laikrakstu apvienību Newspaper Association of America) statistikas datu pārziņa amatā. Šajā organizācijā U. Grava nostrādāja vairāk nekā 30 gadus dažādos amatos: mārketinga menedžeris, mārketinga direktors un visbeidzot mārketinga plānošanas viceprezidents. U. Gravam piederēja Hanterdonas apgabala (Ņūdžersijas pavalsts) vietējais laikraksts West Morris Star Journal (1976–1980).

1992. gadā U. Grava uzsāka darbu radio “Brīvā Eiropa/Radio Brīvība” par Latviešu redakcijas direktoru un atbildīgo redaktoru (līdz 2002. gadam), vēlāk kļūstot arī par šīs raidorganizācijas mārketinga un attīstības direktoru. Bija Latvijas Televīzijas ģenerāldirektors (2002–2004).

U. Grava aktīvi iesaistījās latviešu trimdas sabiedriskajā darbībā un ieņēma vadošus amatus visās lielākajās ASV latviešu trimdas organizācijās. 1960. gadā U. Grava bija pirmais Amerikas latviešu apvienības (ALA) stipendiāts un gadu pavadīja darbā ALA birojā Vašingtonā. Vēlāk U. Grava bija vadošos amatos dažādās trimdas organizācijās: Amerikas latviešu jaunatnes apvienības priekšsēdētājs (1962); ALA valdes loceklis (1962–1970); ALA priekšsēdētājs (1970–1972); Pasaules Brīvo latviešu apvienības (PBLA) priekšsēdētājs (1970–1975); PBLA Kultūras fonda pirmais priekšsēdētājs (1972); Pasaules Baltiešu apvienības (PBA) priekšsēdētājs (1975); Latvijas Brīvības fonda (LBF) pārvaldes priekšsēdētājs (1990–1993). No 1956. gada U. Grava bija studentu korporācijas “Lettonia” biedrs.

U. Grava iesaistījās politikā pēc atgriešanās uz dzīvi Latvijā 2002. gadā. Bija partijas “Jaunais laiks” ģenerālsekretārs (2004–2005). Kā vienīgais no šīs partijas 2005. gadā ievēlēts Liepājas pilsētas domē. 9. Saeimas deputāts (2006–2010).

Nozīmīgākā U. Gravas darbība saistīta ar viņa sabiedrisko darbu latviešu trimdas organizācijās. Darbojoties trimdas organizāciju vadībā, U. Grava ieviesa to darbībā jaunas, modernākas un efektīvākas darbības metodes, uzlaboja organizāciju iekšējo uzbūvi un funkcionēšanu un veiksmīgi rūpējās par finansējuma piesaisti to darbības nodrošināšanai.

PBLA priekšsēdētāja amatā U. Grava aktivizēja vienlaikus vairākus aktuālus PBLA darbības virzienus, kuri tika pārspriesti PBLA valdes sēdē 13.–17.11.1972. Katskiļos (Ņujorkas pavalstī): jautājums par radioraidījumiem uz Latviju; darbības plāns aktīvai rīcībai Eiropas drošības un sadarbības apspriedē (EDSA) Helsinkos; PBLA Kultūras fonda dibināšana; sadarbība ar Latvijas Republikas (LR) diplomātiem dažādās valstīs; informācijas par notiekošo Latvijā apkopošana un analīze; PBLA turpmākās darbības plāna izstrādāšana; Pasaules Baltiešu apvienības dibināšana. Sēdē arī tika apstiprināta PBLA informācijas biroja darbība Stokholmā, kas bija izveidots jau maijā. Plašais jautājumu loks raksturo vērienu un aktivitāti, ar kādu U. Grava pievērsās PBLA darbībai.

U. Grava pievērsa lielu uzmanību arī PBLA valdes locekļu darbības aktivizēšanai un ciešākai iesaistīšanai kopējā darbā, t. sk. sanākot uz kopīgām sēdēm. 1972. gada sēde Katskiļos bija pirmā PBLA valdes sēde kopš tās dibināšanas, kad klātienē sanāca kopā visi 14 valdes locekļi, kā arī plašs viesu un klausītāju loks. Lielā mērā tieši ar U. Gravas stāšanos PBLA priekšsēdētāja amatā un vispārēju PBLA darba aktivizēšanu, šī organizācija arī no reālās darbības viedokļa ieņēma to centrālo un vadošo vietu trimdas organizāciju starpā, kādu tai paredzēja tās statuss.

U. Gravas nozīmīgākais devums trimdas centieniem veicināt Latvijas neatkarības atjaunošanu saistāms ar aktivitātēm EDSA konferences Helsinkos laikā. Izprotot potenciālo apdraudējumu Baltijas valstu brīvības centieniem, kādu radīja Helsinku Nobeiguma aktā iekļautais punkts par Eiropā pastāvošo robežu atzīšanu, U. Grava neatlaidīgi organizēja baltiešu trimdas organizāciju protestus pret šī punkta iekļaušanu aktā. Kā Pasaules Baltiešu apvienības delegāciju vadītājs U. Grava Helsinku konferences laikā (1973. un 1975. gadā) personīgi piedalījās politiskā lobija darbā Helsinkos. Trimdā zināmā mērā leģendāra kļuvusi U. Gravas konfrontācija ar Padomju Sociālistisko Republiku Savienības (PSRS) ārlietu ministru Andreju Gromiko (Андрей Андрeевич Громыко). Kā akreditēts preses pārstāvis U. Grava 1973. gadā Helsinkos bija ielūgts uz VDR vēstniecības rīkotu pieņemšanu un tās laikā uzrunāja A. Gromiko, sakot, ka baltieši nekad nav atteikušies no savas brīvības. PSRS iesniedza oficiālu protestu Somijas valdībai, un baltiešu grupa tika uz vienu nakti apcietināta, kas pievērsa šim notikumam ievērojamu mediju interesi.

Viens no U. Gravas darbības virzieniem trimdas sabiedriskajā dzīvē bija arī dažādām politiskām akcijām nepieciešamā finansējuma piesaistīšana. U. Grava veicināja trimdas tautiešu aktīvāku iesaistīšanos LBF un fonda pieejamā kapitāla pieaugumu. 1993. gadā fonds aizsāka Latvijas reģionu attīstībai nozīmīgo aizdevumu programmu Latvijas pilsētu, rajonu un pagastu pašvaldībām iedzīvotāju labklājības celšanai, izglītības veicināšanai vai medicīnas sistēmas uzlabošanai un attīstībai.

U. Gravas aktīvā rīcība un jaunie darbības paņēmieni trimdas organizāciju vadībā kopumā 20. gs. 70. gados aktivizēja trimdas politisko darbību un iezīmēja šīs darbības pāriešanu trimdas “jaunās paaudzes” – no Latvijas bērnu vecumā izceļojušo un trimdā izglītību ieguvušo vai pat trimdā dzimušo latviešu – rokās. Politiskā lobija pasākumi U. Gravas vadībā EDSA procesa kontekstā nostiprināja ASV un Rietumvalstu īstenoto Baltijas valstu inkorporācijas PSRS neatzīšanas politiku.

Kā PBLA dibināšanas iniciatoram U. Gravam bija liela nozīme latviešu, lietuviešu un igauņu trimdas organizāciju politiskās darbības koordinēšanā un saskaņošanā, nodrošinot efektīvāku Baltijas valstu jautājuma politisko lobiju EDSA procesā un arī vēlāk.

U. Grava apbalvots ar Triju Zvaigžņu ordeņa IV šķiru (1995), saņēmis PBLA balvu (2005), Daugavas Vanagu nozīmi zeltā (1974), Apspiesto nāciju komitejas prezidenta Eizenhauera medaļa (Captive Nations medal, 1971).