No 1907. gada mācījās Rīgas pilsētas klasiskajā ģimnāzijā. Pirmā pasaules kara laikā devās bēgļu gaitās Krievijā; 1915. gadā pārcēlās uz dzīvi Jaroslavļā, kur 1915.–1918. gadā mācījās Ščegoļeva ģimnāzijā. No 1918. gada studēja tieslietas Petrogradas universitātē (tag. Sanktpēterburgā).

1922. gadā atgriezās Latvijā. 1922.–1936. gadā (ar pārtraukumiem) studēja Latvijas Universitātes (LU) Tautsaimniecības un tiesību zinātņu fakultātes Tiesību zinātņu nodaļā. Līdztekus studijām strādāja savas mātes uzņēmumā. Bija LU Studentu padomes priekšsēdētājs. Studentu korporācijas “Fraternitas Lettica” biedrs.

1936. gadā studijas veiksmīgi pabeidza un tika iecelts par Rīgas apgabaltiesas notāru Smiltenē. Darbojās Latvijas Aizsargu organizācijā (LAO); bija Smiltenes nodaļas priekšnieks. Padomju okupācijas laikā, 1940. gada decembrī, “sakarā ar notariālo orgānu reorganizāciju” atbrīvots no notāra amata Smiltenē. Nacistiskās okupācijas laikā strādāja par notāru Rīgā (1942.–1944. gadā) un Liepājā (1944.–1945. gadā).

Otrā pasaules kara beigās, 1945. gadā, devās bēgļu gaitās. Pēc kara mitinājās Brēgencā, Austrijā. 1950. gadā izceļoja uz Kanādu; apmetās uz dzīvi Koulsonā, kur nodarbojās ar lauksaimniecību. Bija aktīvs latviešu sabiedriskais darbinieks trimdā, dažādos amatos darbojās Latviešu nacionālajā apvienībā Kanādā (LNAK).

R. Plūme bija daudzpusīgs sportists un aktīvs dažādu sacensību dalībnieks līdz pat 20. gs. 30. gadiem. Sportista gaitas sāka jau pirms Pirmā pasaules kara sporta biedrībā “Marss”, kuras līdzdibinātājs un priekšnieks bija viņa tēvs Jānis Plūme. Sporta biedrību “Marss” R. Plūme pārstāvēja riteņbraukšanas sacīkstēs 1912. gadā. “Marss” riteņbraucēju komandas sastāvā R. Plūme izcīnīja 1. vietu Otrajās Viskrievijas olimpiskajās sacīkstēs (olimpiādē) Rīgā 1914. gadā. Pirmā pasaules kara laikā piedalījās dažādās riteņbraukšanas sacīkstēs Krievijā, t. sk. izcīnīja Krievijas čempiona titulu. Pēc atgriešanās Rīgā kļuva par Latvijas čempionu treka riteņbraukšanā. Kā riteņbraucējs pārstāvēja Latviju starptautiskajās sacīkstēs, t. sk. divās vasaras olimpiskajās spēlēs – 1924. gadā Parīzē un 1928. gadā Amsterdamā.

Pirmā pasaules kara laikā ar panākumiem piedalījās slēpošanas sacensībās Krievijā. 1923. gadā kļuva par Latvijas čempionu slēpošanā dažādās distancēs. Kā slēpotājs pārstāvēja Latviju ziemas olimpiskajās spēlēs 1924. gadā Šamonī, Francijā; toreiz kopā ar Albertu Rumbu bija pirmie sportisti, kuri pārstāvēja Latviju kā valsti olimpiskajās spēlēs. R. Plūme ir viens no retajiem Latvijas sportistiem, kas startējis gan ziemas, gan vasaras olimpiskajās spēlēs.

Ar panākumiem piedalījās boksa sacensībās gan Krievijā, gan Latvijā, tostarp kļuva par Latvijas boksa čempionu vidējā svarā (1922. gadā) un pussmagajā svarā (1923. gadā).

Izmēģināja spēkus arī citos sporta veidos, t. sk. dažādās vieglatlētikas disciplīnās, airēšanā, peldēšanā, futbolā, basketbolā, ūdenspolo. Veiksmīgi startēja desmitcīņas sacīkstēs un modernās pieccīņas sacensībās. 1922. gadā kļuva par Latvijas čempionu trīssoļlēkšanā. Jekaterinburgas komandas sastāvā piedalījās futbola sacīkstēs Krievijā. Spēlēja sporta biedrības “Marss” basketbola vienībā. Jau Krievijā piedalījās ūdenspolo sacensībās un vēl 30. gadu sākumā startēja “Universitātes sporta” ūdenspolo komandā.

Par sasniegumiem sportā saņēmis vairākus apbalvojumus, t. sk. Latvijas valsts prezidenta Alberta Kvieša balvu 30. gadu sākumā.

Būdams sportists, R. Plūme aktīvi iesaistījās latviešu sporta organizēšanas darbā. 1917. gadā Jaroslavļā piedalījās sporta un izglītības biedrības “Latvija” izveidē un darbībā. Pēc atgriešanās Latvijā 20. gados turpināja pārstāvēt sporta biedrību “Marss” un arī līdzdarbojās tās administrācijā, kā arī līdzdarbojās dažādu sporta veidu savienību darbībā.

1922.–1923. gadā R. Plūme bija viens no Latvijas Ziemas sporta savienības (LZSS) līdzdibinātājiem. 1930.–1938. gadā R. Plūme bija LZSS valdes priekšsēdētājs. LZSS valdē R. Plūme darbojās no 1923. gada līdz aiziešanai no LZSS amatiem 1938. gadā. Šajā laikā periodiski ieņēma arī citus LZSS amatus – pirmais sekretārs, Slēpošanas sekcijas vadītājs, valdes loceklis, kasieris. R. Plūme bija Latvijas olimpiskās delegācijas vadītājs ziemas olimpiskajās spēlēs 1936. gadā Garmišā-Partenkirhenē, Vācijā. R. Plūme bija LZSS vadītājs laikā, kad valsts ziemas sporta programmā tika ieviests un attīstījās hokejs. Bija Latvijas hokeja izlases oficiālais pārstāvis (mūsdienu izpratnē – menedžeris) divos pasaules čempionātos – 1935. gadā Davosā (Šveicē) un 1938. gadā Prāgā.

No 20. gadiem R. Plūme piedalījās Latvijas Olimpiskās komitejas (LOK) un Latvijas Sporta organizāciju apvienības (LSOA) darbā. 1933.–1934. gadā bija LSOA valdes priekšsēdētājs un vienlaikus LOK priekšsēdis. 1934.–1936. gadā bija LSOA un LOK priekšsēdētāja biedrs (vietnieks). 1936.–1938. gadā piedalījās Latvijas Fiziskās kultūras un sporta komitejas (LFKSK) darbā.

R. Plūme bija arī Latvijas Basketbola savienības priekšsēdētājs (1925–1935). Līdzdarbojās Latvijas Airētāju savienības, Latvijas Riteņbraucēju un motociklistu savienības, Latvijas Smagatlētikas savienības vadības darbā.

R. Plūme bija arī ievērojams studentu sporta darbinieks Latvijā un starptautiskā līmenī. 1929. gadā kļuva par jaunizveidotās sporta biedrības “Universitātes sports” pirmo vadītāju (1929–1936), vēlāk – “Universitātes sporta” goda priekšsēdētājs. Aktīvi līdzdarbojās studentu sporta iesaistē starptautiskajās sacīkstēs, 30. gados bija Latvijas studentu delegācijas oficiālais pārstāvis vasaras un ziemas akadēmiskajās meistarsacīkstēs. 30. gados aktīvi piedalījās Starptautiskās Studentu konfederācijas (Confédération Internationale des Étudiants, CIE) darbā; bija CIE sporta komisijas vadītājs, CIE priekšsēdētājs (1936–1937), CIE goda priekšsēdētājs (no 1937. gada). Darbojās arī Somijas, Igaunijas, Latvijas un Lietuvas studentu organizācijas SELL (Suomi, Eesti, Latvija, Lietuva) darbā, bija tās vadītājs un 1935. gadā – SELL studentu sporta spēļu organizācijas komitejas priekšsēdētājs.

Saistībā ar darbu un pārcelšanos uz dzīvesvietu Smiltenē 30. gadu otrajā pusē pakāpeniski atteicās no ieņemtajiem amatiem dažādās sporta organizācijās. 30. gadu beigās iesaistījās sporta pasākumu organizēšanā Smiltenē, bija LZSS ziemas sporta pārzinis Smiltenē, līdzdarbojās plašas ziemas sporta veidu popularizēšanas programmā Smiltenē 1939./1940. gada sezonā, t. sk. bija viens no ātrslidošanas sacīkšu rīkotājiem 1940. gada sākumā.

Nacistiskās okupācijas laikā R. Plūme vadīja Latvijas ģenerālapgabala teritorijā notiekošo sporta pasākumu jumta organizācijas – Fiziskās kultūras un sporta pārvaldi (FKSP; 1941.–1942. gadā) un Latviešu sporta un fiziskās kultūras apvienību (LSFKA; 1942.–1944. gadā).

Pēc Otrā pasaules kara iesaistījās latviešu trimdas sporta organizēšanas darbā, t. sk. 40. gadu otrajā pusē vadīja latviešu sporta dzīvi Forarlbergā (Austrijā). R. Plūme 1951.–1954. gadā bija pirmais Latviešu sporta apvienības Kanādā (LSAK) vadītājs un 1953.–1955. gadā – pirmais Latviešu sporta padomes trimdā (LSPT) prezidija priekšsēdētājs. 1951.–1955. gadā R. Plūme pārstāvēja latviešus Kanādas Baltiešu sporta federācijas (Baltic Sport Federation of Canada, BSFC) prezidijā.

R. Plūme dāvāja vairākas sporta balvas un sacīkšu atribūtus, t. sk. SELL sacīkšu karogu (1935. gadā), kausu “Universitātes sporta” hokeja spēles uzvarētājiem (1937. gadā), balvu futbola turnīram (1943. gadā). Pēc R. Plūmes nāves viņam par piemiņu nosauktas ceļojošās balvas, kuras Ziemeļamerikas latviešu sportisti izcīnīja dažādos sporta veidos, t. sk. vieglatlētikā un peldēšanā.