Mācījās Valsts Liepājas vidusskolā, 4. Rīgas pilsētas vidusskolā (1922–1925), kur 1925. gadā pabeidza reālskolas kursu. Studēja Latvijas Universitātes Tautsaimniecības un tiesību zinātņu fakultātes Tautsaimniecības nodaļā (1925–1926).

02.–09.1927. obligātajā karadienestā Latvijas armijas 6. Rīgas kājnieku pulkā. 08.1927. beidza instruktoru rotas kursus un paaugstināts par dižkareivi. 09.1927. paaugstināts par kaprāli. 09.1927.–08.1929. mācījās Kara skolā; 11.1928. paaugstināts par kadetu kaprāli, 12.1928. – kadetu seržantu. Pēc Kara skolas beigšanas ar 31.08.1929. pavēli paaugstināts par leitnantu un 01.09.1929. norīkots dienestā uz 6. Rīgas kājnieku pulku, kur dienēja 09.1929.–11.1935. Pulkā pildīja dažādus amatus, t. sk. bija pulka fiziskās audzināšanas instruktors, pulka snaiperu komandas priekšnieks, pulka izlūku slēpotāju komandas priekšnieks, pulka tieslietu darbvedis. 01.09.1932. paaugstināts par virsleitnantu. Izcīnīja godalgas armijas sacensībās šaušanā dažādās disciplīnās (1930, 1934).

Dienesta gaitas turpināja 7. Siguldas kājnieku pulkā (11.1935.–05.1936.) un 5. Cēsu kājnieku pulkā (05.1936.–07.1940.), kur pildīja vada komandiera, pulka fiziskās audzināšanas instruktora, pulka adjutanta amata pagaidu izpildītāja pienākumus. Sākoties padomju okupācijai, 07.1940. ieskaitīts Latvijas Tautas armijā un drīz pēc tam Sarkanās armijas 24. teritoriālajā strēlnieku korpusā. 01.10.1940. pārcelts dienestā uz Rīgas kājnieku kara skolu par fiziskās audzināšanas instruktoru, pēc mēneša pārcelts uz 183. strēlnieku divīziju tādā pašā amatā. 1941. gadā dienestu Sarkanajā armijā pārtrauca un, Vācijas karaspēkam iebrūkot, palika Latvijā.

1942. gadā īslaicīgi atjaunoja tautsaimniecības studijas Universitātē Rīgā. Mobilizēts Latviešu leģionā (1943–1945), dienēja 15. divīzijā oberšturmfīrera (virsleitnanta), vēlāk hauptšturmfīrera (kapteiņa), no 1944. gada šturmbanfīrera (majora) dienesta pakāpē; bija štāba rotas komandieris, Apgādes pulka komandieris. 05.1945., pretēji vācu karaspēka vadības pavēlēm, izveda vairāk nekā 4000 latviešu karavīru vienību no Sarkanās armijas karadarbības zonas un padevās gūstā ASV karaspēkam, izglābjot karavīrus no nonākšanas padomju gūstā. Pēc kara atradās karagūstekņu nometnē Putlosā (Vācijā) 05.–09.1945., Zedelhemā (Beļģijā) 09.1945.–05.1946.

Trimdā ASV studēja Depola Universitātē (DePaul University) Čikāgā. No 20. gs. 50. gadiem studentu korporācijas “Tervetia” filistrs. Darbojās “Daugavas Vanagu” organizācijā.

V. Baumanis sācis spēlēt basketbolu 1922. gadā Rīgas pilsētas 4. vidusskolā. 1923./1924.–1929./1930. gada sezonās Latvijas basketbola meistarsacīkstēs jeb čempionātā startēja Rīgas JKS (Jaunekļu kristīgā savienība) komandā; tās sastāvā divas reizes kļuva par Latvijas basketbola meistaru jeb čempionu (1925, 1929). Turpmāk, 1930./1931.–1939./1940. gada sezonās, Latvijas basketbola čempionātā Rīgas ASK (Armijas Sporta klubs) komandā; sākumā spēlējošais treneris, vēlāk – treneris. Kā spēlējošais treneris ASK sastāvā izcīnīja Chicago Tribune kausu (1934), kā treneris komandu divreiz (1939, 1940) aizveda līdz valsts čempiona titulam, izcīnīja uzvaru Latvijas Vispārīgo sporta svētku jeb olimpiskajā basketbola turnīrā (1939), ieguva Rīgas čempionu titulu (1939, 1940).

Piedalījās pirmajā starpvalstu izlašu basketbola spēlē Eiropā – 29.04.1924. Tallinā Latvijas izlases sastāvā pret Igaunijas valstsvienību. Kopumā Latvijas basketbola izlases sastāvā aizvadīja sešas spēles (1924–1926, 1932). Latvijas basketbola izlases treneris (1935, 1938–1940). Pirmajā Eiropas basketbola čempionātā 05.1935. Ženēvā V. Baumaņa trenētā Latvijas izlase kļuva par Eiropas čempionvienību, trešajā Eiropas čempionātā 05.1939. Kauņā izcīnīja vicečempionu titulu, kā arī 10.1938. Berlīnē kļuva par Starptautiskā basketbola turnīra uzvarētājiem. Kopā ar spēlētājiem Maksi Kazāku un Visvaldi Melderi 1939. gada vasarā komandēts pieredzes papildināšanai uz Longailendas Universitātes (Long Island University) basketbola treniņnometni ASV.

Olimpiskajās spēlēs 08.1936. Berlīnē V. Baumanis bija Latvijas basketbola izlases pārstāvis, piedalījās Starptautiskās Basketbola federācijas (Fédération Internationale de Basket Ball, FIBB; tagad – FIBA) kongresā, tajā tika apstiprināts par starptautiskās kategorijas tiesnesi un tiesāja basketbola sacensības olimpiskajās spēlēs. V. Baumanis bija kļuvis par pirmo starptautiskās (FIBB) kategorijas basketbola tiesnesi Latvijā. 05.1937. Rīgā tiesāja otrā Eiropas basketbola čempionāta spēles. V. Baumanis bijis ievēlēts Latvijas Basketbola savienības valdē.

Padomju okupācijas gadā, 1940./1941. gada sezonā, trenēja RDKA (Рижский дом Красной армии, РДКА; Sarkanās armijas Rīgas nams) basketbola komandu. V. Baumaņa vadībā tā izcīnīja Latvijas Padomju Sociālistiskās Republikas (LPSR) čempionu titulu. 1941. gadā bija Rīgas vīriešu basketbola izlases treneris Padomju Sociālistisko Republiku Savienības (PSRS) Astoņu pilsētu basketbola turnīrā.

Nacistiskās okupācijas laikā Rīgas ASK (līdz 1942. gadam oficiāli – Rīgas Sporta klubs, RSK) vīriešu basketbola komandas treneris. V. Baumaņa trenētā komanda divas reizes (1942, 1943) izcīnīja Rīgas čempionu titulu. Nacistiskās okupācijas laikā epizodiski trenēja arī RSK (no 1942. gada – Rīgas ASK) sieviešu basketbola komandu. Karadienesta laikā organizēja basketbola spēles Latviešu leģionā dienošajiem.

20. gs. 20. gados aktīvi nodarbojās arī ar citiem sporta veidiem, līdzdarbojās dažādu sporta veidu organizēšanas darbā. 20. gs. 20. gados Rīgas JKS volejbola komandas sastāvā kļuva par Latvijas volejbola čempionu. Jau 1922./1923. gada sezonā sāka spēlēt bendiju Rīgas JKS rezervistu komandā. 20. gs. 20. gadu beigās spēlēja bendiju Rīgas ASK sastāvā.

20. gs. 30. gados V. Baumanis aktīvi līdzdarbojās ASK valdē un dažādu sekciju darbā. Bija Rīgas ASK Basketbola sekcijas vadītājs, vēlāk darbojās ASK Basketbola un volejbola sekcijā, bija ASK Futbola sekcijas vadītājs, ASK sekretārs, biedrzinis, sporta laukuma pārzinis. Līdzdarbojās Rīgas ASK futbola komandas organizēšanas darbā, sniedzot ieguldījumu komandas panākumos un Latvijas čempionu titula izcīnīšanā (1932). ASK valdes uzdevumā 1931./1932. gada sezonas sākumā organizēja Rīgas ASK pirmā hokeja laukuma ierīkošanu. 20. gs. 30. gados bija arī sporta korespondents presē, rakstīja sporta ziņas, speciālreportāžas un analītiskus materiālus par sporta problemātiku (galvenokārt laikrakstā “Rīts”).

Nacistiskās okupācijas laikā līdzdarbojās RSK (no 1942. gada – Rīgas ASK) sporta organizēšanas darbā. Bija RSK futbola komandas treneris un sastādītājs, sniedzot būtisku pienesumu komandas lielākajos panākumos – divreiz (1942, 1943) izcīnīts okupētās Latvijas futbola čempiona tituls.

1945.–1946. gadā organizēja sporta norises karagūstekņu nometnēs. 1946. gadā atbrīvots no gūsta, dzīvoja Lībekā (Vācijā), līdzdarbojās latviešu bēgļu sporta sacensību organizēšanā. 1946. gadā organizēja latviešu futbolistu spēles pret vācu komandām. V. Baumanis bija trimdā nonākušo latviešu basketbola izlases treneris Otrajos Baltijas tautu sporta svētkos Augsburgā 09.1946., kā arī desmit spēļu turnejā 05.1947. Francijā, kur komanda startēja ar nosaukumu All Stars de Riga un uzvarēja visās spēlēs.

1947. gadā pārcēlās uz dzīvi Lorjānā, Francijā, kur strādāja par CEP Lorient (Cercle d’Éducation Physique de Lorient) basketbola komandas treneri (1947–1956). Komanda V. Baumaņa vadībā izcīnījusi uzvaru Francijas otrā līmeņa čempionātā un vietējās sacīkstēs Bretaņā. V. Baumaņa darbs Francijā deva iespēju vairākiem latviešu basketbolistiem un futbolistiem turpināt sporta karjeru šajā valstī. 1949. gadā V. Baumanis organizēja Zviedrijas baltiešu basketbola vienības turneju Francijā. 1950. gadā kļuva par Latviešu Sporta un fiziskās audzināšanas pagaidu padomes (LSFAPP) pārstāvi Francijā. Līdz 20. gs. 50. gadu vidum bija latviešu sporta dzīves vadītājs Francijā. V. Baumaņa trenētā Francijas latviešu basketbola izlase 04.1954. uzvarēja Pirmajās Eiropas latviešu basketbola meistarsacīkstēs Kaizerslauternā, Vācijā.

1956. gadā pārcēlās uz dzīvi Čikāgā, ASV. Bija ilggadējs ASV Vidējo valstu (Vidienes pavalstu) latviešu sporta pārvaldes priekšnieks (1957–1992). Darbojās Amerikas latviešu apvienības (ALA) Sporta un fiziskās audzināšanas biroja valdē un ASV baltiešu sporta organizācijā, bija ASV Vidējo valstu latviešu basketbola vienības treneris. 1985. gadā līdzdarbojās ASV latviešu basketbola izlases komplektēšanā dalībai Pirmajās Latviešu globālajās meistarsacīkstēs Garezerā un Kalamazū, ASV. Gatavoja sporta tēmai veltītas publikācijas trimdas latviešu avīzei “Laiks”.

1932. gadā apbalvots ar Zviedrijas Šķēpa ordeni (II  šķira), 1938. gadā ar Viestura ordeni (V šķira). Par dienestu Vācijas bruņotajos spēkos saņēmis Dzelzs krustu (II šķira), Kara nopelnu krustu (I un II šķira). 1957. gadā V. Baumanis kļuva par Latviešu Sporta padomes (LSP) Lielās Sporta nozīmes laureātu. Kopš 1994. gada Latvijas labākajiem jaunajiem basketbolistiem tiek pasniegta V. Baumaņa vārdā nosaukta balva.

V. Baumaņa trenētās Latvijas basketbola izlases panākumi pirmajā Eiropas basketbola čempionātā un trenera ieguldījums šajā vēsturiskajā panākumā ir daudzkārt atspoguļoti sporta literatūrā. Par šo notikumu uzfilmēta un 2012. gadā pirmizrādi piedzīvoja studijas “Platforma” spēlfilma “Sapņu komanda 1935” (režisors Aigars Grauba). V. Baumani filmā atveidojis Jānis Āmanis. Spēlfilmas sižets un V. Baumaņa gaitas aplūkotas filmas veidotāju sagatavotajā grāmatā – “Sapņu komanda 1935: laika stāsti” (2013).

2025. gadā “Daugavas” sporta nama priekšlaukumā atklāts V. Baumanim veltīts piemineklis, ko veidojis tēlnieks Gļebs Panteļejevs.