Divsējumu darba mērķis ir parādīt, ka aritmētika ir atvedināma uz loģiku.
Īsi pirms II sējuma iznākšanas B. Rasels konstatēja, ka no G. Frēges sistēmas var atvedināt pretrunu. G. Frēge atzina, ka pamati, kuros viņš bija cerējis balstīt aritmētiku, ir satricināti.
G. Frēge uzskatīja, ka pie vainas ir I sējumā atrodamais 5. pamatlikums. Tas pamato jēdzienu apjomu (ekstensiju) ieviešanu, sniedzot to vienādības nosacījumus: ikviena lieta, kas izpilda jēdzienu F, izpilda arī jēdzienu G tad un tikai tad, ja jēdzieniem F un G ir viens un tas pats apjoms.
No 5. pamatlikuma (kopā ar citiem pieņēmumiem) izriet, ka ikvienam jēdzienam ir apjoms. Turklāt, ja arī pats apjoms ir priekšmets un apjoma robežas ir stingri noteiktas (tas ir, dotais priekšmets vai nu iekļaujas jēdziena apjomā, vai ne), tad var izšķirt apjomu, kas izpilda jēdzienu, kā apjoms tas ir, un tādu apjomu, kas to neizpilda. Piemēram, jēdziena “apjoms” apjoms izpilda šo jēdzienu, jo apjoms ir apjoms, atšķirībā no jēdziena “suns” apjoma, kas neizpilda jēdzienu “suns”, jo apjoms nav suns. Pretruna rodas, ja izveido jēdzienu “apjoms, kas neizpilda jēdzienu, kā apjoms tas ir”, jo šā jēdziena apjoms izpilda šo jēdzienu tad un tikai tad, ja tas to neizpilda.
B. Rasels jēdzienu apjomu vietā lietoja kopas (klases) un parādīja, ka nevar pastāvēt kopa, kas ietver visas tās kopas, kas nav pašas sev elementi. Šāda kopa ir absurda – tā reizē gan iekļauj, gan neiekļauj pati sevi. Ja tā būtu pati sev elements, tā nevarētu iekļaut sevi, un, ja tā nebūtu pati sev elements, tad tai vajadzētu iekļaut sevi kā elementu.
20. gs. beigās pētnieki atzina, ka, ja 5. pamatlikums tiek atmests, G. Frēges sistēma ir izmantojama skaitļu teorijas dedukcijai. 20. gs. 80. gados Krispins Raits (Crispin James Garth Wright) no jauna atklāja “Frēges teorēmu”. Tā ir metateorēma, kas apgalvo, ka otrās pakāpes predikātu loģikā ir iespējams deducēt Peāno aksiomas skaitļu teorijai no G. Frēges formulētā “Hjūma principa”: jebkuriem jēdzieniem, kas ir F un G, F lietu skaits ir vienāds ar G lietu skaitu tad un tikai tad, ja starp F lietām un G lietām ir vienviennozīmīga atbilstība (tas ir, jebkurai F lietai atbilst viena un tikai viena G lieta, un otrādi).