Gotlobs Frēge bija viens no mūsdienu matemātiskās loģikas pamatlicējiem un analītiskās filozofijas iedvesmotājs. G. Frēge izstrādāja loģikas vēsturē pirmo aksiomātisko loģikas sistēmu, lai varētu parādīt, ka aritmētika balstās uz loģikas pamatiem (loģicisms). Kaut gan loģicisma projekts izrādījās neveiksmīgs, G. Frēges loģika ar laiku izkonkurēja tradicionālo (Aristoteļa) loģiku. G. Frēge pielīdzināja jēdzienus matemātiskām funkcijām, saistīja skaitli ar kvantificēšanu, parādīja teikumu loģisko uzbūvi, nošķīra izteiksmju jēgu un nozīmi (referenci) un ieviesa daudzus citus jauninājumus, kas būtiski ietekmēja loģikas un analītiskās filozofijas attīstību 20. gs.

G. Frēge ir dzimis Vismārā stingru luterāņu ģimenē. G. Frēges vecāki Karls (Karl Alexander Frege) un Auguste (Auguste Wilhelmine Sophie Frege) bija skolotāji. 1854.–1869. gadā G. Frēge mācījās Vismāras pilsētas skolā.

1869. gadā G. Frēge uzsāka matemātikas, ķīmijas un filozofijas studijas Jēnas Universitātē (Universität Jena). 1871. gadā viņš pārgāja uz Getingenes Universitāti (Universität Göttingen), kur papildus matemātikas un fizikas studijām apmeklēja Rūdolfa Hermana Loces (Rudolf Hermann Lotze) lekcijas. R. H. Loces uzskats, ka loģika ir neatkarīga no cilvēka psiholoģiskajiem stāvokļiem, ir sastopams visos vēlākajos G. Frēges darbos. 

G. Frēge ieguva doktora grādu matemātikā ar disertāciju “Par iedomāto formu ģeometrisku attēlojumu plaknē” (Über eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene, 1873). Viņš uzrakstīja habilitācijas darbu “Aprēķina metodes, kas pamatojas uz lieluma jēdziena paplašināšanu” (Rechnungsmethoden, die auf eine Erweiterung des Grössenbegriffes gründen, 1874) un kļuva par privātdocentu Jēnas Universitātē, kur aizritēja atlikušais darba mūžs.

G. Frēge nopelnīja asociētā profesora amatu, uzrakstot, kā vēlāk izrādījās, loģikā revolucionāru darbu “Jēdzienraksts, tīrās domāšanas formālvaloda, darināta pēc aritmētikas valodas parauga” (Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, 1879). Diemžēl “Jēdzienrakstu” gandrīz neviens nesaprata vai nenovērtēja. Lai skaidrotu uzskatus, G. Frēge publicēja “Aritmētikas pamatus” (Die Grundlagen der Arithmetik, 1884), kas piedzīvoja līdzīgu likteni. 

1887. gadā G. Frēge apprecējās ar Margarēti Līzebergu (Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg). Pašu bērni nomira agrā bērnībā. Pāris pieņēma dēlu Alfrēdu (Paul Otto Alfred Fuchs), kuru G. Frēge vēlāk adoptēja.

Drīzumā iznāca vairāki filozofiskajā loģikā un valodas filozofijā par hrestomātiskiem atzīti G. Frēges raksti: “Funkcija un jēdziens” (Funktion und Begriff, 1891), “Par jēgu un nozīmi” (Über Sinn und Bedeutung, 1892), “Par jēdzienu un priekšmetu” (Über Begriff und Gegenstand, 1892).

19. gs. pēdējā desmitgadē G. Frēge sarakstījās ar fenomenoloģijas pamatlicēju Edmundu Huserlu (Edmund Gustav Albrecht Husserl). 1894. gada recenzijā par E. Huserla darbu “Aritmētikas filozofija” (Philosophie der Arithmetik) G. Frēge pārmeta E. Huserlam psiholoģismu (matemātikas patiesību atvasināšanu no psiholoģiskām likumsakarībām). Vēlākie E. Huserla darbi liecina par pilnīgu psiholoģisma noraidījumu. Lai gan E. Huserls nav pieminējis G. Frēges nopelnus, ir pamats domāt, ka viņa kritika veicināja E. Huserla atteikšanos no psiholoģisma. 

G. Frēge sarakstījās arī ar itāļu matemātiķi Džuzepi Peāno (Giuseppe Peano). Dž. Peāno bija izstrādājis loģisko pierakstu (notāciju) un labprāt ņēma vērā G. Frēges ieteikumus. Dž. Peāno notāciju pārņēma britu matemātiķis un loģiķis Bērtrands Rasels (Bertrand Arthur William Russell), reizē iesavinot G. Frēges priekšstatu par loģiku.

Vēlāk iznāca mūža darba “Aritmētikas pamatlikumi” (Grundgesetze der Arithmetik, 1893) I sējums. Lai arī atsauksmes bija nelabvēlīgas, G. Frēge ieguva goda profesora nosaukumu. 

1902. gadā, kad “Aritmētikas pamatlikumu” II sējumu gatavoja izdošanai, G. Frēge saņēma vēstuli, kurā B. Rasels pavēstīja, ka no I sējumā piedāvātās sistēmas var atvedināt pretrunu. Tā saucamais Rasela paradokss sagrāva loģicisma projektu un noveda G. Frēgi depresijā.

Pēdējos 20 mūža gadus G. Frēge publicējās maz, taču tieši tolaik viņš nozīmīgi ietekmēja analītiskās filozofijas attīstību. B. Rasels citēja G. Frēges darbus un popularizēja viņa pieeju loģikai. 1911. gadā G. Frēgi apciemoja jaunais Ludvigs Vitgenšteins (Ludwig Josef Johann Wittgenstein), kam G. Frēge ieteica studēt filozofiju pie B. Rasela Kembridžā. Trīs gadus (1910–1913) pie G. Frēges mācījās Rūdolfs Karnaps (Rudolf Carnap). Šie trīs filozofi ir ierindojami ietekmīgāko vidū 20. gs. analītiskajā tradīcijā. 

1918. gadā G. Frēge devās pensijā un pārcēlās uz Bādkleineni, kur 1925. gadā mira, tā arī nepiedzīvojis plašāku atzinību. Bādkleinenē tika izstrādāti vairāki valodas un loģikas filozofijā nozīmīgi teksti, tai skaitā “Doma” (Der Gedanke, 1918). Mūža nogalē rakstītā dienasgrāmata atklāj neglaimojošus politiskos uzskatus, kas gan neparādās G. Frēges akadēmiskajos darbos. Ne visi G. Frēges darbi ir saglabājušies. Daļa manuskriptu ir gājuši bojā Otrajā pasaules karā.

“Jēdzienraksts” ir loģikas vēsturē pirmā loģikas aksiomatizācija. Tas ietver izteikumu loģiku, pirmās un otrās pakāpes predikātu loģiku. Gan izteikumu loģika, gan pirmās pakāpes predikātu loģika ir pilnīga un nepretrunīga.

G. Frēges mērķis bija izstrādāt rīkus, kas ļautu skaidri formulēt matemātikas izteikumus un spriešanas gaitu. Iedvesmojies no Gotfrīda Vilhelma Leibnica (Gottfried Wilhelm Leibniz) sapņa par universālu simbolu sistēmu, G. Frēge izveidoja formalizētu valodu – “jēdzienrakstu”. G. Frēge atteicās no tradicionālās subjekta–predikāta formas (“S ir P”) un tās vietā darināja apgalvojošus (deklaratīvus) teikumus gluži kā matemātikas izteiksmes, ko veido funkcijas un argumenti. Vispārēju apgalvojumu atveidošanai G. Frēge ieviesa kvantorus (“ikviens”, “eksistē vismaz viens”, “neviens” u. tml.), kas saista funkcijas argumentus (mainīgos) ar vērtībām. 

Tradicionālās (Aristoteļa) loģikas galvenais trūkums ir tāds, ka tajā nevar atveidot daudzkārtīgu vispārējumu (multiple generality), tas ir, teikumus ar vairākiem kvantoriem, piemēram, “Ikvienam skaitlim seko kāds nākamais”. Taču tieši šādi teikumi ir svarīgi matemātikā.

G. Frēges loģika ļauj ne tikai atveidot daudzkārtīgu vispārējumu, bet arī novērst dabiskajā valodā sastopamo kvantoru tvēruma neskaidrību (scope ambiguity). Piemēram, teikums “Ikviens suns mīl kādu cilvēku” ir neskaidrs, jo atkarībā no tā, cik plaši tiek saprasts kvantoru tvērums, tas pieļauj divus atšķirīgus lasījuma veidus: 

1. “Visiem x, ja x ir suns, tad eksistē vismaz viens y, kas ir cilvēks un ko x mīl”;
2. “Eksistē vismaz viens y, kas ir cilvēks, un visiem x, ja x ir suns, tad x mīl y.” 

Pirmais lasījums paredz, ka ikviens suns mīl kādu vienu vai citu cilvēku (savu saimnieku), bet otrais – ka ir kāds noteikts cilvēks, kuru mīl ikviens suns. Novēršot neskaidrību, ir ieraugāma katra teikuma loģiskā uzbūve. Šāda veida loģiskajai analīzei, ko G. Frēge padarīja iespējamu, ir nepārvērtējama nozīme analītiskajā filozofijā. 

G. Frēge pievēršas aritmētikas pamata pieņēmumiem, priekšplānā izvirzot jautājumu par matemātisku apgalvojumu dabu un skaitļa nojēgumu. Viņš kritizē konkurējošās teorijas par skaitļa jēdzienu un to vietā piedāvā divas atšķirīgas skaitļa izpratnes:

1. skaitlis kā kvantors (tas ir, lietu skaits noteiktā kopā);
2. skaitlis kā priekšmets jeb loģisks objekts (tas ir, noteiktu kopu kopa).

Ja skaitli saprot kā kvantoru, tad izteikumi par skaitļiem ir izteikumi par jēdzieniem, tas ir, skaitlis ir skaits, kas parāda, cik lietu “krīt zem” noteikta jēdziena (tas ir, izpilda jēdzienu jeb ietilpst tā apjomā). Piemēram, “viens dabiskais pavadonis” nozīmē, ka jēdziens “dabiskais pavadonis” ir īstenots vienu reizi jeb pastāv vismaz viena lieta, kas izpilda jēdzienu “dabiskais pavadonis”. Savukārt “nulle dabisko pavadoņu” nozīmē, ka jēdziens “dabiskais pavadonis” ir īstenots nulli reižu jeb nav tādu lietu, kas to izpildītu. Kvantors vienmēr ir saistīts ar kaut ko, kas tiek skaitīts. Proti, “viens” vienmēr ir “viens kaut kas” – “viens F”, “viens G” un tamlīdzīgi. Skaitļa vārdi, gluži tāpat kā citi vārdi, kaut ko nozīmē tikai kopsakarā ar visu teikumu (“konteksta princips”). 

Pēc G. Frēges domām, skaitlis ir jādefinē arī kā loģisks objekts (“viens” pats par sevi, nevis “viens F” u. tml.). Šim nolūkam G. Frēge lieto jēdzienu apjomu (ekstensiju jeb vērtību apgabalu) teoriju. Jēdziena F apjoms ir visas tās lietas, kuras izpilda F. Savukārt skaitlis ir nevis vienkārši apjoms, bet gan tāds apjoms, kas aptver noteiktu jēdzienu apjomus. Precīzāk, skaitlis, kas pieder pie jēdziena F, ir jēdziena “būt vienādā skaitā ar F” apjoms. Tādējādi skaitlis 0 ir apjoms, kas aptver neīstenoto jēdzienu apjomus, bet skaitlis 1 ir apjoms, kas aptver tikai vienreiz īstenoto jēdzienu apjomus. 0 ir kopa, kas satur visas tukšās kopas, bet 1 ir kopa, kas satur visas kopas ar vienu elementu. G. Frēges apjomu teorija, kā vēlāk parādīja B. Rasels, noveda pie paradoksa.

G. Frēge neformāli skaidro, kas ir funkcija un kāpēc jēdziens ir funkcija. Funkcija ir “nepiesātināta” jeb nepabeigta matemātiska izteiksme, kas kļūst “piesātināta” tikai savienojumā ar argumentu, piemēram, noteiktu skaitli.

Izteiksme “x²” ir funkcija, kas var tikt pabeigta, aizvietojot x ar –1, un tādējādi iegūt vērtību 1, jo (–1)² = 1.

Arī izteiksme “x² = 1” ir funkcija, taču tā atšķiras no iepriekšējās ar to, ka tās vērtība ir nevis skaitlis, bet gan patiesuma vērtība – patiesais vai aplamais. Ja x = –1, tad “x² = 1” vērtība ir patiesais.

Tāda funkcija, kuras vērtība vienmēr ir patiesuma vērtība, ir jēdziens. Funkcijas, kas satur tādas zīmes kā “=”, “<” vai “>”, ir jēdzieni, jo tie izsaka apgalvojumu, kas var būt vai nu patiess, vai aplams.

Patiesuma vērtības ir unikāli un abstrakti priekšmeti. Teikuma patiesums ir cieši saistīts ar tā nozīmi (referenci), tas ir, to, ko teikums apzīmē. Vienādojums “(–1)² = 1” apzīmē patieso, bet vienādojums “(0)² = 1” apzīmē aplamo. Turklāt “(–1)² = 1”, “2⁴ = 4²”, “2 > 1”, “Nav tiesa, ka 2² = 5” un citas patiesas izteiksmes nozīmē vienu un to pašu, tas ir, patieso. Tādējādi visu patieso teikumu nozīme ir patiesais, bet visu aplamo – aplamais. 

G. Frēge risina identitātes jeb vienādības jautājumu, aplūkojot to plašāk – dabiskajā valodā. Teikumi “rīta zvaigzne ir rīta zvaigzne” un “rīta zvaigzne ir vakara zvaigzne” izsaka identitāti. Ja “rīta zvaigzne” nozīmē to pašu, ko “vakara zvaigzne”, tad abiem teikumiem arī vajadzētu nozīmēt vienu un to pašu. Tomēr abu teikumu izziņas vērtība atšķiras. Pirmā teikuma patiesums nav apšaubāms, jo tā ir tautoloģija “a = a”, bet otro, kas ir formā “a = b”, var arī nezināt.

Lai risinātu šo problēmu, G. Frēge ievieš nošķīrumu starp vārdu (u. c. valodas vienību) jēgu un nozīmi (referenci). Nozīme ir priekšmets, kas tiek nosaukts, bet jēga ir priekšmeta dotības veids. Vārdu “rīta zvaigzne” un “vakara zvaigzne” nozīme ir pati planēta Venera, bet jēga – aspekts jeb griezums, kā Venera sevi parāda, – debess spīdeklis no rīta austrumos vai debess spīdeklis vakarā rietumos un tamlīdzīgi. Nozīme ir viena, bet jēgas ir vairākas, un tās izceļ dažādus priekšmeta aspektus. Līdz ar to atšķiras arī teikumu “rīta zvaigzne ir rīta zvaigzne” un “rīta zvaigzne ir vakara zvaigzne” jēga, tas ir, tie izsaka atšķirīgas domas, bet to nozīme ir viena un tā pati: tie abi apzīmē patieso.

Ja izteiksmju nozīme ir viena un tā pati, tad teikumā tās var savstarpēji aizstāt, nemainot teikuma patiesuma vērtību. Izņēmums ir netiešā runa (“Viņš uzskata, ka rīta zvaigzne ir vakara zvaigzne”), jo tad teikums vairs nav par pašu priekšmetu, bet gan par kāda uzskatiem par priekšmetu. Līdz ar to netiešajā runā lietotie vārdi apzīmē jēgu, nevis parasto nozīmi (tas ir, netiešajā runā “rīta zvaigzne” apzīmē debess spīdekli no rīta austrumos – noteiktu Veneras aspektu, nevis pašu Veneru).

Ne priekšmetu, ne jēdzienu kā filozofiskus nojēgumus nav iespējams skaidri definēt (tie ir primāri), bet tos var atklāt ar piemēru. Ja vienkāršam teikumam “Venera ir planēta” atņem vārdu “Venera”, paliek pāri “ir planēta”. Frāze “ir planēta” nevar darboties kā patstāvīga vienība; tai vajag papildinājumu – priekšmetu, par ko tā tiek predicēta. Tādēļ var secināt, ka frāze “ir planēta” ir gluži kā funkcijas izteiksme – kaut kas nepabeigts –, atšķirībā no priekšmeta, kas ir pabeigts un patstāvīgs. Tādējādi “ir planēta” ir jēdzienu izsakošs vārds (predikāts), bet “Venera” ir īpašvārds, kas apzīmē priekšmetu. Tikai predikāts var tikt predicēts par priekšmetu, turpretī īpašvārds nemaz nevar tikt predicēts. Līdz ar to jāpieņem, ka arī pats jēdziens (tas, ko izsaka predikāts) ir pēc savas dabas predikatīvs.

Priekšmetus no jēdzieniem palīdz nošķirt gramatiskie indikatori. Noteiktais artikuls (der, die, das – vācu valodā, the – angļu valodā) parasti liecina par priekšmeta pieminējumu, savukārt nenoteiktais artikuls (ein, eine – vācu valodā, a, an – angļu valodā) ievada predikātu. 

Visi jēdzieni nav vienādi. Pirmās pakāpes jēdzieni (piemēram, “planēta”, “kvadrātsakne no 4”) ir funkcijas, kuru argumenti ir priekšmeti, bet otrās pakāpes jēdzieni (piemēram, kvantori – “ikviens”, “eksistē vismaz viens” u. tml.) ir funkcijas, kuru argumenti ir pirmās pakāpes funkcijas/jēdzieni. Kvantorus lieto, lai izteiktu, cik priekšmetu izpilda jeb īsteno kādu pirmās pakāpes jēdzienu. Teikums “Eksistē vismaz viena kvadrātsakne no 4” ir skaitlisks (kvantificēts) apgalvojums par jēdzienu “kvadrātsakne no 4”, tas ir, apgalvojums vēstī, ka jēdziens ir īstenots vismaz vienreiz. Līdz ar to eksistence ir jēdziena īpašība, tas ir, jēdziena īstenošanās kādā priekšmetā. Eksistence nekad nav priekšmeta īpašība. Priekšmets var eksistēt tikai kā noteikta jēdziena īstenojums.

G. Frēges priekšmeta/jēdziena nošķīrums un priekšstats par eksistenci ir iesakņojies tik dziļi analītiskajā filozofijā, ka nereti tiek pieņemts kā pats par sevi saprotams.

Divsējumu darba mērķis ir parādīt, ka aritmētika ir atvedināma uz loģiku.

Īsi pirms II sējuma iznākšanas B. Rasels konstatēja, ka no G. Frēges sistēmas var atvedināt pretrunu. G. Frēge atzina, ka pamati, kuros viņš bija cerējis balstīt aritmētiku, ir satricināti. 

G. Frēge uzskatīja, ka pie vainas ir I sējumā atrodamais 5. pamatlikums. Tas pamato jēdzienu apjomu (ekstensiju) ieviešanu, sniedzot to vienādības nosacījumus: ikviena lieta, kas izpilda jēdzienu F, izpilda arī jēdzienu G tad un tikai tad, ja jēdzieniem F un G ir viens un tas pats apjoms.

No 5. pamatlikuma (kopā ar citiem pieņēmumiem) izriet, ka ikvienam jēdzienam ir apjoms. Turklāt, ja arī pats apjoms ir priekšmets un apjoma robežas ir stingri noteiktas (tas ir, dotais priekšmets vai nu iekļaujas jēdziena apjomā, vai ne), tad var izšķirt apjomu, kas izpilda jēdzienu, kā apjoms tas ir, un tādu apjomu, kas to neizpilda. Piemēram, jēdziena “apjoms” apjoms izpilda šo jēdzienu, jo apjoms ir apjoms, atšķirībā no jēdziena “suns” apjoma, kas neizpilda jēdzienu “suns”, jo apjoms nav suns. Pretruna rodas, ja izveido jēdzienu “apjoms, kas neizpilda jēdzienu, kā apjoms tas ir”, jo šā jēdziena apjoms izpilda šo jēdzienu tad un tikai tad, ja tas to neizpilda.

B. Rasels jēdzienu apjomu vietā lietoja kopas (klases) un parādīja, ka nevar pastāvēt kopa, kas ietver visas tās kopas, kas nav pašas sev elementi. Šāda kopa ir absurda – tā reizē gan iekļauj, gan neiekļauj pati sevi. Ja tā būtu pati sev elements, tā nevarētu iekļaut sevi, un, ja tā nebūtu pati sev elements, tad tai vajadzētu iekļaut sevi kā elementu.

20. gs. beigās pētnieki atzina, ka, ja 5. pamatlikums tiek atmests, G. Frēges sistēma ir izmantojama skaitļu teorijas dedukcijai. 20. gs. 80. gados Krispins Raits (Crispin James Garth Wright) no jauna atklāja “Frēges teorēmu”. Tā ir metateorēma, kas apgalvo, ka otrās pakāpes predikātu loģikā ir iespējams deducēt Peāno aksiomas skaitļu teorijai no G. Frēges formulētā “Hjūma principa”: jebkuriem jēdzieniem, kas ir F un G, F lietu skaits ir vienāds ar G lietu skaitu tad un tikai tad, ja starp F lietām un G lietām ir vienviennozīmīga atbilstība (tas ir, jebkurai F lietai atbilst viena un tikai viena G lieta, un otrādi).

“Doma” ir viens no visvairāk apspriestajiem G. Frēges rakstiem. Tas tapa kā daļa no darbu triādes līdzās “Negācijai” (Die Verneinung, 1918) un “Domu salikumiem” (Gedankengefüge, 1923).

Doma ir teikuma jēga – tas, ko teikums izsaka. Doma ir objektīva un neatkarīga no subjekta – domātāja –, savukārt priekšstati, kuros doma ir ietērpta, ir subjektīvi, individuāli un nekomunicējami. Domai ir patiesuma vērtība neatkarīgi no tā, kurš to domā un vai to vispār kāds domā. Patiesums kā jēdziens nav definējams.

G. Frēge postulē “trešo valstību” – abstraktu objektu (domu, jēgu, propozīciju, skaitļu u. tml.) pasauli –, kas ir tikpat īsta kā sajūtamā (fiziskā) pasaule, kaut gan tā tiešā veidā cēloniski neiedarbojas uz fizisko pasauli.

G. Frēges galvenais nopelns ir jaunas loģikas izstrāde. Tā bija pirmā aksiomātiskā sistēma loģikas vēsturē. G. Frēge skaidri nošķīra aksiomas (pamatlikumus) no izveduma kārtulām. Pierādījumu uzbūve kļuva uzskatāma, skaidri atklājot to, kā no vieniem spriedumiem (aksiomām, premisām) izriet citi (teorēmas, secinājumi).

G. Frēgem izdevās vienā loģikas sistēmā ietvert patiesuma funkcijas, kvantorus un mainīgos, tādējādi uzrādot saikni starp izteikumu loģiku un predikātu loģiku. G. Frēges loģika pirmoreiz ļāva izveidot tādu izteikumu, kurā ir vairāki kvantori.

G. Frēges loģika veicināja matemātikas attīstību. Viņš piedāvāja veidu, kā loģikas valodā var formulēt teikumus par skaitļiem. Izejot no loģiski vienkāršiem jēdzieniem un aksiomām, G. Frēge sniedza pierādījumus vairākām skaitļu teorijas aksiomām.

G. Frēge izstrādāja valodas filozofiju, kas kopš 20. gs. 60. gadiem ir raisījusi auglīgas diskusijas analītiskajā filozofijā, nostiprinot valodas filozofiju kā atsevišķu nozari. G. Frēgi dēvē par deskriptīvisma aizsācēju nozīmes teorijās.

G. Frēgem bija ļoti būtiska ietekme uz E. Huserla, B. Rasela, L. Vitgenšteina, R. Karnapa filozofiju, tādējādi uz 20. gs. filozofiju kopumā.