Latvijas Pagaidu valdības tieslietu resora vadītājs (tieslietu komisārs 18.01.–25.03.1919.), Tiesu palātas prokurors (19.12.1918.–12.1922.), 2. Saeimas deputāts (1925–1928).

Dzimis pusmuižas nomnieka, lauksaimnieka Bērtuļa Kvelberga un viņa sievas Lības (dzimusi Mīlenbaha, valodnieka Kārļa Mīlenbaha māsa) Kvelbergas ģimenē. Dažus gadus pēc dzimšanas ģimene pārcēlusies uz tēva nomāto Līgu muižu Kandavas pagastā. 1898. gadā kā eksterns beidzis Pēterburgas 10. ģimnāziju (Петербургская десятая мужская гимназия), 1902. gadā beidzis Maskavas Universitātes (Императорский Московский университет) Juridisko fakultāti.

Jaunākā māsa Irma Kvelberga – mineraloģe, Latvijas Universitātes Ķīmijas fakultātes vecākā asistente, no 1937. gada privātdocente.

Studiju laikā Maskavas Universitātē iesaistījies Maskavas latviešu studentu vakaru (no 04.1902. studentu biedrībā “Fraternitas Moscoviensis”, vēlākajā studentu korporācijā “Fraternitas Lettica”) darbībā. Pēc universitātes beigšanas – no 09.1902. Liepājas apgabaltiesas jaunākais (no 1904. gada vecākais) tiesamatu kandidāts (no 1903. gada – civildienesta guberņas sekretārs, no 1904. gada – kolēģijas sekretārs, no 1908. gada – titulārais padomnieks, no 1911. gada – kolēģijas asesors, no 1915. gada – galma padomnieks). 1904. gadā komandēts izpildīt izmeklēšanas tiesneša pienākumus Liepājā, Aizputē, Grobiņā un prokurora biedra vietas izpildītājs Liepājā un Aizputē. Revolūcijas norišu laikā, 10.1905., bijis piekomandēts Liepājas pilsētas 1. iecirkņa izmeklēšanas tiesnesim lietā par laupīšanas uzbrukuma izmeklēšanu Starptautiskās tirdzniecības bankas Maskavas nodaļai. No 03.1906. – Liepājas apgabaltiesas notārs Ventspilī, no 12.1906. – vecākais tiesamatu kandidāts Vitebskas apgabaltiesā, no 1907. gada pildījis izmeklēšanas tiesneša pienākumus Ludzā. 1911. gadā pārcelts tādā pašā amatā uz Daugavpili (amatā līdz 12.1917., kad lielinieku varas apstākļos tiesu iestādes likvidētas). Vācu okupācijas laikā, 1918. gadā, bijis Rēzeknes miertiesnešu sapulces prokurors.

1918. gada nogalē, tuvojoties Sarkanajai armijai, no Latgales pārcēlies uz Rīgu. No 19.12.1918. – Latvijas Republikas Tiesu palātas prokurors, 1919. gada janvāra sākumā kopā ar Pagaidu valdību devies uz Liepāju. 18.01.1919.–25.03.1919. – Pagaidu valdības tieslietu komisārs ar ministra pilnvarām (tieslietu resora pārzinātājs tieslietu ministra un viņa biedra prombūtnē). 18.02.1919. iecelts par komisijas priekšsēdētāju izmeklēšanai par vācu izdarīto civiliedzīvotāju nošaušanu frontes tuvumā. Pēc vāciešu realizētā 16.04. apvērsuma maijā nedēļu atradās apcietinājumā, pēc tam uzturējis sakarus (braukājot ar laivu) starp Pagaidu valdību uz tvaikoņa “Saratov” klāja un amatpersonām, kā arī ārvalstu misiju pārstāvjiem pilsētā. 08.07.1919. kopā ar valdību atgriezās Rīgā. No 07.1919. – Tautas padomes loceklis Latgaliešu frakcijā. Darbojies Amnestijas, Juridiskajā, Redakcijas, Satversmes, Satversmes sapulces centrālajā vēlēšanu un Sevišķās amnestijas komisijā. 08.10.1919. iecelts par locekli komisijā, kas izstrādāja pamiera noteikumus ar Padomju Krieviju un iespējamai sarunu vešanai, 01.03.1920. iecelts arī par Prīžu tiesas prokuroru. 1922. gadā kandidējis 1. Saeimas vēlēšanās no Kristīgās nacionālās savienības saraksta (nav ievēlēts). Saistībā ar iekšēju konfliktu 12.1922. atbrīvots no prokurora amata Tiesu palātā sakarā ar iecelšanu par Senāta virsprokurora biedru, atteicās amatu pieņemt. Bija lauksaimnieks sev piešķirtajā jaunsaimniecībā Kandavas pagasta Līgās (bijusī Līgu muiža), privātadvokāts (02.1928. piešķirtas tiesības vest lietas Jelgavas apgabaltiesā). No 02.1924. darbojās Nacionālās zemnieku savienības vadībā, partijas valdes priekšsēdētājs. 1925.–1928. gadā – 2. Saeimas deputāts no Nacionālās zemnieku savienības saraksta, 1925.–1928. gadā arī Lāčplēša Kara ordeņa domes loceklis. 1928. gadā kandidējis 3. Saeimas vēlēšanās no Vislatvijas tautas sapulces saraksta (nav ievēlēts). 01.–03.1930. – miertiesnesis Latgales apgabaltiesā. No 18.03.1930. – Latgales apgabaltiesas loceklis Daugavpilī, strādājis 2. kriminālnodaļā. 1931. gadā kandidējis Daugavpils pilsētas domes vēlēšanās no Karavīru un latvju pilsoņu saraksta (nav ievēlēts, taču 08.1932. apstiprināts par domes locekli dienestā uz Rīgu pārceltā Teodora Kalniņa vietā, 05.1933. izstājās). No 21.08.1937. pensijā, lauksaimnieks Kandavas pagasta Līgās, pēc kara saimniekoja kopā ar māsu Irmu Kvelbergu. Miris pēc otrreizējās padomju okupācijas.

K. Kvelbergs bija viens no ievērojamākajiem Latvijas valsts pirmo pastāvēšanas gadu juristiem, 1918.–1922. gadā bija Tiesu palātas prokurors, turklāt 01.–03.1919. Liepājā faktiski vadīja tieslietu resora izveidi un darbību sarežģītos apstākļos, pretdarbojoties vācu okupācijas varai un nodrošinot Latvijas Pagaidu valdības un tās iestāžu darbību. Darbojās arī Tautas padomē un 2. Saeimā. Profesionālā un sabiedriskā darbība lielā mērā saistījās ar Latgali, tāpēc uzskatāms arī par šī reģiona politisko un sabiedrisko darbinieku.