Dzimis pulksteņmeistara un adventistu draudzes sludinātāja ģimenē, mācījies Jelgavas 1. vidusskolā. 1946. gadā R. Ore iestājās Jelgavas mūzikas skolas klavieru klasē, pēc tās beigšanas iestājās mūzikas vidusskolas diriģentu klasē kordiriģēšanas nodaļā. 1949. gadā jaunietis mācības turpināja jau Jāzepa Mediņa Rīgas Mūzikas vidusskolas teorijas un kompozīcijas nodaļā, kur atklājās viņa lieliskā muzikālā atmiņa un absolūtā dzirde. Sekoja studijas Jāzepa Vītola Latvijas Valsts konservatorijas kompozīcijas klasē pie profesora, simfoniķa Jāņa Ivanova (1952–1957). Paralēli R. Ore aizrāvās ar džezu, veidoja džeza skaņuplašu kolekciju, sāka strādāt par skaņu režisoru (toņmeistaru) Latvijas Radio.

1957. gadā jaunajam skaņradim uzticēja veidot republikā pirmo estrādes orķestri pie Latvijas PSR Valsts Filharmonijas. Rīgas estrādes orķestra (REO) mākslinieciskais un muzikālais vadītājs R. Ore bija neilgu laiku, 1959. gadā komponistu iecēla par Rīgas skaņuplašu fabrikas “Melodija” māksliniecisko vadītāju. 1962. gadā R. Ore sāka pasniegt teorētiskos priekšmetus konservatorijā, aktīvi komponēja – sacerēja dažādu žanru skaņdarbus no estrādes dziesmām līdz mūzikai spēlfilmām. Viņa daiļrades raksturīga iezīme ir plastiskas, plaši attīstītas melodijas, simfoniska domāšana instrumentācijā, virtuozi stīgu aranžējumi. 

1966. gadā pēc R. Ores iniciatīvas un vairākkārtējas Maskavas priekšniecības pārliecināšanas tika izveidots Latvijas Radio estrādes un vieglās mūzikas orķestris. R. Ore kļuva par tā galveno diriģentu un māksliniecisko vadītāju, sākotnēji par kolektīva uzdevumu stādot publiskus koncertus, ne tikai studijas ierakstus. Orķestra darbībā aktīvi tika attīstīts simfodžeza žanrs, taču raženi iesākto apturēja negaidīts infarkts.

R. Ores 50. gadu svarīgāko darbu klāstā ir simfoniskie darbi “Tīreļa noslēpums” (1957) un kantāte “Uz saulaino tāli” (1956), instrumentālās miniatūras (“Nodzeltējušās lapas,” “Dziesma bez vārdiem” u. c.) un estrādes dziesmas, no kurām populārākās bija “Pavasara dziesmiņa”, “Studentu ugunskura dziesma”, “Puķu pārdevējas dziesmiņa”, kas izdotas skaņuplatēs. 60. gados to skaitam piepulcējas “Zilās naktis”, “Es ticu, draugs” un citas; mūzika spēlfilmām “Hipokrāta zvērests” (režisore Ada Neretniece, 1965), “Kapteiņa Enriko pulkstenis” (režisori Jānis Streičs un Ēriks Lācis, 1967) un citām; balets “Varavīksne” (1963); svīta simfoniskajam orķestrim “Suitu dejas” (1965). Rakstījis arī mūziku teātra izrādēm: franču dramaturga Prospēra Merimē (Prosper Mérimée) lugai “Sieviete – debess un elle” Latvijas Nacionālajā teātrī (režisors Alfreds Jaunušans, pirmizrāde 1964. gadā), Gunāra Priedes lugai “Pa valzivju ceļu” Dailes teātrī (režisors Pēteris Pētersons, 1965).

R. Ore džeza un simfodžeza žanru attīstīja vēstures periodā, kad šī mūzika tikai meklēja ceļu uz oficiālo skatuvi. Tieši viņa vadībā darbu sāka abi profesionālie estrādes (džeza) orķestri Latvijā – Rīgas estrādes un Latvijas Radio un Televīzijas Vieglās un estrādes mūzikas orķestris. R. Ores sacerētās dziesmas pieskaitāmas spilgtākajām estrādes mūzikas lappusēm, instrumentālie darbi izceļas ar izciliem, meistarīgiem aranžējumiem. Arī 21. gs. R. Ores darbi skanējuši koncertos, joprojām populāras ir vairākas viņa estrādes dziesmas. Dažas no tām izdotas CD izlasēs, arī pārskaņotas.