Dzimis pulksteņmeistara un adventistu draudzes sludinātāja ģimenē, mācījies Jelgavas 1. vidusskolā. 1946. gadā R. Ore iestājās Jelgavas mūzikas skolas klavieru klasē, pēc tās beigšanas iestājās mūzikas vidusskolas diriģentu klasē kordiriģēšanas nodaļā. 1949. gadā jaunietis mācības turpināja jau Jāzepa Mediņa Rīgas Mūzikas vidusskolas teorijas un kompozīcijas nodaļā, kur atklājās viņa lieliskā muzikālā atmiņa un absolūtā dzirde. Sekoja studijas Jāzepa Vītola Latvijas Valsts konservatorijas kompozīcijas klasē pie profesora, simfoniķa Jāņa Ivanova (1952–1957). Paralēli R. Ore aizrāvās ar džezu, veidoja džeza skaņuplašu kolekciju, sāka strādāt par skaņu režisoru (toņmeistaru) Latvijas Radio.