Teodora vecāki bija mūzikas mīļotāji, tēvs Kārlis strādāja par deģi spirta fabrikā, mamma Minna – mājkalpotāja. Astoņu gadu vecumā zēns sāka apgūt vijoļspēli. Pēc tēva nāves viņš 1914. gadā iestājās Zīgerta Rīgas Pirmajā mūzikas institūtā, kur mācījās divus gadus. Pirmā pasaules kara laikā Teodors ar māti devās uz Kandavu, kur izglītojās, līdz skolu evakuēja uz Staraju Rusu. Tur 1916. gadā jaunietis sāka profesionāla mūziķa gaitas – Teodors sēdās pie otrās vijoļu pults vietējā orķestrī, mācījās vidusskolā.
1918. gada rudenī, pēc divu vasaru ilgas pilsētas simfoniskā orķestra mūziķa pieredzes, T. Vējš atgriezās Rīgā, turpināja skoloties Zīgerta mūzikas institūtā, kā arī skolotāju sabiedrības (G. Odiņa) tirdzniecības un komercskolā. Vakaros jauneklis muzicēja kinoteātra “Kolizejs” orķestrī, 1920. gadā iestājās Latvijas konservatorijā (profesora Edmunda Lučini klase), pēc viņa nāves pārgāja mācīties pie Ādolfa Meca.
06.10.1945. T. Vējš salaulājās ar Margaritu (Margrietu) Rulliņu, 1949. gadā piedzima dēls Andris.