Teodora vecāki bija mūzikas mīļotāji, tēvs Kārlis strādāja par deģi spirta fabrikā, mamma Minna – mājkalpotāja. Astoņu gadu vecumā zēns sāka apgūt vijoļspēli. Pēc tēva nāves viņš 1914. gadā iestājās Zīgerta Rīgas Pirmajā mūzikas institūtā, kur mācījās divus gadus. Pirmā pasaules kara laikā Teodors ar māti devās uz Kandavu, kur izglītojās, līdz skolu evakuēja uz Staraju Rusu. Tur 1916. gadā jaunietis sāka profesionāla mūziķa gaitas – Teodors sēdās pie otrās vijoļu pults vietējā orķestrī, mācījās vidusskolā.

1918. gada rudenī, pēc divu vasaru ilgas pilsētas simfoniskā orķestra mūziķa pieredzes, T. Vējš atgriezās Rīgā, turpināja skoloties Zīgerta mūzikas institūtā, kā arī skolotāju sabiedrības (G. Odiņa) tirdzniecības un komercskolā. Vakaros jauneklis muzicēja kinoteātra “Kolizejs” orķestrī, 1920. gadā iestājās Latvijas konservatorijā (profesora Edmunda Lučini klase), pēc viņa nāves pārgāja mācīties pie Ādolfa Meca.

06.10.1945. T. Vējš salaulājās ar Margaritu (Margrietu) Rulliņu, 1949. gadā piedzima dēls Andris.

1926. gadā T. Vējš absolvēja Latvijas konservatoriju ar Kamila Sensānsa (Charles Camille Saint-Saëns) vijolkoncerta atskaņojumu, bija filistrs konservatorijas audzēkņu korporācijā “Līgusonis”. T. Vējš kā valsts stipendiāts papildinājās pie profesora Otakara Ševčīka (Otakar Ševčík) Čehijā (1926–1928), apguva čehu valodu. 20. gadu 2. pusē T. Vējš kā vijolnieks sāka uzstāties radiofonā, sniedza solokoncertus. Profesionālā līmeņa paaugstināšanas nolūkā viņš devās arī uz Parīzi (1930), Berlīni (1931).

Jau kā students sācis spēlēt operteātra orķestrī, T. Vējš 1925. gadā kļuva par Latvijas Nacionālās operas orķestra koncertmeistaru, šo amatu bez pārtraukuma pildīja no 1929. līdz 1944. gadam. Līdztekus vijolnieks uzņēmās Otto Švarca kafejnīcas kapelas jeb orķestra vadītāja pienākumus.

Sākot ar 1928. gadu, T. Vējš stājās pie diriģenta pults atklātos koncertos, sākotnēji kā Leonīda Vīgnera asistents-koncertmeistars. Diriģēšanu mūziķis apguva pašmācības ceļā, uzstājās lielākoties atpūtas sarīkojumos Rīgas un Jūrmalas vasaras estrādēs; repertuārā bija galvenokārt operešu mūzika. 30. gados T. Vējš diriģēja orķestrus arī Liepājā, Jelgavā, koncertos sniedza arī solopriekšnesumus – bija solists Johannesa Brāmsa (Johannes Brahms), Volfganga Amadeja Mocarta (Wolfgang Amadeus Mozart), Antonīna Dvoržāka (Antonín Leopold Dvořák) vijolkoncertu atskaņojumos. T. Vēja daiļskanīgā un izsmalcinātā vijolspēle tika cildināta Latvijas presē. 1937. gada vasarā Ķemeros notika vijolnieka un diriģenta benefices koncerts, tajā pirmoreiz Latvijā tika atskaņota Džordža Gēršvina (George Gershwin) “Zilā rapsodija” (Rhapsody in Blue).

1931. gadā darbu sāka skaņuplašu fabrika Bellaccord-Electro. T. Vējš komplektēja un vadīja to mūziķu sastāvu, kas skaņuplatēs minēts kā Bellaccord orķestris (T. Vēja salona, T. Vēja džessa orķestris u. c.) un piedalījās apmēram trešdaļā no Helmāra Rudzīša fabrikas plašu ieskaņojumiem. Orķestra sastāvam viņš piesaistīja stīgu grupu no Operas orķestra, bet pūtējus – no vadošo restorānu mūziķu vidus. Ierakstos T. Vējš sadarbojās ar solistiem Jāni Āri, Marisu Vētru, Paulu Saksu, Alfrēdu Poriņu un citiem. Skaņuplatēs izdoti mūziķa ieskaņotie A. Dvoržāka, Frica Kreislera (Fritz Kreisler) u. c. autoru skaņdarbi vijolei

30. gadu 2. pusē T. Vējš debitēja kā diriģents Latvijas Nacionālajā operā (LNO), diriģēja baleta izrādes: Ludviga Minkusa (Ludwig Minkus) “Dons Kihots (Don Quixote), Leo Delība (Clément Philibert Léo Delibes) “Kopēlija” (Coppélia ou La Fille aux yeux d’émail), Čezāres Punji (Cesare Pugni) un Rikardo Drigo (Riccardo Eugenio Drigo) “Esmeralda” (Esmeralda), Frīdriha fon Flotova (Friedrich Adolf Ferdinand Freiherr von Flotow) operu “Marta” (Martha, oder Der Markt zu Richmond), Bedržiha Smetanas (Bedřich Smetana) “Pārdoto līgavu” (Prodaná nevěsta). 1938. gadā T. Vējam izdevās īstenot Ferenca Lehāra (ungāru Ferenc Lehár, vācu Franz Lehar) operetes “Grāfs Luksemburgs” (Der Graf von Luxemburg) iestudējumu LNO.

Otrā pasaules kara laikā T. Vējš turpināja vijolnieka un koncertmeistara darbu LNO orķestrī, ar to uzstājās arī koncertos, iestudēja koncertprogrammas ar operas solistiem, sniedza koncertus radio. 1944. gadā operteātri slēdza, mūziķis devās uz Kuldīgu, kur kļuva par vienu no mūzikas skolas dibinātājiem, strādāja par vijolspēles pedagogu, viņa vārds minēts saistībā ar Ventspils simfoniskā orķestra dibināšanu.

06.1945. T. Vējš sāka strādāt radiofonā, vispirms kā vijolnieks – orķestra koncertmeistars, gadu vēlāk viņu iecēla par simfoniskā orķestra diriģentu. T. Vējš kļuva par radio stīgu kvarteta (Gastons Brahmanis, Bernhards Tiltiņš, Ernests Bertovskis) pirmo vijolnieku un vadītāju; tajā T. Vējš spēlēja līdz 1949. gadam. 1946. gadā mūziķi iecēla par Muzikālās komēdijas teātra galveno diriģentu, viņš debitēja Borisa Aleksandrova (Борис Александрович Александров) operetē “Mana skaistule” (“Mana Gizela”, Моя Гюзель).

1947. gadā teātrī samazināja štatus, T. Vējš radiofonā uzņēmās vadīt vieglās un populārās mūzikas orķestri. Viņa vadībā radio skanēja operu un operešu fragmenti, kā arī radiomontāžas, piemēram, Johana Štrausa, dēla (Johann Baptist Strauss, Sohn) operete “Čigānu barons” (Der Zigeunerbaron). 1949. gadā mūziķi atkārtoti iecēla par Muzikālās komēdijas teātra galveno diriģentu.

Muzikālās komēdijas (Operetes) teātrī T. Vēja vadībā tapa apmēram 50 uzvedumu. To vidū bija klasiskās operetes – J. Štrausa, dēla “Sikspārnis” (Die Fledermaus), “Pie zilās Donavas” (An der schönen blauen Donau) un “Čigānu barons”, Emeriha (Imres) Kālmāna (Emmerich Kálmán) “Monmartras vijolīte” (Das Veilchen vom Montmartre), “Cirka princese” (Die Zirkusprinzessin), “Silva” (Die Csárdásfürstin) u. c.; padomju autoru darbi – Konstantīna Ļistova (Константин Яковлевич Листов) “Koralina” (Кораллина) un “Sapņotāji” (Мечтатели), Jurija Miļutina (Юрий Сергеевич Милютин) “Trembita” (Трембита) u. c., latviešu autoru oriģināldarbi – Arvīda Žilinska muzikālā komēdija “Zilo ezeru zemē”, Nikolaja Zolotonosa “Kad Ādams atvaļinājumā” u. c. Diriģenta veikums tika cildināts recenzijās.

Turpinājās T. Vēja sadarbība ar radiofonu, skaņu studijā viņa vadībā tika ierakstīts daudz operešu mūzikas fragmentu, diriģents centās operetes žanram piesaistīt jaunos, talantīgos dziedoņus. Tieši viņš uz Muzikālās komēdijas teātri 1950. gadā atveda Edgaru Zveju, 50. gadu beigās mudināja specializēties operetes žanrā tenoru Jāni Zāberu, viņa priekšnesumā radio ieskaņoti fragmenti no Robēra Planketa (Robert Planquette) operetes “Korneviļas zvani” (Les Cloches de Corneville), “Kad Ādams atvaļinājumā” kopā ar T. Vēja vadīto ansambli. Mūziķa sastādītais ansamblis ar solistiem ieskaņoja mūziku vairākām raidlugām, radioiestudējums “Sniegbaltītes skola” (1954) izdots skaņuplatē (1968), nenorādot diriģenta uzvārdu.

11.1962. T. Vēju nozīmēja par diriģentu Elgas Igenbergas estrādes operetes “Annele” jauniestudējumā. Decembrī Kultūras ministrija ideoloģisku iemeslu dēļ no darba atbrīvoja Muzikālās komēdijas teātra vadību, T. Vējš steigšus pensionējās, turpinādams diriģēt dažas paša iestudētās izrādes.

Mūziķim bija ļoti plašs draugu loks, viņš bija iemīļots un cienīts kolēģu vidū, vijolniekam skaņdarbu “Klusā stundā” (1942) veltīja komponists Jānis Mediņš, 60. jubilejā dziesmu “Dārzs un ziedi” (Ārija Elksne) uzdāvināja komponists Jānis Ķepītis.

T. Vējš izcēlās ar ārkārtēju darbīgumu visās savas daiļrades nozarēs – vijolspēlē, diriģēšanā, aranžēšanā, kolektīvu vadīšanā, un ikvienā no tām sasniedza visaugstākās mākslinieciskās kvalitātes. Kā vijolnieks – solists T. Vējš uzstājās koncertos klātienē un radiofonā, ilgus gadus bija teicams orķestra mākslinieks – koncertmeistars LNO orķestrī, pirmā vijole radiofona stīgu kvartetā. Patstāvīgi apguvis diriģēšanas tehniku, viņš to noslīpēja, vadot salonmūzikas orķestrus, komplektēja to sastāvus, piedalījās skaņuplašu ierakstos, stājās simfonisko orķestru priekšgalā, vadīja iestudējumu tapšanu, diriģēja izrādes vispirms LNO, vēlāk Muzikālās komēdijas teātrī.

20. gs. 50. un 60. gados T. Vēju Latvijā vienbalsīgi atzina par “operetes žanra speciālistu”. Viņa vadībā teātra trupa darbojās saskanīgi un saliedēti, diriģents daudz uzmanības veltīja jauno kadru ienākšanai trupā. Savos iestudējumos T. Vējš kategoriski vairījās no lētuma skanējumā, bija prasīgs, vienlaikus taisnīgs, saglabāja klasisko operešu iestudējumu muzikālās tradīcijas. Pārlieku liels ārzemju operešu skaits repertuārā bija viens no viņa atlaišanas – pensionēšanās iemesliem.

1939. gadā koncertmeistars un vijolnieks apbalvots ar Atzinības krustu, V šķira. 1955. gadā pēc “Zilo ezeru zemē” iestudējuma veiksmes T. Vējam piešķīra LPSR Nopelniem bagātā mākslas darbinieka goda nosaukumu. Par darbu Muzikālajā teātrī saņemti vairāki goda un pateicības raksti, to vidū par veiksmīgām teātra viesizrādēm Murmanskā, Permā un citur.