Dzimis mežsarga Reiņa Felsberga ģimenē. Mācījās Nēķina pagasta skolā (1877–1879), Dzērbenes draudzes skolā (1879–1880), Cēsu apriņķa skolā (1881–1882). 05.1888. E. Felsbergs nokārtoja pagasta skolas skolotāja, 1890. gadā – draudzes skolas skolotāja pārbaudījumu. Mācījās skolotāju kursos Nēķinā (1892), apguva ģermāņu valodas Tērbatas Universitāte (mūsdienās Tartu Universitāte, Tartu Ülikool; 1895–1896). 1897. gadā kā eksternis beidza Rīgas Aleksandra ģimnāziju. No 1897. gada rudens studēja klasisko filoloģiju Tērbatas Universitātē (05.1901. beidza). 1900. gadā Tērbatas Universitātes Filoloģijas fakultāte par zinātnisku darbu E. Felsbergam piešķīra zelta medaļu. Studēja Pēterburgas Universitātē (1901), Berlīnes Universitātē (1903–1904). 1904. gadā nokārtoja maģistra eksāmenu Tērbatas Universitātē. 1910. gada vasarā mācījās arheoloģiju Berlīnes, Drēzdenes, Minhenes un Vīnes muzejos.

E. Felsbergs Pēterburgā iepazinās ar tur strādājoša angļu tirgotāja meitu Ģertrūdi Koutsu (Lucy Gertrude Coates) un 1906. gadā izveidoja ģimeni. Dēli – Alberts Ernests Rihards (1908–1975) – ārsts, Aleksandrs (1911–1944; gāja bojā Drēzdenes bombardēšanā), meita Lūcija Beatrise Felsberga-Bērziņa (1907–1999) – LU lektore, Baltijas Universitātes asociētā profesore, literāte. Mazdēls Guntis Bērziņš – mecenāts un politiķis.

Pēc apriņķa skolas beigšanas E. Felsbergs strādāja sava patēva un tēvabrāļa Krišjāņa Felsberga saimniecībā (1882–1884). Palīgskolotājs Nēķina (1884–1885), Vecpiebalgas pagasta Veļķu skolā (1885–1888) un Līksnā pie Daugavpils (1888–1892). Mājskolotājs mācītāja Karla Frīdriha Štolla (Karl Friedrich Stoll) ģimenē Liepkalnē (1892–1895), mājskolotājs Ogres muižas īpašnieka Pētera fon Pandera (Peter von Pander) ģimenē (1896–1897), pēc tam mājskolotājs Dricānos (Rēzeknes apriņķī). Krāja latviešu tautasdziesmas, kuras ar pseidonīmu Klintskalnu Ernests iesūtīja Rīgas Latviešu biedrībai.

Studiju laikā E. Felsbergs iesaistījās latviešu studentu korporācijas “Lettonia” darbībā. Arī studiju laikā strādāja par mājskolotāju, vasarās – mājskolotājs Krievijā, Orlas un Poltavas guberņā, Pēterburgā, Pleskavas guberņā. Piekomandēts Pēterburgas Universitātei. Audzinātājs grāfienes Margaritas Stenbokas-Fermoras (Barbara Margareta Christina Stenbock-Fermor) ģimenē Carskoje Selo (1901–1904), pie Pēterburgas. 1905. gadā mācīja latīņu un grieķu valodu Hugo Trefnera ģimnazijā (Hugo Treffneri Gümnaasium) Tērbatā un ieguva tiesības pasniegt lekcijas universitātē (privātdocents). Pasniedza Tērbatas Universitātes Filoloģijas fakultātē Senās Grieķijas un Senās Romas vēsturi un mākslu (no 1906. gada), grieķu un romiešu vēsturi Augstākajos sieviešu kursos Tērbatā (no 1908. gada). Kā privātdocents pasniedza stundas Tērbatas ģimnāzijās.

04.1910. gadā E. Felsbergs ieguva maģistra grādu (disertācija “Brāļi Grakhi“, Братья Гракхи). 09.1910. viņu ievēlēja profesora amatā Filoloģijas un arheoloģijas katedrā. Pēc profesora Vladimira Malmberga (Владимир Константинович Мальмберг; E. Felsbergs bija vairāku viņa grāmatu līdzautors) pārcelšanās uz Maskavu Tērbatas Universitātes Mākslas muzeja direktors (no 1911. gada). 1911. gadā viņš apceļoja Itāliju un Grieķiju. 06.1917. aktīvi iesaistījās Latvijas 2. skolotāju kongresa darbā Tērbatā, vadīja Augstskolas sekciju.

 02.1918. kopā ar universitāti E. Felsbergs evakuējās uz Voroņežu. Vadīja Voroņežas guberņas muzeja mākslas nodaļu un lasīja lekcijas Voroņežas konservatorijā, Skolotāju institūtā. 03.1920. E. Felsbergs saslima ar tīfu. 05.1920. viņš ar ģimeni no Voroņežas cauri Maskavai devās atpakaļ uz Latviju. Pusotru mēnesi E. Felsbergs atradās lielinieku varas apcietinājumā kā ķīlnieks Veļikije Luku cietumā.

17.08.1920. E. Felsbergs atgriezās Latvijā. Bija Latvijas Augstskolas (vēlākās LU) Filoloģijas un Filozofjas fakultātes klasiskās filoloģijas un mākslas profesors, lasīja lekcijas Senās Grieķijas vēsturē, Senās Grieķijas un Senās Romas mākslas vēsturē, klasiskajā filoloģijā u. c. priekšmetos. 03.09.1920. ar Ministru kabineta lēmumu tika apstiprināts par Latvijas Augstskolas pagaidu rektoru. Organizēja LU Mākslas kabinetu. LU rektors (14.09.1921.–01.07.1923.), lasīja lekcijas arī Latvijas Mākslas akadēmijā.

E. Felsbergs bija 1. Saeimas deputāts no Demokrātiskā centra partijas (1922–1925; no 1924. gada darbojās kā ārpus partijām jeb frakcijām esošs deputāts), Saeimas Izglītības komisijas priekšsēdētājs. 1923. gadā no LU viņu iecēla par Izglītības ministrijas Pieminekļu valdes kolēģijas locekli, taču noslodzes dēļ no amata atteicās. Izglītības ministrs Hugo Celmiņa kabinetā (19.12.1924.–04.03.1925.).

08.1923. E. Felsbergs pārstāvēja valsti parlamentāriešu konferencē Kopenhāgenā un 12.1923. – III Intelektuālās kopdarbības konferencē Parīzē, 09.1927. – starptautiskajā filologu kongresā Getingenā. Latviešu filologu biedrības priekšnieka Jāņa Endzelīna biedrs; darbojās Zigfrīda Annas Meierovica kapa pieminekļa konkursa komisijā (1926–1927) un citur. 1925. gadā zinātniskos nolūkos apmeklēja Itāliju un Grieķiju, Atēnās iegūstot vairākus Senās Grieķijas mākslas eksponātus sevis izveidotajam LU Mākslas kabinetam. LU goda doktors klasiskajā filoloģijā (no 03.1928.), 1928. gadā E. Felsbergam piešķīra Kultūras Fonda godalgu par darbu “Grieķu vāžu gleznas”. Bija studentu koporācijas “Lettonia” filistrs, studenšu korporāciju “Daugaviete” un “Dzintra” goda filistrs. Daudzu zinātnisku rakstu un grāmatu autors. 1927. gadā E. Felsbergs saslima ar labdabīgu smadzeņu audzēju, kas izraisīja aklumu.

E. Felsbergs bija pirmais latviešu zinātnieks – Senās Grieķijas mākslas vēsturnieks, gūstot arī starptautisku atpazīstamību. Savā profesionālajā darbībā zināmā mērā iemiesoja Latvijas starpkaru periodam raksturīgo priekštatu par latvieša ceļu savā izaugsmē ar uzcītību un darbu no vienkārša zemnieka dēla līdz profesoram un augsta līmeņa administratoram Latvijas Republikā, turklāt E. Felsbergs demonstrēja patiesi augstus rādītājus zinātnē. E. Felsbergs tieši piedalījās un kā pirmais LU rektors vadīja galvenās Latvijas augstskolas izveidošanu, piedalījās tās darbības sakārtošanā, pirmkārt LU Satversmes izveidošanā, 1. Saeimā aktīvi pārstāvēja LU intereses, piedalījās un vadīja visas Latvijas izglītības sistēmas attīstību kā Saeimas Izglītības komisijas vadītājs un arī izglītības ministrs.

E.  Felsbergs par nopelniem izglītības sistēmas izveidošanā un zinātniskajā darbībā apbalvots ar Latvijas Triju Zvaigžņu ordeni, III šķira.

1999. gadā mazdēls G. Bērziņš izveidoja Profesora E. Felsberga piemiņas stipendiju, kuru LU Fonds piešķir izciliem, akadēmiski un sabiedriski aktīviem studentiem no humanitāro zinātņu fakultātēm.