Dzimis zemnieka un kalēja Staņislava Baško daudzbērnu ģimenē, beidzis Jāsmuižas pagasta skolu, Preiļu tautskolu, pēc tam pārcēlās pie brāļa Kazimira Bjalistokā. No 1904. gada mācījās Bjalistokas reālskolā un 1908. gadā to beidza; 1908. gadā iestājās Vladimira karaskolā Sanktpēterburgā (beidzis 1910. gadā). No 10.1911. mācījās Virsnieku gaiskuģniecības skolā Gatčinā (Офицерская воздухоплавательная школа, Гатчина) un 09.1912. beidza šīs skolas virsnieku klasi, no 03.1913. mācījās tās pašas skolas Aviācijas nodaļā un 11.1913. to beidza. 1929. gadā beidzis Latvijas armijas Kara akadēmisko kursu astoņu mēnešu kursus.

Dzīvesbiedre Jevdokija, dzimusi Kirikova, dēls Jāzeps Kazimirs – ārsts, kritis frontē kā latviešu leģiona ārsts leitnants, dēls Juliāns Baško – inženieris, Latvijas aviācijas vēstures entuziasts, meita Regīna, precējusies Baltkāja – bioloģe, pēc kara latviešu sabiedriskā darbiniece Amerikas Savienotajās Valstīs (ASV), mazdēls Jāzeps Baško – ķirurgs, Rīgas Stradiņa universitātes profesors.

No 08.1910. jaunākais virsnieks (podporučiks) 13. sapieru bataljonā Smoļenskā, no 10.1912. – 7. gaiskuģniecības rotā Kijivā, gaiskuģniecības klases apmācošais virsnieks. Pēc Virsnieku gaiskuģniecības skolas beigšanas 1913. gadā kara lidotājs, uz gadu piekomandēts šai skolai, rotas jaunākais virsnieks. Poručiks (10.1913.), štābkapteinis (07.1915.), kapteinis (10.1916.), apakšpulkvedis (06.1917.), pulkvedis (08.1917.). No 04.1914. virsnieks Kauņas cietokšņa gaiskuģniecības rotā, vadāmā aerostata “Jastreb” komandiera palīgs. Sākoties Pirmajam pasaules karam, 07.1914. iecelts par 13. gaiskuģniecības rotas signālstacijas priekšnieku, 10.1914. piekomandēts gaisa kuģu eskadriļai iecelšanai amatā kādā no gaisa kuģa “Iļja Muromec” komandām un 10.1914. iecelts par gaisa kuģa “Iļja Muromec Kijevskij” komandiera palīgu. No 26.12.1914. eskadriļa darbojās 1. un 2. armijas frontē pret Vācijas armiju Polijā ar bāzi Jablonnā. 04.1915. iecelts par gaisa kuģa komandiera vietas izpildītāju (apstiprināts amatā 06.1915.), 05.1915. veica pārlidojumu no Jablonnas uz jauno kaujas bāzi uz laiku ieņemtajā Ļvovā, līdz 07.1915. darbojās 3. armijas frontē. 18.07.1915. gaisa kaujā ar trim ienaidnieka lidmašīnām ievainots labajos deniņos, labajā ausī un labajā celī, 24.07.1915. evakuēts ārstēšanai uz Petrogradu. 09.1915. atgriezās karaspēka daļā Lidā. 13.10.1915.–21.10.1915. ar gaisa kuģi atradās Ziemeļu frontes Rīgas sektorā (12. armijas sastāvā), kur kaujas bāze bija Siguldā. 12.1915. iedalīts Gaisa kuģu eskadriļas 1. kaujas vienībā 7. armijas frontē, 17.04.1916. iecelts par eskadriļas 3. kaujas vienības priekšnieku, bet 20.04.1916. paceļoties cieta avārijā un guva smadzeņu satricinājumu un ķermeņa kontūzijas. 06.1916.–04.1917. vienības sastāvā piedalījās kaujā Rietumu frontē. Kopumā Krievijas armijā veica 81 kaujas lidojumu. 3. kaujas vienības karavīru kopsapulcē 01.1918. ievēlēts par nodaļas priekšnieku un vienlaikus par aeroplāna “Iļja Muromec Kijevskij” komandieri. 20.02.1918. veica pārlidojumu no Staņkovas uz Babrujsku, bet 21.02.1918., Krievijas armijas daļām vispārējā haosā bēgot no Baltkrievijas teritorijas sakarā ar Vācijas armijas tuvošanos, nosēdās 1. poļu korpusa kontrolētajā teritorijā, ieskaitīts korpusā, kur bija lidotājs. 23.05.1918., sākoties vācu karaspēka veiktajai korpusa atbruņošanai, kopā ar vairākiem poļu virsniekiem lidmašīnā bēga uz Krieviju un pēc piecu stundu lidojuma cieta avāriju Juhnovas apriņķī Smoļenskas guberņā, piedzīvojot vispārēju ķermeņa kontūziju. Vietējo varasiestāžu arestēts kā “spiegs”, 01.06.1918. aizvests uz Maskavu, kur pēc mēneša atbrīvots kā “virsnieks ar strādnieku un zemnieku izcelsmi”. 08.07.1918. iecelts par Sarkanās armijas gaisa kuģu Ziemeļu grupas pavēlnieku, 09.1918. uzsāka tās formēšanu. 11.1918. Aviācijas grupas sastāvā devās uz fronti, iecelts par lidotāju instruktoru, līdz 02.1919. arī grupas komandiera amatā. 04.1919. grupa pārdēvēta par gaisa kuģu “Iļja Muromec” divizionu, 08.1919.–10.1919. vienības komandieris Dienvidu frontē, pēc tam atgriezās divizionā, no 01.1920. diviziona tehniskās daļas priekšnieks. No 11.1919. arī aeronavigācijas pasniedzējs Aviācijas skolā. 05.1921. Stavropolē atvaļināts kā Latvijas pilsonis.

23.06.1921. ar ģimeni atgriezās Latvijā. No 22.07.1921. Latvijas armijā bija Aviācijas diviziona Aviācijas skolas brīva līguma teorijas instruktors. No 09.10.1921. atradās aktīvajā karadienestā (pulkvedis), bija Aviācijas diviziona tehniskās nozares vadītājs. No 16.03.1923. bija Aviācijas diviziona komandieris (29.09.1926. divizions pārdēvēts par pulku). 17.09.1929. iecelts par Tehniskās divīzijas štāba priekšnieku un aviācijas inspektora vietas izpildītāju, 27.11.1933.–01.02.1935. bija Elektrotehniskā diviziona komandiera vietas izpildītājs. No 01.02.1935. atkal Tehniskās divīzijas štāba priekšnieks, un no 05.10.1937. bija Sakaru bataljona komandiera vietas izpildītājs. 18.02.1938. iecelts par armijas aviācijas priekšnieku. Ģenerālis (10.05.1940.). Daudzkārt bijis dienesta komandējumos Polijā, Anglijā, Itālijā, Igaunijā, Čehoslovākijā, Francijā (t. sk. pārlidojumi). 10.1939. iecelts par komisijas locekli 05.10.1939. noslēgtajā Savstarpējā palīdzības paktā starp Latvijas Republiku un Padomju Sociālistisko Republiku Savienību paredzētajām sarunām kā militāro jautājumu speciālists. Bija militāro mācību iestāžu pasniedzējs, 1931.–1932. gadā militāri zinātnisku rakstu krājuma “Tehnikas Apskats”, 1935. gadā mēnešraksta “Militārais Apskats” redakcijas loceklis, 1934.–1935. gadā aviācijas veicināšanas žurnāla “Spārnotā Latvija” redakcijas vadītājs. Darbojās arī kā Aviācijas veicināšanas biedrības centrālās valdes priekšsēdētājs. Daudzu aviācijas jautājumiem veltītu rakstu autors presē.

Pēc Latvijas okupācijas 13.08.1940. atvaļināts slimības dēļ. Pārcēlās no Rīgas uz Latgali, dzīvoja savā saimniecībā Aizkalnes pagasta “Dienās”, nodarbojās ar lauksaimniecību un dārzkopību. 1943. gadā daļēji zaudēja redzi (ievainojumu un kontūziju sekas).

J. Baško bija viens no ievērojamākajiem latviešiem Krievijas kara aviācijā, Pirmā pasaules kara cīņās demonstrējot izcilas spējas un varonību. Vienīgais no septiņiem Svētā Jura ordeni un Jura zobenu saņēmušajiem latviešu tautības aviācijas virsniekiem, kurš apbalvots ar abiem šiem augstajiem apbalvojumiem. Latvijas armijā J. Baško vadīja Aviācijas diviziona (vēlāk pulka) galvenās bāzes izveidi Spilves lidlaukā Rīgā, likvidējot kara laika postījumus. J. Baško arī vadīja diviziona (pulka) apgādi un apmācību 1923.–1929. gadā, finansiālo iespēju robežās izveidojot to par modernu un kaujasspējīgu vienību kā tās komandieris. Arī turpmākajos gados bija cieši saistīts ar aviācijas attīstību, bet 1938.–1940. gadā to vadīja, būdams armijas aviācijas priekšnieks. Viens no ievērojamākajiem latviešu lidotājiem un Latvijas armijas aviācijas augstākajiem virsniekiem vēsturē.

27.05.1989. Rušonas pagasta Kastīrē atklāta J. Baško veltīta piemiņas plāksne. Pēc neatkarības atjaunošanas J. Baško piemiņa tiek neregulāri godināta dažāda veida pasākumos, piemēram, 08.01.2019. Latgales Kultūrvēstures muzejā. 2014. gadā laists klajā Ingas Ābeles romāns “Klūgu mūks”, kurā J. Baško ir viens no diviem galveno varoņu prototipiem (Jezups Sebalds), simbolizējot Latgales jaunieša tieksmi uz sasniegumiem latgaliešu nacionālās atmodas laikmetā. 2017. gadā romāns iestudēts Latvijas Nacionālajā teātrī (režisore Indra Roga).

Par dienestu miera laikā un Pirmā pasaules kara kaujās parādīto varonību J. Baško apbalvots ar Krievijas Svētā Jura zobenu, Svētā Jura ordeni (IV šķira), Svētā Staņislava ordeni (II šķira, ar šķēpiem; III šķira), Svētās Annas ordeni (II šķira, ar šķēpiem; III šķira; IV šķira), Svētā Vladimira ordeni (IV šķira, ar šķēpiem), Svētā Jura krustu (IV šķira, ar lauru lapām). Latvijā par dienestu un darbību apbalvots ar Triju zvaigžņu ordeni (III šķira), Viestura ordeni (II šķira), Aizsargu Nopelnu krustu, Igaunijas Ērgļa ordeni (III šķira; II šķira), Somijas Baltās Rozes ordeni (III šķira), Čehoslovākijas Baltās Lauvas ordeni (III šķira), Vatikāna Bonemerenti krustu (II šķira), Polijas “Polonia Restituta” ordeni (III šķira), Lietuvas Neatkarības 10 gadu jubilejas piemiņas medaļu.