Dzimis uzņēmēja, etiķa fabrikanta Karla Gotharda Vithofa un Amālijas Evelīnas Vithofas (dzimusi Štēslova, Stößlow) ģimenē. R. Vithofs mācījās Rīgas Biržas komercskolā. Pirms Pirmā pasaules kara apprecējās ar zviedru izcelsmes Somijas iedzīvotāju un pārcēlās uz dzīvi Tamperē, Somijā (tolaik Krievijas Impērijas sastāvā), kur strādāja ādu ģērētavā. Kara sākumā (1914) mobilizēts Krievijas armijā, guva ievainojumu un vairākus gadus pavadīja gūstā Vācijā, kur kopā ar vācu gūstā esošajiem Lielbritānijas pavalstniekiem nodarbojās ar boksu. Kara beigu posmā atbrīvots no gūsta, atgriezās Somijā. 20. gs. 20. gadu sākumā pārcēlās uz dzīvi Rīgā. 20. gs. 30. gados strādāja 1. Rīgas maizes fabrikā Aizsargu ielā 73 (tagad Bruņinieku iela) par ekspeditoru.

Aktīva sportista gaitas R. Vithofs uzsāka 1906. gadā Rīgā. Izcili startēja dažādās vieglatlētikas disciplīnās. Pirms Pirmā pasaules kara R. Vithofs kļuva par Krievijas Impērijas (Viskrievijas) čempionu kārtslēkšanā. Ar panākumiem startēja ātrslidošanā, arī dzīvodams Somijā – gan pirms, gan pēc Pirmā pasaules kara. R. Vithofs spēlēja arī futbolu; organizēja futbola norises Tamperē.

No 1922. gada R. Vithofs līdzdarbojās neatkarīgās Latvijas sportā. 1922. gadā viņš pārstāvēja Rīgas JKS (Jaunekļu kristīgā savienība; arī YMCA, Young Men’s Christian Association), bija Latvijas rekordists 100 metru skrējienā un desmitcīņā, vairākkārt laboja Latvijas rekordus kārtslēkšanā, kļuva par Latvijas čempionu kārtslēkšanā, pieccīņā un desmitcīņā, bija futbola tiesnesis. 1923. gadā R. Vithofs pārstāvēja Latvijas Sporta biedrību (LSB), ar panākumiem turpināja startēt dažādās vieglatlētikas sacensībās, tostarp starptautiskās sacīkstēs Gēteborgā (Zviedrijā), spēlēja Rīgas LSB rezervistu futbola komandā. 1924. gadā R. Vithofs trenēja Latvijas vieglatlētus dalībai vasaras olimpiskajās spēlēs Parīzē, kā arī bija piesaistīts par vieglatlētikas treneri vairākās sporta biedrībās. Jau 1923. gadā, kad R. Vithofs bija Latvijas Fiziskās izglītības institūta (LFII; tagad Latvijas Sporta pedagoģijas akadēmija) algots sporta skolotājs, viņš vairs nedrīkstēja brīvi piedalīties sporta sacīkstēs, jo saskaņā ar tā laika amatierisma principiem bija uzskatāms par profesionālu sportistu. Pēc tam, kad netika atrisināts jautājums par R. Vithofa profesionalitāti, viņš pameta t. s. pilsoniskās (labējās un centriskās) sporta organizācijas un 1924. gadā iesaistījās t. s. strādnieku sportā – iestājās sociāldemokrātu sporta organizācijā SSS (Strādnieku sporta savienība; no 1925. gada nosaukums – “Strādnieku sports un sargs”), kurā darbojās līdz pat tās slēgšanai 1933. gadā. Pēc tam, no 1933. līdz 1934. gadam, R. Vithofs darbojās sociāldemokrātu sporta organizācijā Strādnieku sporta biedrība “Cīņa” (SSB “Cīņa”).

R. Vithofs kļuva par vienu no vadošajiem SSS sportistiem un par SSS treneri dažādos sporta veidos, līdzdarbojās SSS un tās Rīgas Centra nodaļas sporta organizēšanas darbā. R. Vithofs gatavoja SSS sportistus dalībai t. s. strādnieku vasaras olimpiādēs Frankfurtē pie Mainas (1925) un Vīnē (1931); turklāt 1925. gada strādnieku olimpiādē pats kļuva par čempionu kārtslēkšanā. Bija Rīgas Ērgļu ielā (vēlāk J. Asara iela) esošās SSS Rīgas Centra nodaļas slidotavas pārzinis. R. Vithofs vadīja SSS ziemas sportistu, tostarp hokejistu, fiziskās sagatavotības treniņus. Bija SSS Vieglatlētikas komitejas un Ziemassporta komitejas vadītājs. R. Vithofs ar panākumiem startēja SSS ātrslidošanas sacensībās, bija daudzkārtējs SSS čempions, kā arī SSB “Cīņa” čempions ātrslidošanā. Piedalījās arī starptautiskajās ātrslidošanas sacensībās, tostarp strādnieku ziemas olimpiādē Mircušlāgā (Austrijā, 1931), sacīkstēs Berlīnē (1931), Helsinkos (1933), Maskavā (1934). R. Vithofs darbojās SSB “Cīņa” Ātrslidošanas un daiļslidošanas komisijā. 1926. gadā bija kļuvis par Latvijas Sociāldemokrātiskās strādnieku partijas biedru.

Neskatoties uz to, ka R. Vithofs no 1924. līdz 1934. gadam bija sociāldemokrātu jeb t. s. strādnieku sporta norišu dalībnieks, un sociāldemokrāti piekopa no pārējā Latvijas sporta savrupu darbību, nosodot kontaktus ar t. s. pilsonisko sportu, R. Vithofs šajā laika posmā epizodiski trenēja arī nesociāldemokrātu sportistus. 1932. gada vasarā R. Vithofs trenēja sporta biedrības “Union” vieglatlētus dalībai stafetes skrējienā Rīga–Majori. 1934. gada janvārī–februārī viņš tika algots kā Latvijas ātrslidotāju izlases treneris pirms Latvijas–Igaunijas valstu sacīkstēm ātrslidošanā.

Pēc SSB “Cīņa” slēgšanas (1934) R. Vithofs pilnībā iekļāvās Latvijas vienotā sporta darbā, kļuva par atzītu, pieprasītu ātrslidošanas, vieglatlētikas un sportistu vispārējās fiziskās sagatavotības treneri. No 1934. līdz 1940. gadam viņš bija Latvijas Ziemas sporta savienības (LZSS) algots Latvijas ziemas sportistu fiziskās sagatavotības treneris un Latvijas labāko ātrslidotāju treneris. Pirms ziemas sezonas sākšanās vadīja ziemas sportistu, arī Latvijas hokeja izlases spēlētāju, “sausos” treniņus un dažkārt arī pirmos ledus treniņus, bet ziemas sezonās specializējās ātrslidotāju trenēšanā. R. Vithofs sniedza būtisku ieguldījumu Latvijas izlases hokejistu sagatavošanā, gan rūpējoties par vispārēju fizisku gatavību, gan slidošanas prasmi, gan trenējot hokejistu tehniskās iemaņas.

Īpašu atzinību R. Vithofs izpelnījās kā Latvijas labāko ātrslidotāju treneris (1934–1940), tostarp novērtēts par sportistu sagatavošanu 1939. gada Eiropas ātrslidošanas čempionātam Rīgā. Slavenākais R. Vithofa audzēknis bija Eiropas ātrslidošanas čempions Alfons Bērziņš. Līdztekus tam R. Vithofs aktīvi darbojās sporta biedrībā “Latvijas Arodorganizāciju sports” (“LAS”), trenēja “LAS” vieglatlētus un ātrslidotājus, bija “LAS” Slidskriešanas jeb Ātrslidošanas sekcijas vadītājs. R. Vithofs bija arī citu sporta biedrību, tostarp “Reduta” un “Universitātes Sports”, vieglatlētikas un fiziskās sagatavotības treneris. R. Vithofs bija 02.1939. Rīgā aizvadītā Eiropas ātrslidošanas čempionāta skrejceļa ledus pārzinis.

Padomju okupācijas laikā (1940–1941) turpināja trenēt dažādu organizāciju sportistus, bija Sabiedrisko iestāžu darbinieku arodbiedrības (SIDA) pakļautībā esošo slidotāju treneris, Rīgas “Dinamo” Ātrslidošanas sekcijas un Vieglatlētikas sekcijas vadītājs, kā arī “Dinamo” treneris šajos sporta veidos.

1940./1941. gada sezonā R. Vithofs trenēja Rīgas ātrslidotājus un kopā ar viņiem devās uz sacīkstēm dažādās Padomju Sociālistisko Republiku Savienības (PSRS) pilsētās, t. sk. Ļeņingradā (tagad Sanktpēterburga), Tallinā, Gorkijā (tagad Ņižņijnovgoroda). R. Vithofs atklāti iebilda pret PSRS ātrslidošanas sacensību tiesāšanas un organizēšanas nepilnībām, nekorekto laika un distances fiksēšanu, par ko sezonas noslēgumā izpelnījās PSRS sporta vadības nosodījumu, un Latvijas Padomju Sociālistiskās Republikas Fiziskās kultūras un sporta komiteja (LPSR FKSK) nolēma treneri R. Vithofu izslēgt no sporta un fizkultūras darba uz visiem laikiem.

Nacistiskās okupācijas laikā, no 1941./1942. līdz 1943./1944. gada sezonai, R. Vithofs turpināja trenēt Rīgas ātrslidotājus. Viņš bija ātrslidošanas sacensību tiesnesis un komandants ACS “Atpūta un dzīvotprieks” slidotavā Rīgā (bijušajā Armijas sporta kluba laukumā; tagad Centra sporta kvartāla teritorijā; ACS – Arodbiedrību centrālā savienība). Par nopelniem sportā R. Vithofs 1943. gadā apbalvots ar Latviešu sporta un fiziskās kultūras apvienības (LSFKA) nozīmi.

1944. gada rudenī R. Vithofs devās bēgļu gaitās no Latvijas uz Vāciju. Sākumā mitinājās Minhenē, Dahavā, vēlāk Pozenē (tagad Poznaņa Polijā), kur strādāja maizes fabrikā. 1945. gada pavasarī no Pozenes devās bēgļu gaitās uz Vācijas rietumiem. Pēc Otrā pasaules kara dzīvoja Briselē, kur sākumā strādāja sporta inventāra fabrikā, no 20. gs. 40. gadu beigām – šokolādes fabrikā. Pēc Otrā pasaules kara Beļģijā trenēja tenisa iesācējus un piedalījās soļošanas sacensībās.

R. Vithofs bija prasīgs treneris, spēja aizraut jauniešus ar sportu. R. Vithofam bija būtiski nopelni Latvijas sportistu piesaistē ātrslidošanas sportam 20. gs. 30.–40. gados. Viņš ieguldīja daudz darba, popularizējot ātrslidošanu arī dažādās apdzīvotās vietās ārpus Rīgas. 20. gs. 20. gados R. Vithofs veicināja arī sportistu interesi par boksu Latvijā, bija boksa tiesnesis. R. Vithofs bija dažādu vieglatlētikas metodisko materiālu autors (publicēti izdevumos “Sporta Žurnāls”, “Latvijas Strādnieku Sports”), bija latviešu valodā publicētā “Strādnieku sporta savienības vieglatlētikas noteikumu” (1925) izdevuma redaktors.

20. gs. 30. gados jauniešu ātrslidošanas sacensībās Latvijā piedalījās arī R. Vithofa dēli Kurts Ēriks Arturs Vithofs un Kārlis Heincs Oskars Vithofs. R. Vithofa brālis Kārlis Gothards Vithofs nodarbojās ar jāšanas sportu.