Skolas gados R. Jurciņš sāka spēlēt futbolu, bet basketbolam pievērsās 15 gadu vecumā 1924. gadā, kad vingrošanas skolotājs Jēkabs Bernsons iepazīstināja skolniekus ar basketbolu. 20. gs. 20. gadu vidū R. Jurciņš iestājās Latvijas Sporta biedrībā (LSB), kur sākumā spēlēja Rīgas LSB otrajā komandā, bet pakāpeniski apliecināja savas spējas un nonāca LSB pirmajā sastāvā. Rīgas LSB sastāvā 1928. gadā pirmo reizi kļuva par Latvijas basketbola meistaru jeb čempionu.
No 1929./1930. līdz 1937./1938. gada sezonai R. Jurciņš spēlēja “Universitātes Sporta” komandā, kur par viņa treneri kļuva Ādolfs Grasis. “Universitātes Sporta” sastāvā R. Jurciņš vēl piecas reizes kļuva par Latvijas basketbola čempionu (1930, 1934–1937) un piedalījās izbraukuma spēļu turnejās ārvalstīs. R. Jurciņam bija visvairāk Latvijas basketbola čempiona titulu (seši) starpkaru posmā.
Spēlējot “Universitātes Sporta” sastāvā R. Jurciņš ātri vien kļuva gan par savas komandas līderi, rezultatīvāko spēlētāju un kapteini, gan Latvijas basketbola meistarsacīkšu jeb čempionāta vadošo un rezultatīvāko spēlētāju. Precīzas uzskaites par visām sezonām nav, taču zināms, ka vairākas sezonas R. Jurciņš bija rezultatīvākais Latvijas basketbola čempionāta spēlētājs (1933/1934 – 173 punkti; 1934/1935 – 106 punkti; 1935/1936 – 214 punkti; 1936/1937 – 145 punkti).
R. Jurciņš kļuva arī par Latvijas studentu basketbola izlases līderi un kapteini; tās sastāvā piedalījās trijos pasaules akadēmisko meistarsacīkšu basketbola turnīros: 09.1933. Turīnā (Itālijā) studentu izlases sastāvā izcīnīja 2. vietu, 08.1935. Budapeštā (Ungārijā) – 1. vietu, 08.1937. Parīzē (Francijā) – 1. vietu. Studentu basketbola un arī futbola turnīros Latvijā R. Jurciņš spēlēja studentu korporācijas “Beveronija” komandās, arī pēc aktīvu sportista gaitu pārtraukšanas.
Latvijas basketbola izlasē R. Jurciņš spēlēja no 1928. līdz 1937. gadam; kopumā aizvadīja 23 oficiālas valstu sacīkstes, bija izlases kapteinis. Ar 307 gūtajiem punktiem bija rezultatīvākais Latvijas basketbola izlases spēlētājs starpkaru periodā. 05.1935. Ženēvā (Šveicē) Pirmajā Eiropas basketbola čempionātā Latvijas izlases sastāvā R. Jurciņš kļuva par Eiropas čempionu; bija rezultatīvākais spēlētājs Latvijas izlasē (44 punkti trijās spēlēs) un saskaņā ar neoficiāliem aprēķiniem arī visā čempionātā. R. Jurciņš bija Latvijas basketbola izlases kapteinis arī vasaras olimpiskajās spēlēs Berlīnē (Vācijā) 08.1936., kur Latvija ierindojās dalītā 15.–18. vietā. Otrajā Eiropas čempionātā Rīgā 05.1937. Latvijas izlase ierindojās 6. vietā, bet tās kapteinis R. Jurciņš kļuva par turnīra rezultatīvāko spēlētāju, ko aprēķināja pēc vidēji spēlē gūto punktu skaita (R. Jurciņam vidēji 12,5 punkti; kopā 50 punkti četrās spēlēs). R. Jurciņš ir spēlējis arī Rīgas basketbola izlases sastāvā t. s. pilsētu sacīkstēs.
Pēc 1937. gada Eiropas čempionāta R. Jurciņš pārtrauca dalību Latvijas izlasē. 1937./1938. gada sezona viņam bija pēdējā valsts basketbola čempionātā, kur viņš aizvadīja tikai dažas spēles, un sezonas gaitā pārtrauca spēlēt. 01.1938. tika ziņots, ka R. Jurciņš aktīvas sportista gaitas ir pārtraucis. Arī pēc tam R. Jurciņš turpināja darboties Latvijas Basketbola savienībā (LBS) un tās valdē, no 1936. līdz 1939. gadam R. Jurciņš bija LBS kasieris, bet no 1939. gada turpināja darboties LBS valdē.