R. Štrausa tēvs Francs Štrauss (Franz Strauss) bija Bavārijas kroņprinča Minhenes galma operas (Münchner Staatsoper) orķestra galvenais mežradznieks un Karaliskās Mūzikas skolas (konservatorijas, Königliche Musikschule) profesors, māte Žozefīne (Josephine) – pazīstama Minhenes alusdarītāja meita.
R. Štrausa muzikālā apdāvinātība izpaudās jau agrā bērnībā – klavierspēli viņš sāka apgūt kopš četru gadu vecuma, pirmo skaņdarbu komponēja sešu gadu vecumā. Vienpadsmit gadu vecumā R. Štrauss turpināja apgūt kompozīcijas pamatus pie tēva brālēna, galma orķestra direktora Benno Valtera (Benno Walter) un pēc tam piecus gadus turpināja mūzikas teorijas un kompozīcijas apguvi pie diriģenta un komponista Frīdriha Vilhelma Meijera (Friedrich Wilhelm Meyer). F. Štrauss veicināja un popularizēja dēla komponista talantu, regulāri iestudējot un izpildot koncertos viņa agrīnos skaņdarbus amatieru orķestra Wilde Gung'l (kuru tēvs vadīja) koncertos. Nozīmīga šajā periodā bija arī draudzība ar jauno talantīgo mūziķi (vēlāk komponistu un mūzikas teorētiķi) Ludvigu Tīli (Ludwig Thuille), kurš, kā uzskata R. Štrausa biogrāfi, pēc savu vecāku pāragras zaudēšanas bija faktiski piederīgs (adoptēts) Štrausu ģimenē. Sekojot tēva muzikālajai gaumei, šajā laikā topošā pasaulslavenā komponista galvenās autoritātes un piemēri mūzikā bija vācu komponisti Roberts Šūmanis (Robert Schumann) un Fēlikss Mendelsons Bartoldi (Jakob Ludwig Felix Mendelssohn Bartholdy). Dziļus un paliekošus iespaidus atstāja arī pirmā iepazīšanas ar Riharda Vāgnera (Wilhelm Richard Wagner) opermūziku. Pirmo plašāko publikas ievērību R. Štrauss kā komponists ieguva ar sava 1. koncerta vijolei ar orķestri (1882) pirmatskaņojumu Vīnē (izpildījuma versijā vijolei ar klavierēm) un 1. koncerta mežragam ar orķestri pirmatskaņojumu Minhenē (1883).
1882. gadā R. Štrauss pabeidza Minhenes Ludviga ģimnāziju (Ludwigsgymnasium) un iestājās Minhenes Ludviga Maksimiliāna universitātē (Ludwig-Maximilians-Universität München) studēt filozofiju un mākslas vēsturi. Tomēr 1883. gadā studijas tika pārtrauktas, jo R. Štrauss vēlējās uzsākt profesionāla mūziķa karjeru un devās uz Berlīni. Tur viņš atkal iestājās universitātē, tomēr jau pēc dažiem mēnešiem studijas pārtrauca, jo pieņēma Meiningenas galma orķestra (Meininger Hofkapelle) galvenā diriģenta Hansa fon Bīlova (Hans von Bülow) piedāvājumu kļūt par viņa asistentu. Kopš tā brīža sākās starptautiskas slavas un panākumiem bagātā un ilgā R. Štrausa diriģenta un komponista karjera.
1887. gadā R. Štrauss Minhenē iepazinās ar konservatorijas studenti, topošo dziedātāju (soprānu) Paulīni de Ānu (Pauline Maria de Ahna), kura ņēma pie komponista un diriģenta privātstundas. Kad 1889. gadā R. Štrauss pārcēlās uz Veimāru, Paulīne sekoja viņam. R. Štrauss un P. de Āna salaulājās 1894. gadā. Komponista biogrāfi uzskata, ka R. Štrausa aizraušanās ar savu dzīvesbiedri izskaidro to, kādēļ komponists savās operās īpašu nozīmi un balss skanējuma daudzveidību ir piešķīris soprāna partijām. Viņu laulībā piedzima dēls Francs, kurš kļuva par juristu (tiesību zinātņu doktoru). 1906. gadā R. Štrauss Garmišā-Partenkirhenē iegādājās zemes gabalu, uz kura uzcēla ģimenes māju, kurā regulāri uzturējās līdz pat savai nāvei.
1924. gadā dēls F. Štrauss apprecējās ar Alisi Grabu-Hermansverti (Alice Grab-Hermannswörth), kura nāca no pazīstamas ebreju rūpnieku ģimenes. Neraugoties R. Štrausa centieniem palīdzēt (apdraudēti bija arī viņa divi mazdēli), Otrā pasaules kara laikā holokaustā gāja bojā daudzi A. Štrausas radinieki ebreji. Komponista radošajā darbībā vedekla Alise laika gaitā kļuva par rūpīgu nošu partitūru un korespondences glabātāju un sakārtotāju, pateicoties tam mūsdienās pieejama plaša informācija par izcilo komponistu.