H. Cinka-Berzinska bija viena no sava laika ievērojamākiem latviešu mecosoprāniem. Guvusi publikas un kritikas atzinību gan kā operu lomu izpildītāja, gan arī kā koncertu dziedātāja. Dziedātājas karjeras laikā pārsvarā uzstājās Latvijā.

Dzimusi kara orķestra mūziķa Kristapa un Johannas Cinku ģimenē. Dziedāšanu mācījās pie Pāvula Jurjāna, vēlāk pie Paula Saksa. 1921. gadā beidza Tiflisas (mūsdienās Tbilisi) konservatoriju.

1923. gadā apprecējās ar mūziķi Krišjāni Ēvaldu Berzinski; meita Māra.

Skolas gados dziedāja Mārtiņa baznīcas korī Rīgā, vēlāk Izglītības biedrības korī. Rīgas Jaunā teātra koriste (1909–1911), darbojās Interimteātrī (1911–1913), P. Jurjāna dibinātajā Latviešu operā (1913–1915), kur izpildīja nelielas lomas. Pirmā pasaules kara laikā devās bēgļu gaitās uz Kaukāzu. No 1916. gada dziedāja Tiflisas operas korī, vēlāk izvirzījās par solisti.

1921. gadā H. Cinka atgriezās Latvijā un iesaistījās Izglītības ministrijas organizētā koncertu turnejā pa Latviju. Darbojās Liepājas operā (1922–1925), kur uzstājās Enģeļa lomā Antona Rubinšteina (Антон Григорьевич Рубинштейн) operā “Dēmons” (Демон, 1875), Magdalēnas lomā Džuzepes Verdi (Giuseppe Fortunino Francesco Verdi) operā “Rigoleto” (Rigoletto, 1851), Mallikas lomā Leo Delība (Clément Philibert Léo Delibes) operā “Lakmē” (Lakmé, 1883), kā arī citās lomās. Paralēli darbam operā, H. Cinka-Berzinska šajā laikā mācīja dziedāšanu Liepājas tautas konservatorijā.

No 1925. gada H. Cinka-Berzinska darbojās Latvijas Nacionālajā operā, kur iestudēja un uzstājās vairumā mecosporāna lomu (Amnerisa Dž. Verdi  “Aīdā”, Aida, 1871; Junona Žaka Ofenbaha, Jacques Offenbach, “Orfejā pazemē”, Orphée aux enfers, 1858; Ortrūde Riharda Vāgnera, Wilhelm Richard Wagner, “Loengrīnā”,  Lohengrin, 1850 un citās). H. Cinka-Berzinska piedalījās arī latviešu komponistu operu iestudējumos izpildot Vecās mātes un Meža mātes lomas Jāņa Mediņa “Sprīdītis” (1927) un Vešerienes lomu Jāņa Kalniņa “Ugunī” (1937). Piedalījās arī operešu iestudējumos (piemēram, Čipras lomā Johana Štrausa, dēla, Johann Strauss, Sohn, “Čigānu baronā”, Der Zigeunerbaron, 1885). No 1935. gada H. Cinka-Berzinska intrigu dēļ pastāvīgā darbā LNO vairs netika angažēta, taču nereti piedalījās atsevišķās izrādēs arī turpmākajos gados. Šajā laikā viņa darbojās arī kā dziedāšanas konsultante Reitera korī un studentu korī “Dziesmu vara”.

No 02.1926. H. Cinka-Berzinska darbojās Operas solodziedātāju biedrībā. 1920.–1930. gadā bieži koncertēja dažādās Latvijas pilsētās (Jelgavā, Krustpilī, Liepājā un citur). Nereti uzstājās Latvijas Radiofonā, kur izpildīja operu ārijas, dažādu komponistu oriģināldziesmas, kā arī latviešu tautasdziesmas. 1928. gadā H. Cinka-Berzinska bija to mākslinieku trupā, kuri pavadīja krievu dziedātāju Fjodoru Šaļapinu (Фёдор Иванович Шаляпин) viesizrādēs Vācijā.

Padomju okupācijas laikā 1941. gadā un padomju otrreizējās okupācijas laikā 1944.–1948. gadā H. Cinka-Berzinska darbojās Latvijas Padomju Sociālistiskās Republikas (PSR) Valsts operas un baleta teātrī, savukārt nacistiskās Vācijas okupācijas laikā pārsvarā koncertēja dažādās Latvijas pilsētās. Vecākā pedagoģe Latvijas PSR Valsts konservatorijā (1944–1950).

Dziedātājas karjeras laikā H. Cinka-Berzinska daudzkārt uzstājās kopā ar sava laika izcilākajiem latviešu operas māksliniekiem (Mildu Brehmani-Štengeli, Jāni Ādolfu Kaktiņu, Marisu Vētru un citiem).

Karjeras laikā H. Cinka-Berzinska iestudējusi ap 60 operu lomu. Viņas repertuārā bija Azučena un Emīlija Dž. Verdi “Trubadūrā” (Il trovatore, 1853) un “Otello” (Otello, 1887); Grāfiene Pētera Čaikovska (Пётр Ильич Чайковский) “Pīķa dāmā” (Пиковая дама, 1890); Hērodeja Riharda Štrausa (Richard Georg Strauss) “Salomē” (Salome, 1904); Hiora Modesta Musorgska (Модест Петрович Мусоргский) “Soročinas gadatirgū” (Сорочинская ярмарка, 1917); Karmena Žorža Bizē (Alexandre César Léopold Bizet) “Karmenā” (Carmen, 1875); Kaščeja meita Nikolaja Rimska-Korsakova (Николай Андреевич Римский-Корсаков) “Nemirstīgajā Kaščejā” (Кащей Бессмертный, 1902) un Ļubava Buslajevna “Sadko” (Садко, 1897); Laura Adorno itāļu komponista Amilkara Ponkjelli (Amilcare Ponchielli) “Džokondā” (La Gioconda, 1876); Niklauss Ž. Ofenbaha “Hofmaņa stāstos” (Les contes d'Hoffmann, 1881); Venera R. Vāgnera “Tanheizerā” (Tannhäuser und der Sängerkrieg auf Wartburg, 1845), kā arī citas lomas.

H. Cinkas-Berzinskas repertuārā bija arī daudz latviešu komponistu dziesmas (Alfrēda Kalniņa, Emīla Melngaiļa, Jāņa Zālīša un citu), kā arī cittautu komponistu dziesmas (vācu – Ludviga van Bēthovena, Ludwig van Beethoven; P. Čaikovska; austriešu – Franča Šūberta, Franz Peter Schubert, un citu).

1935. gadā apbalvota ar Triju Zvaigžņu ordeni, IV šķira. 1945. gadā piešķirts Latvijas PSR Nopelniem bagātās mākslas darbinieces goda nosaukums.