Dzimis pagasta rakstveža un zemnieka (saimnieka) ģimenē. Mācījās mājās; 1894. gadā uzsāka mācības Jelgavas klasiskajā ģimnāzijā (1902. gadā beidza). No 1902. gada rudens studēja tieslietas Tērbatas Universitātē (mūsdienās Tartu Universitāte, Tartu Ülikool; 06.1907. beidza).

Alberta Kvieša sieva bija Jelgavas lauksaimniecības mašīnu fabrikas īpašnieka meita Elza Alise Lonija Sadde – sabiedriskā darbiniece Latvijā un Austrālijā, dēli Viktors Sergejs – jurists, brīvmākslinieks un sabiedriskais darbinieks Latvijā un Kanādā, Ēriks – jurists un sabiedriskais darbinieks Latvijā un Austrālijā.

Studiju laikā A. Kviesis iestājās latviešu studentu korporācijā “Lettonia”, aktīvi piedalījās latviešu sabiedriskajā dzīvē, 1905. gada revolūcijas laikā bija konfliktā ar vācu korporācijām. A. Kviesis nodarbojās arī ar mūziku. Bija zvērināta advokāta Andreja Stērstes palīgs Jelgavā (no 1907. gada), zvērināts advokāts Jelgavā (no 11.1912.). Iesaistījās pilsētas latviešu sabiedriskajā dzīvē, bija Jelgavas Latviešu biedrības priekšsēdētāja Jāņa Čakstes biedrs (no 1913. gada; 1914.–1915. gadā biedrības priekšsēdētāja vietas izpildītājs), darbojās biedrības operas mīļotāju pulciņā, pats uzstājās labdarības koncertos kā izpildītājs. Sākoties Pirmajam pasaules karam 1914. gadā, Krievijas Sarkanā Krusta Jelgavas nodaļas latviešu komitejas priekšsēdētājs, viens no Jelgavas latviešu lazaretes organizētājiem ievainotajiem Krievijas armijas karavīriem.

1915. gadā evakuācijas gaitā A. Kviesis ar ģimeni devās uz Tērbatu, piedalījās bēgļu apgādes darbā, Tērbatas latviešu bēgļu apgādāšanas komitejas loceklis un bēgļu kolonijas pārzinis Elvā Dienvidigaunijā. 1917. gadā strādāja Viskrievijas pilsētu savienības pārtikas apgādes organizācijā (nodaļas priekšnieka biedrs Tērbatā). 05.1917. Tērbatā A. Kviesis tika ievēlēts par Kurzemes Pagaidu zemes padomes izpildkomitejas locekli un padomes Administratīvās nodaļas priekšnieku. 12.05.1917. bija Latviešu zemnieku savienības līdzdibinātājs. 28.05.1917. Tērbatā Latviešu juristu kongresā tika ievēlēts par Tērbatas latviešu juristu biroja locekli.

05.1918. A. Kviesis atgriezās vācu karaspēka okupētajā Jelgavā, bija zvērināts advokāts. Kooperatīvu sabiedrības “Apgāds” priekšnieka biedrs. Latvju operas sabiedrības līdzdibinātājs un valdes loceklis.

Latvijas Tautas padomes loceklis no Latviešu zemnieku savienības (no 17.11.1918.; darbojās Amnestijas, Juridiskajā, Sabiedrisko darbu, Satversmes, Satversmes sapulces centrālajā vēlēšanu un Sevišķajā amnestijas komisijā), piedalījās valsts proklamēšanas aktā. Rīgas apgabaltiesas loceklis (no 16.12.1918.).

02.01.1919. A. Kviesis atstāja Rīgu kopā ar Latvijas Pagaidu valdību, dodoties uz Liepāju; 07.1919. atgriezās Rīgā. Tiesu palātas loceklis un Krimināldepartamenta priekšsēdētāja vietas izpildītājs (no 23.07.1919.; 09.1919. apstiprināts amatā), Tiesu palātas priekšsēdētāja vietas izpildītājs (no 12.12.1919.), Tiesu palātas priekšsēdētājs (no 26.05.1920.), paliekot arī Krimināldepartamenta priekšsēdētāja amatā (amatos līdz kļūšanai par iekšlietu ministru 06.1921.). Satversmes sapulces (no 01.05.1920.), 1.–3. Saeimas deputāts no Latviešu zemnieku savienības (1922.–1930. gadā). 07.1920. A. Kviesis bija Latvijas delegācijas loceklis sarunās Berlīnē ar Vācijas valdību par attiecību atjaunošanu, 1922. gadā delegācijas loceklis Latvijas un Vācijas saimnieciskā līguma sagatavošanas sarunās. Iekšlietu ministrs Zigfrīda Annas Meierovica valdībā (07.06.1921.–27.01.1923.). Tiesu palātas priekšsēdētājs (23.01.1923.–24.04.1930.). Arī Nacionālās operas direkcijas loceklis (1922.–1924. gadā).

A. Kviesis bija Saeimas priekšsēdētāja biedrs (05.1926.–03.1930.). Arī Saeimas Juridiskās komisijas priekšsēdētājs, Mandātu komisijas priekšsēdētājs, Organizācijas komisijas loceklis. Darbojās Latvijas Sarkanajā Krustā, Rīgas Latviešu biedrības valdes loceklis. 04.1927. Saeimā nesekmīgi kandidēja Valsts prezidenta vēlēšanās. 09.04.1930. A. Kviesi ievēlēja par Latvijas Valsts prezidentu, 04.04.1933. šajā amatā tika ievēlēts atkārtoti (ieņēma to līdz 11.04.1936.).

Kārļa Ulmaņa un atbalstītāju organizētajā valsts apvērsuma realizēšanā 15.05.1934. A. Kviesis nebija iesaistīts, par tā norisi tika informēts vienīgi tā norises naktī, taču akceptēja notikušo, paliekot amatā līdz termiņa beigām, pēc tam amatu pārņemot K. Ulmanim. Bija Vispārējo latviešu dziesmu un deju svētku protektors un goda kuratorijas priekšsēdētājs, 1935. gadā A. Kviesis svinīgi atklāja Brīvības pieminekli Rīgā.

A. Kviesis bija zvērināts advokāts Rīgā (no 12.1937.). Zvērināto advokātu palīgu konferenču vadītāju kolēģijas loceklis; 1936.–1940. gadā – arī Baltijas celulozes fabrikas Slokā valdes loceklis, gumijas rūpniecības a/s Quadrat valdes priekšsēdētājs un Liepājas bankas padomes priekšsēdētājs. Latvijas Skautu centrālās organizācijas un Latvijas Gaidu centrālās organizācijas goda prezidents, Rīgas evaņģēliski luteriskās Doma draudzes padomes loceklis. 20. gados A. Kviesis nopirka Vecvagaru mājas Penkules pagastā; iesaistītājās pagasta sabiedriskajā dzīvē. 

Padomju okupācijas sākumā 1940. gada vasarā vairākas nedēļas A. Kviesis tika turēts mājas arestā, pēc tam viņu izlika no dzīvokļa; dzīvoja pie dēla Viktora un savā lauku saimniecībā (okupācijas vara atstāja tās rīcībā tikai 10 hektārus zemes, pārējo konfiscējot).

01.1941. A. Kviesis netika ieskaitīts Latvijas PSR Advokātu kolēģijā. Dzīvoja Rīgā un Penkules pagasta Vecvagaros. Vācu okupācijas laikā zvērināts advokāts Rīgā (no 13.08.1941.), Pagaidu zvērināto advokātu padomes priekšsēdētājs (no 11.1941.). Latvijas ģenerālapgabala zemes pašpārvaldes Tieslietu ģenerāldirekcijas Juridiskās daļas Juriskonsultācijas nodaļas pastāvīgais loceklis (juriskonsults, no 1942. gada sākuma), Tieslietu ģenerāldirekcijas ģenerāldirektors (no 13.04.1943.). 11.1943. A. Kviesis teica, ka pašpārvaldei nav tiesības veikt mobilizāciju latviešu leģionā savā vārdā, jo juridiski tā nav atsevišķa un patstāvīga iestāde, un neoficiāli sastāvēja no atsevišķām ģenerāldirekcijām. Pārējie ģenerāldirektori šo iebildumu noraidīja, aizbildinoties ar krīzes situāciju, ko izraisa Sarkanās armijas tuvošanās.

17.03.1944. A. Kviesis tika atbrīvots no amata sakarā ar veselības stāvokli, dzīvoja savā saimniecībā. Mira ar sirdstrieku uz Vācijas kuģa Monte Rosa klāja, kopā ar ģimeni dodoties bēgļu gaitās no Rīgas uz Vāciju.

A. Kviesis ir viens no ievērojamākajiem starpkaru perioda Latviešu zemnieku savienības politiķiem un valstsvīriem, kuram kā iekšlietu ministram 1921.–1923. gadā pieder ievērojami nopelni valsts iekšējās situācijas stabilizācijā pēckara un ilgstošā kara izraisītās sociālās krīzes apstākļos. Viņš bija trešais un pēdējais demokrātiski ievēlētais Valsts prezidents 1930.–1936. gadā, savu divu darbības termiņu laikā būdams saistīts ar vairākām ārējā un iekšējā politikā būtiskām vēstures epizodēm. Vienlaikus A. Kviesim tiek pārmests reakcijas trūkums uz viņa partijas biedra K. Ulmaņa realizēto autoritāro 15.05.1934. valsts apvērsumu, būtībā klusi akceptējot ieviestās pārmaiņas un formāli turpinot pildīt Valsts prezidenta amatu, pēc tam tikpat klusu akceptējot K. Ulmaņa stāšanos viņa vietā 04.1936., tāpat kā pirmajā gadījumā klaji pārkāpjot Latvijas Republikas Satversmi (turklāt tiekot nodrošināts gan ar valsts pensiju, gan ienesīgiem saimnieciskiem amatiem). Tāpat A. Kviesim tiek pārmesta zināmā politiskā pasivitāte, atrodoties Valsts prezidenta amatā un neizmantojot savas Satversmē noteiktās tiesības ārkārtas Ministru kabineta sēžu sasaukšanai un likumprojektu izvirzīšanai, kā arī, līdzīgi kā citiem latviešu politiskajiem un militārajiem darbiniekiem, kuri cerēja šādā ceļā atvieglot nācijas situāciju, dalība kolaborācijā ar vācu okupācijas varu, darbojoties tās izveidotajā zemes pašpārvaldē un tādējādi kompromitējot bijušā Valsts prezidenta statusu. Jāsecina, ka A. Kviesim bija zināmi nopelni Latvijas valsts attīstībā un vēsturē, viņš kopumā bija starpkaru periodam raksturīgs politiķis, kuru, ievērojot darbības apstākļus un rīcību konkrētajā situācijā, var apzīmēt arī par zināmā mērā pretrunīgu un traģisku personību.

A. Kviesis kā politiķis un valstsvīrs bija apalvots ar Latvijas Triju Zvaigžņu ordeni, Latvijas Sarkanā Krusta Zelta goda krustu, I, II, III šķira, Polijas Polonia Restituta ordeni, I šķira, Zviedrijas Šķēpa ordeni (Svärdsorden), I šķira, Igaunijas Ērgļa ordeni (Kotkarist), I šķira, Beļģijas Leopolda II ordeni (Ordre de Léopold II), I šķira, Lietuvas Vītauta Dižā ordeni (Vytauto Didžiojo ordinas), I šķira, Somijas Baltās Rozes ordeni (Suomen Valkoisen Ruusun ritarikunta), I šķira, Čehoslovākijas Baltās Lauvas ordeni (Československý řád bilého lva), I šķira, Itālijas Sv. Maurīcija un Lācara ordeni (Ordine Di San Maurizio E San Lazzaro), I šķira.

Pēc Otrā pasaules kara latviešu trimdā Rietumos regulāri tika sabiedriski atzīmētas A. Kvieša dzīves jubilejas. Pēc neatkarības atjaunošanas Latvijā pie Jelgavas Vēstures un mākslas muzeja (bijusī Jelgavas ģimnāzija) ēkas atklāta piemiņas plāksne; Gaiziņkalnā atklāts piemiņas akmens A. Kvieša vizītei šajā vietā 17.08.1930.; 2001. gadā Latvijas Pasts izlaida 0,15 latu nomināla pastmarku ar A. Kvieša attēlu.