Viens no sava laika izcilākajiem latviešu tenoriem un skatuves māksliniekiem, pirmais latviešu varoņtenors. Darbojās ne tikai Latvijas Nacionālajā operā (LNO), bet arī citu valstu operteātros. R. Bērziņš tika uzskatīts par vienu no sava laika labākajiem vācu komponista Riharda Vāgnera (Wilhelm Richard Wagner) operu interpretiem latviešu opermākslinieku vidū.

Dzimis enkurnieka Jāņa Bērziņa un Annas Bērziņas (dzimusi Kazaka) ģimenē kā otrais bērns. 1896. gadā beidzis Pētera-Pāvila pilsētas skolu. 1903. gadā ņēma privātstundas pie operdziedātāja Hermana Jadlovkera (Herman Jadlowker). 1908.–1911. gadā mācījās dziedāšanu Kopenhāgenā.

1907. gadā precējies ar Luīzi Tomsoni (šķīries 1930). Otro reizi precējies 1930. gadā ar Mildu Annu Šturmu (šķīries 1942); meita Janīna (dzimusi 1927).

1896. gadā R. Bērziņš sāka strādāt par rakstvedi un tulku miertiesā. 1899. gadā sāka darboties Rīgas Latviešu biedrības teātra korī, izpildīja nelielas, epizodiska rakstura lomas. 08.01.1901., aizvietojot saslimušu aktieri, R. Bērziņš debitēja savā pirmajā lielajā lomā – Astragals Ferdinanda Raimunda (Ferdinand Raimund) lugā “Cilvēces ienaidnieks” (Der Alpenkönig und der Menschenfeind, 1828).

1901./1902. gada sezonā R. Bērziņš izstājās no Rīgas Latviešu biedrības teātra, kādu laiku darbojās dažādās nomaļu trupās. 1902. gada vasarā darbojās Āgenskalna vācu vasaras teātrī, kur izpildīja nelielas lomas un dziedāja korī.

1902. gada rudenī R. Bērziņš sāka darboties Jaunajā latviešu teātrī, kur izvirzījās par vienu no vadošajiem aktieriem. 31.08.1903. debitēja savā pirmajā operas lomā – Fluts (Fords) vācu komponista Oto Nikolai (Carl Otto Ehrenfried Nicolai) operā “Jautrās vindzorietes” (Die lustigen Weiber von Windsor, 1849). Turpmākajos gados R. Bērziņš darbojās pārmaiņus gan Rīgas Latviešu biedrības teātrī, gan Jaunajā latviešu teātrī. Šajā laikā viņš iestudēja gan dramatiskās lomas – Indriķis vācu dramaturga Gerharda Hauptmaņa (Gerhart Johann Robert Hauptmann) lugā “Nogrimušais zvans” (Die versunkene Glocke, 1896), Romeo britu dzejnieka un literāta Viljama Šekspīra (William Shakespeare) traģēdijā “Romeo un Džuljeta” (Romeo and Juliet, 1597), Edgars Rūdolfa Blaumaņa lugā “Ugunī” (1905) un citas; gan operešu un operu lomas – titulloma franču komponista Šarla Guno (Charles François Gounod) operā “Fausts” (tolaik uzvesta ar nosaukumu “Margareta”; Faust, 1859), Hugo vācu komponista Alberta Lorcinga (Gustav Albert Lortzing) operā “Undīne” (Undine, 1845), titullomā vācu komponista Rūdolfa Dellingera (Rudolf Dellinger) operetē “Dons Cezars” (Don Cesar, 1885), Otokars austriešu komponista Johana Štrausa, dēla (Johann Strauss, Sohn) operetē “Čigānu barons” (Der Zigeunerbaron, 1885) un citās. Pēc Jaunā latviešu teātra slēgšanas 12.1905., R. Bērziņš bija viens no Apollo teātra organizētājiem.

R. Bērziņš iesaistījās 1905. gada revolūcijā – piedalījās un uzstājās sapulcēs, mītiņos un demonstrācijās, par to 07.01.1906. tika apcietināts. 30.06.1906. atbrīvots no ieslodzījuma pret drošības naudu. 26.08.1906. Apollo teātrī notika R. Bērziņa benefice, pēc kuras viņu atkārtoti apcietināja un 1907. gada sākumā vēlreiz atbrīvoja pret drošības naudu. R. Bērziņš atsāka darbību Apollo teātrī, kur piedalījās gan agrāk uzvesto lugu iestudējumos, gan arī iestudēja jaunas lomas – Kārlis vācu dzejnieka un dramaturga Frīdriha Šillera (Johann Christoph Friedrich von Schiller) lugā “Laupītāji” (Die Räuber, 1781), Ņikita krievu literāta Ļeva Tolstoja (Лев Николаевич Толстой) lugā “Tumsības vara” (Власть тьмы, 1887), Cilvēks krievu literāta Leonīda Andrejeva (Леонид Николаевич Андреев) lugā “Cilvēka dzīve” (Жизнь человека, 1907) u. c. lomas. Šajā laikā viņš izvirzījās arī par vienu no Apollo teātra mākslinieciskajiem vadītājiem un darbojās kā režisors.

02.1908., uzzinot par draudošo karatiesu sakarā ar piedalīšanos 1905. gada revolūcijā, R. Bērziņš caur Somiju, kur ieguva pasi ar Rūdolfa Saleniusa vārdu, emigrēja uz Dāniju. Sākumā viņš Kopenhāgenā strādāja par krievu valodas skolotāju, vēlāk vadīja krievu dramatisko pulciņu un uzstājās koncertos – izpildīja galvenokārt fragmentus no R. Vāgnera operām un norvēģu komponista Edvarda Grīga (Edvard Hagerup Grieg) dziesmas.

No 1911. gada R. Bērziņš ar R. Saleniusa vārdu darbojās Vācijas operās, vispirms Štutgartē un Minsterē, no 1912. gada – Halles teātrī. Šajā laikā viņš iestudēja lomas vairumā no R. Vāgnera operām – titullomas operās “Tanheizers” (Tannhäuser und der Sängerkrieg auf Wartburg, 1845), “Tristans un Izolde” (Tristan und Isolde, 1865), “Zigfrīds” (Siegfried, 1876) u. c. lomas, kā arī citu komponistu operās – Hosē franču komponista Žorža Bizē (Alexandre César Léopold Bizet) “Karmena” (Carmen, 1875), Pedro vācu un šveiciešu komponista Eižena Dalbēra (Eugène Francois Charles d'Albert) “Ieleja” (Tiefland, 1903) u. c. lomas. Pirmā pasaules kara laikā dzīvoja Dānijā, vairākkārt devās koncertturnejās pa Dāniju un Zviedriju.

08.1919. R. Bērziņš atgriezās Latvijā un 02.12.1919. uzstājās LNO atklāšanas izrādē R. Vāgnera operā “Tanheizers”, kur izpildīja titullomu. Līdz 08.1928. pastāvīgi darbojās LNO, kur iestudēja un izpildīja vadošās tenora lomas – titullomas R. Vāgnera “Loengrīns” (Lohengrin, 1850) un “Tristans un Izolde”, Hosē Ž. Bizē operā “Karmena”, Vižutis Alfrēda Kalniņa operā “Baņuta” (1920), Radamess itāļu komponista Džuzepes Verdi (Giuseppe Fortunino Francesco Verdi) operā “Aīda” (Aida, 1871) u. c. lomas. Šajā laikā viņš bija arī vairāku LNO iestudēto izrāžu režisors. Paralēli darbam operā, R. Bērziņš nereti uzstājās koncertos, kā arī Rīgas Radiofonā, izpildot gan operu ārijas, gan arī dažādu komponistu oriģināldziesmas. R. Bērziņš darbojās Operas solodziedātāju biedrībā (11.1924.–03.1928.), bija šīs biedrības valdes priekšsēdētāja biedrs (09.1925.–05.1926.).

12.1928.–02.1930. dzīvoja un darbojās ārzemēs, piedalījās koncertos. Šajā laikā viņš cerēja noslēgt līgumu ar kādu no Vācijas operām, taču nevienā operā angažēts netika. 02.1930. atgriezās Latvijā, darbojās par dziedāšanas privātskolotāju, uzstājās koncertos, kā arī piedalījās atsevišķās LNO izrādēs (pārsvarā agrāk iestudētajās lomās). Balss problēmu dēļ viņa vokālās iespējas šajā laikā mazinājās. 1939. gadā Garozas lomā filmējās Viļa Jāņa Lapenieka filmā “Zvejnieka dēls”.

07.1940. R. Bērziņš iestājās Latvijas Komunistiskajā partijā (LKP; ir ziņas, ka jau pirms Latvijas okupācijas, R. Bērziņš bijis saistīts ar tobrīd nelegālo LKP). No 10.1940. viņš darbojās Latvijas PSR Valsts Konservatorijas Dziedāšanas nodaļā, sākumā kā ārštata docents, no 11.1940. – docents.

1941.–1944. gadā, Vācijas–Padomju Savienības (PSRS) kara laikā, R. Bērziņš dzīvoja un darbojās Krievijā. 1941. gada 2. pusē bija Sarkanās armijas 201. Latviešu strēlnieku divīzijā izveidotās latviešu mākslinieku brigādes vadītājs. No 1942. gada bija Ivanovā izveidotā Latvijas PSR Valsts mākslas ansambļa solists. Bieži piedalījās koncertos dažādās Sarkanās armijas daļās piefrontes joslā. 1943. gadā R. Bērziņš iestudēja savu pēdējo operas lomu – Pēteris Nila Grīnfelda operā “Rūta” (1943).

10.1944.–12.1946. R. Bērziņš bija Latvijas PSR Valsts Operas un baleta teātra mākslinieciskais vadītājs (10.1944.–12.1945. – šā teātra direktors). Pēdējo reizi uzstājās operā 09.1946. Pētera lomā N. Grīnfelda “Rūta”. Latvijas PSR Valsts konservatorijas Vokālās fakultātes vecākais pedagogs (no 09.1946.).

R. Bērziņš bija viens no Latvijas PSR Teātra biedrības organizētājiem, tās pirmais priekšsēdētājs (12.1944.–01.1949.). 11.1946. apstiprināts par Latvijas PSR Ministru padomes Mākslas lietu pārvaldes Mākslinieciskās padomes locekli. Rīgas pilsētas Kirova rajona darbaļaužu deputātu padomes deputāts (no 01.1948.).

R. Bērziņš uzstājies kopā ar sava laika izcilākajiem latviešu, kā arī cittautu opermāksliniekiem un diriģentiem – soprānu Mildu Brehmani-Štengeli, baritonu Jāni Ādolfu Kaktiņu, krievu izcelsmes amerikāņu diriģentu Emīlu Kuperu (krievu Эмиль Альбертович Купер, angļu Emil Cooper), diriģentu Teodoru Reiteru un citiem.

Karjeras laikā R. Bērziņš iestudējis desmitiem operu lomu. Viņa repertuārā bija Eleazars franču komponista Žaka Alevī (Jacques-François-Fromental-Élie Halévy) “Žīdiete” (La Juive, 1835); Erods vācu komponista Riharda Štrausa (Richard Georg Strauss) “Salome” (Salome, 1905); Griška Kuterma krievu komponista Nikolaja Rimska-Korsakova (Николай Андреевич Римский-Корсаков) “Teiksma par neredzamo pilsētu Kitežu un jaunavu Fevroniju” (Сказание о невидимом граде Китеже и деве Февронии, 1907); Hors un Kangars Jāņa Mediņa “Dievi un cilvēki” (1922) un “Uguns un nakts”(1921); Ilgness A. Kalniņa “Salinieki” (1926); Kanio itāļu komponista Ružēro Leonkavallo (Ruggero Leoncavallo) “Pajaci” (Pagliacci, 1892); Otello Dž. Verdi “Otello” (Otello, 1887); Rauls vācu komponista Džakomo Meierbēra (Giacomo Meyerbeer, īstajā vārdā Jacob Liebmann Beer) “Hugenoti” (Les Huguenots, 1836); Samsons franču komponista Kamila Sensānsa (Charles Camille Saint-Saëns) “Samsons un Dalila” (Samson et Dalila, 1877); Valters fon Štolcings R. Vāgnera “Nirnbergas meistardziedoņi” (Die Meistersinger von Nürnberg, 1868), kā daudz arī citu lomu. Bez tam R. Bērziņa repertuārā bija gan dažādu komponistu oriģināldziesmas (Emīla Melngaiļa, Jāņa Ozoliņa, vācu komponista Roberta Šūmaņa, Robert Schumann, un citu) dziesmas, gan arī latviešu tautasdziesmas.

R. Bērziņš 1927. gadā apbalvots ar Triju Zvaigžņu ordeni, III šķira. 1942. gadā piešķirts Latvijas PSR Nopelniem bagātā mākslinieka goda nosaukums, 1944. gadā – Latvijas PSR Tautas mākslinieka goda nosaukums, apbalvots ar Sarkanās Zvaigznes ordeni, kā arī ar vairākām medaļām.