A. Kublinskis dzimis strādnieku ģimenē: tēvs Pēteris – cirka manēžas strādnieks, pēc tautības polis, dzimis Lietuvā, Biržos. Māte Vera bija Zasulauka manufaktūras strādniece, nākusi no Rietumbaltkrievijas. Aleksandrs ģimenē bija vecākais dēls, viņa divus gadus jaunākais brālis Mihails kļuva par ievērojamu teātra režisoru.
Aleksandra muzikālais talants mantots no tēvatēva, kurš bija vijolnieks un akordeonists, tēvs spēlēja ģitāru un mutes harmonikas. Tā kā mātes sapnis bija vecāko dēlu izskolot par mūziķi, jau četru gadu vecumā zēnam tika atrasts klavierspēles pedagogs. Par to kļuva ievērojamais pianists, profesors Valerijs Zosts. Beidzis pamatskolu, 1946. gadā A. Kublinskis iestājās Jāzepa Vītola Latvijas Valsts konservatorijas desmitgadīgajā (Emīla Dārziņa speciālajā) mūzikas vidusskolā, kur turpināja mācīties pie V. Zosta. Līdztekus mūzikai jaunais pianists aizrāvās ar sportu – spēlēja tenisu, piedalījās Vissavienības līmeņa sacīkstēs. Vēlāk nodarbojās ar galda tenisu.
Pēc Dārziņskolas beigšanas A. Kublinskis sāka studēt Latvijas Valsts konservatorijas klavieru nodaļā (1955–1956), taču nenokārtotu eksāmenu dēļ otrajā kursā tika izslēgts. Studiju gados viņš sāka spēlēt klavieres kinoteātrī Splendid Palace. Muzicēja arī t. s. Barankā – Autodarbinieku klubā (vēlāk “Vernisāža”), aizrāvās ar džezu, pakāpeniski apzinoties, ka neturpinās izglītību akadēmiskā pianisma jomā. Vienlaikus ar pianisma attīstību darbošanās izklaides žanrā prasīja attīstīt improvizatora dotības, kas veicināja virzību uz kompozīciju.
A. Kublinskis bija precējies četras reizes. Pirmā sieva bija dziedātāja Rita Liepa (laulībā dzimusi meita Harita), otrā – Ilona (viņai veltīta dziesma “Ilonija”), trešā – Jolanta (viņai veltīta skaņuplates “Jola” tituldziesma; laulībā dzimis dēls Aleksandrs (Sandris)), ceturtā – Dace Reinholde.